Supongamos que f'(x)=0 y obtenga x=1/2.
0 < x < 1/2, f'(x) < 0.
Cuando 1/2 < x < 1, f' (x) > 0.
El valor mínimo de f(x) es f(1/2)=-ln2.
(2)Supongamos que b ≤ c.
Supongamos g(x)= xlnx+clnc-(x+c)[ln(x+c)-LN2],
x∈(0, c)
g'(x)=lnx-ln(x+c)+ln2
=ln[2x/(x+c)]
∫x≤c,
∴g'(x)≤0
∴g(x) disminuye monótonamente.
∴g(b)≥g(c)=0
Es decir: blnb+clnc≥(b+c)[ln(b+c)-ln2]
∴alna+blnb+clnc
≥alna+(b+c)[ln(b+c)-ln2]
= alna+(1-a)[ ln (1-a)-LN2]
≥-ln2+(a-1)ln2
Según (1), alna+(1-a)ln(1-a) ≥- LN2.
=(a-2)ln2