f(a-x)=-f(a+x) entonces la imagen de f(x) es simétrica respecto al punto (a, 0)
f(a-x)=f (a+x) ), entonces la imagen f(x) es simétrica con respecto a la línea recta x=a
Geometría sólida y geometría analítica
1. La fórmula de longitud de arco l=. a*r a es el número de radianes del ángulo central del círculo
p>
2 Utilice el triángulo de borde curvo s=1/2*l*r para el área del sector l. es la longitud del arco
3. El volumen del cono circular V=1/3*πh (r1 cuadrado+r1r2+r2 volumen del prisma V=1/3h(s1+raíz (); s1s2)+s2)
4. Ecuación de línea forma punto-pendiente (método de línea recta) y-y0=k (x-x0) línea recta La pendiente k que pasa por el punto fijo (x0, y0)
5.k=tanA A es el ángulo de inclinación de la línea recta
1 Principio de clasificación suma contando N=m1+m2+...+mn; -multiplicación de pasos contando N=m1×m2×...×mn
2 Teorema del binomio
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA ?
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan( A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
tan2A =2tanA/ [1-(tanA)^2]
cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^2
Fórmula del ángulo auxiliar:
Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t), donde
sint =B/(A^2+B^2)^(1/2)
coste=A/(A^2+B^2)^(1/2)
Fórmula del poder reductor
sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2
cos^2(α )=( 1+cos(2α))/2=vercos(2α)/2
tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))
Teorema del seno a/sinA=b/sinB=c/sinC; sinA: sinB=a: b
Teorema del coseno b^2=a^2+c^2-2accosB
En un triángulo, sen (A+B) = sinC
La fórmula para el área de un triángulo s=1/2ab×sinC
Fórmula de Heron s = raíz (p (p-a) (p-b) (p-c)), donde p = mitad del perímetro del triángulo
La suma de los primeros n términos de alguna secuencia
1 +2+3+4+5+6+ 7+8+9+…+n=n(n+1)/2
1+3+5+7+9+11+13+ 15+…+(2n-1)=n2
2+4+6+8+112+14+…+(2n)=n(n+1) 5
1^2+2^2+3 ^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1 )/6
Desigualdad básica a+b>=2 veces el signo raíz (ab) Tasa de aceptación de respuestas anónimas: 55,4% 2010-08-30 07:31 Multiplicación y factorización
a^2-b^2=(a +b)(a-b)
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
a^3-b ^3=(a-b(a^2+ab+b^2)
Desigualdad del triángulo |a+b|≤|a|+|b| |a-b|
≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b
|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|
Solución de ecuación cuadrática de una variable -b+√(b^2-4ac)/2a -b-√(b^2-4ac)/2a
Relación entre raíces y coeficientes X1+X2=-b/a X1*X2=c/a Nota: Teorema Védico
Discriminante
b^2-4ac=0 Nota: Dos ecuaciones son iguales Lo real raíces de
b^2-4ac>0 Nota: La ecuación tiene dos raíces reales desiguales
b^2-4ac<0 Nota: La ecuación no tiene raíces reales, ¿Compleja? raíces con yugo ***
Fórmula de función trigonométrica
Fórmula de suma de dos ángulos
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA ?
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan (A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
cuna( A +B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)
cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)
Fórmula de doble ángulo
tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2]
cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1 -2(sina)^2
Fórmula del medio ángulo
sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=- √( (1-cosA)/2)
cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/ 2)
tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1 +cosA) ))
cot(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) cot(A/2)=-√((1+cosA)/ ((1 -cosA)) ?
Producto de suma y diferencia
2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)
2cosAsinB=sin( A+B )-sin(A-B) )
2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)
-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B )
p>
sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2
cosA+cosB=2cos((A+ B)/2)sin(( A-B)/2)
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB
La suma de los primeros n términos de alguna secuencia
1+2+3 +4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2
1+3+5+7 +9+11+13+15+…+ (2n-1)=n2
2+4+6+8+112+14+…+(2n)=n(n+1 ) 5
1^ 2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+…+n^2=n(n +1)(2n+1)/6
1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+
…n^3=n2(n+1)2/4
1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n +1)=n(n+1)(n+2)/3
Teorema del seno a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R Nota: R representa el radio de la circunferencia circunscrita del triángulo
Teorema del coseno b^2=a^2+c^2-2accosB Nota: El ángulo B es el ángulo entre el lado a y el lado c
Ecuación estándar del círculo (x-a) ^2 +(y-b)^2=^r2 Nota: (a,b) son las coordenadas del centro del círculo
La ecuación general del círculo x^2+y^2+Dx+ Ey+F=0 Nota: D^2 +E^2-4F>0
Ecuación estándar de la parábola y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=- 2py
Área del lado derecho del prisma S=c*h, área del lado del prisma oblicuo S=c'*h
Área del lado derecho de la pirámide S=1/2c*h', pirámide derecha área lateral S=1/2(c+c' )h'
El área lateral del cono truncado S=1/2(c+c')l=pi(R+r) l El área de la superficie de la pelota S=4pi*r2
El lado del cilindro Área S=c*h=2pi*h Área del lado del cono S=1/2*c*l=pi *r*l
Fórmula de longitud de arco l=a*r a es el número de radianes del ángulo central r >0 Fórmula del área del sector s=1/2*l*r
Fórmula del volumen del cono V=1/3*S*H Fórmula del volumen del cono V=1/3*pi*r2h
p>Volumen del prisma de pendiente V=S'L Nota: ¿S' es la cruz? área de sección, L es la longitud del borde lateral
Fórmula del volumen del cilindro V=s*h Cilindro V=pi *r2h
Teorema:
1 Hay y es solo una recta que pasa por dos puntos
2 El segmento de recta más corto entre dos puntos
3 Igual Los ángulos suplementarios de un ángulo o de un ángulo igual son iguales
4 Los ángulos suplementarios de un mismo ángulo o de un ángulo igual son iguales
5 Hay y sólo hay una recta que pasa por un punto que es perpendicular a la recta conocida
6 Entre todos los segmentos de recta que conectan un punto fuera de la recta y cada punto de la recta, el segmento perpendicular es el más corto
7 Axioma paralelo que pasa por un punto fuera de la recta, existe y solo existe una recta paralela a esta recta
8 Si dos rectas son paralelas a una tercera recta, las dos rectas también son paralelas entre sí
9 Si las co- los ángulos de posición son iguales, las dos líneas rectas son paralelas
10 Los ángulos internos desplazados son iguales, Dos líneas rectas son paralelas
11 Si los ángulos internos del mismo lado son complementarios, las dos rectas son paralelas
12 Si dos rectas son paralelas, los ángulos de los mismos ángulos son iguales
13 Si las dos rectas son paralelas, los ángulos internos son iguales
14 Dos rectas son paralelas y los ángulos interiores de un mismo lado son complementarios
15 Teorema La suma de dos lados de un triángulo es mayor que el tercer lado
16 Se deduce que la diferencia entre los dos lados de un triángulo es menor que el tercer lado
17 Teorema de la suma de los ángulos interiores de un triángulo La suma de los tres ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°
18 Corolario 1 Los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios
19 Corolario 2 Triángulo Un ángulo exterior de es igual a la suma de dos ángulos interiores que son no adyacente a él
20 Corolario 3 Un ángulo exterior de un triángulo es mayor que cualquier ángulo interior que no sea adyacente a él
21 Triángulos congruentes Los lados correspondientes y los ángulos correspondientes son iguales
22 Axioma ángulo-lado-lado (SAS) Dos triángulos con dos lados iguales y sus ángulos correspondientes son congruentes
23 Axioma ángulo-lado-ángulo (ASA) Dos triángulos son congruentes si hay dos ángulos y sus lados incluidos son iguales
24 Corolario (AAS) Dos triángulos son congruentes si hay dos ángulos y el lado opuesto de uno de los ángulos es igual
>25 Axioma del lado-lado (SSS) Dos triángulos con tres lados iguales son congruentes
26 Axioma de la hipotenusa y del lado rectángulo (HL) Dos triángulos con hipotenusa y un lado rectángulo son iguales Triángulos rectángulos congruentes
>27 Teorema 1 La distancia desde un punto en la bisectriz de un ángulo a ambos lados del ángulo es igual
28 Teorema 2 La distancia desde un punto a ambos lados de un ángulo es la misma en la bisectriz del ángulo
28 Teorema 2 p>
29 La bisectriz de un ángulo es el conjunto de todos los puntos que equidistan de ambos lados del ángulo
30 Teorema de propiedades de un triángulo isósceles Los dos ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales (es decir, pares equiláteros Ángulos congruentes)
31 Corolario 1 La bisectriz del ángulo del vértice de un triángulo isósceles biseca la base y es perpendicular a la base
32 La bisectriz del ángulo del vértice y la base de un triángulo isósceles La línea media y la altura de la base coinciden entre sí
33 Corolario 3 Los ángulos de un triángulo equilátero son iguales y cada ángulo es igual a 60°
34 Teorema de determinación de un triángulo isósceles Si un triángulo tiene dos ángulos iguales, entonces los lados opuestos a los dos ángulos también son iguales (ángulos iguales a lados iguales)
35 Corolario 1 Un triángulo con tres ángulos iguales es un triángulo equilátero
p>36 Corolario 2 Un triángulo isósceles con un ángulo igual a 60° es un triángulo equilátero
37 En un triángulo rectángulo, si un ángulo agudo es igual a 30°, entonces el lado rectángulo opuesto a él es igual al lado oblicuo La mitad del lado
38 La línea media del la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la mitad de la hipotenusa
Teorema 39 ¿La distancia entre un punto de la mediatriz de un segmento de recta y los dos extremos del segmento de recta es igual?
40 El teorema inverso y el punto con la misma distancia entre los dos puntos finales de un segmento de recta están en la bisectriz perpendicular del segmento de recta
41 La bisectriz perpendicular del segmento de recta se puede considerar como dos El conjunto de todos los puntos cuyos extremos son equidistantes
42 Teorema 1 Dos figuras que son simétricas con respecto a una determinada recta son congruentes
43 Teorema 2 Si dos figuras son simétricas con respecto a una determinada recta recta, Entonces el eje de simetría es la bisectriz perpendicular de la recta que conecta los puntos correspondientes
44 Teorema 3 Dos figuras son simétricas respecto de una recta. Si sus correspondientes segmentos de recta o rectas extendidas se cruzan, entonces la intersección. el punto está en el eje de simetría
45 Teorema inverso Si la línea que conecta los puntos correspondientes de dos figuras es bisectada perpendicularmente por la misma línea recta, entonces las dos figuras son simétricas con respecto a esta línea recta
46 Teorema de Pitágoras Los dos lados rectángulos de un triángulo rectángulo son a, La suma de los cuadrados de b es igual al cuadrado de la hipotenusa c, es decir, a^2+b^2=c^2
47 El teorema inverso del teorema de Pitágoras Si los tres lados de un triángulo tienen longitudes a, byc La relación a^2+b^2=c^2, entonces este triángulo es a. triángulo rectángulo
48 Teorema La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es igual a 360°
49 La suma de los ángulos exteriores de un cuadrilátero es igual a 360°
50 La suma de los ángulos interiores de un teorema de polígono La suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados es igual a (n-2) × 180°
51 La suma de los los ángulos exteriores de cualquier polígono son iguales a 360°
52 Teorema de las propiedades de los paralelogramos 1 Los ángulos opuestos de los paralelogramos son iguales
53 Teorema de las propiedades de los paralelogramos 2 Los lados opuestos de los paralelogramos son iguales
54 Inferencia intercalada entre dos rectas paralelas Los segmentos de recta paralela son iguales
55 Teorema de propiedades del paralelogramo 3 Las diagonales de un paralelogramo se bisecan
56 Paralelogramo Teorema de determinación 1 Un cuadrilátero cuyos dos conjuntos de diagonales son iguales es un paralelogramo
p>
57 Teorema de determinación del paralelogramo 2 Un cuadrilátero con dos conjuntos de lados opuestos iguales entre sí es un paralelogramo
58 Teorema 3 de determinación del paralelogramo Un cuadrilátero cuyas diagonales se bisecan entre sí es un paralelogramo
59 Teorema 4 de determinación del paralelogramo Un conjunto de paralelogramos con lados opuestos iguales es un paralelogramo
60 Teorema 1 de la propiedad del rectángulo Las cuatro esquinas de un rectángulo son ángulos rectos
61 Teorema 2 de la propiedad del rectángulo Las diagonales de los rectángulos son iguales
62 Teorema 1 de la determinación del rectángulo Un cuadrilátero con tres ángulos rectos es un rectángulo
63 Teorema 2 de determinación del rectángulo Un paralelogramo con diagonales iguales es un rectángulo
64 Teorema 1 de la propiedad del rombo Los cuatro lados de un rombo son iguales
65 Teorema 2 de la propiedad del rombo Las diagonales de un rombo son perpendiculares entre sí y cada diagonal biseca un conjunto de diagonales
66 El área de un rombo = la mitad del producto de las diagonales, es decir, S = (a × b) ÷ 2
67 El teorema de determinación del rombo 1 Un cuadrilátero con los cuatro lados iguales es un rombo
68 Teorema 2 de determinación del rombo Un paralelogramo con diagonales perpendiculares es un rombo
69 Teorema 1 de las propiedades del cuadrado Los cuatro ángulos de un cuadrado son todos ángulos rectos y los cuatro lados son iguales
70 Propiedades de los cuadrados Teorema 2 Las dos diagonales de un cuadrado son iguales y se bisecan entre sí perpendicularmente Cada diagonal biseca un conjunto de ángulos opuestos
71 Teorema. 1 Dos figuras que son simétricas con respecto al centro son congruentes
72 Teorema 2 Respecto a dos figuras centralmente simétricas, las rectas que conectan los puntos de simetría pasan por el centro de simetría y son atravesadas por el centro de simetría
73 Teorema inverso Si los puntos correspondientes de las dos figuras Si todas las líneas que las conectan pasan por un cierto punto y son atravesadas por este punto, entonces las dos figuras son simétricas con respecto a este punto
74 Teorema de las propiedades de trapezoide isósceles Los dos ángulos de un trapezoide isósceles sobre la misma base son iguales
75 Las dos diagonales de un trapezoide isósceles son iguales
76 Teorema de determinación del trapezoide isósceles Un trapezoide con dos iguales ángulos sobre la misma base es un trapezoide isósceles
77 Un trapezoide con diagonales iguales es un trapezoide isósceles
78 Teorema de bisectrices de rectas paralelas si los segmentos cortados por un conjunto de paralelas. las líneas rectas son iguales, entonces los otros segmentos serán iguales. Los segmentos cortados en líneas rectas también son iguales
79 Corolario 1 Una línea recta que pasa por el punto medio de una cintura de un trapezoide y es paralela. hasta la base bisectará la otra cintura
80 Corolario 2 Una línea recta que pasa por un lado de un triángulo Una línea recta cuyo punto medio es paralelo al otro lado debe bisectar el tercer lado
81 Teorema de la mediana del triángulo La mediana de un triángulo es paralela al tercer lado e igual a la mitad del mismo
82 Teorema de la línea mediana del trapezoide La línea mediana de un trapezoide es paralela a las dos bases e igual a la mitad de la suma de las dos bases L= (a+b)÷2 S=L×h
83 (1) Propiedades básicas proporcionales: Si a:b=c:d, entonces ad=bc
Si ad=bc, entonces a:b=c:d wc呁/S∕
84 ( 2) La propiedad proporcional si a/b=c/d, entonces ( a±b)/b=(c±d)/d
85 (3) La propiedad proporcional si a/b=c ／d=…=m／n(b+d+…+n≠ 0), entonces
(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b
86 Teorema de segmentos proporcionales de rectas paralelas si tres rectas paralelas cortan dos rectas, los segmentos de recta correspondientes obtenidos son proporcionales
87 Inferencia: Una recta paralela a un lado de un triángulo corta los otros dos lados (o extensiones de ambos lados) recta), la los segmentos de recta correspondientes obtenidos son proporcionales
88 Teorema Si una recta corta dos lados de un triángulo (o la extensión de ambos lados) y los segmentos de recta correspondientes obtenidos son proporcionales, entonces esta recta es paralela a la tercer lado del triángulo
89 Para una línea recta que es paralela a un lado de un triángulo y corta a los otros dos lados, los tres lados del triángulo interceptados son proporcionales a los tres lados del triángulo original
90 Teorema de la paralela al triángulo Si la recta de un lado corta a los otros dos lados (o las líneas de extensión de ambos lados), el triángulo formado es similar al triángulo original
91 Teorema 1 de determinación de triángulos semejantes Si los dos ángulos son iguales, los dos triángulos son semejantes (ASA)
92 Los dos triángulos rectángulos divididos por la altura de la hipotenusa son semejantes al triángulo original
93 Teorema de determinación 2 Si los dos lados son proporcionales y los ángulos son iguales, los dos triángulos son semejantes (SAS)
94 Teorema de determinación 3 Tres lados son proporcionales y dos triángulos son semejantes (SSS )
95 Teorema Si la hipotenusa y un lado rectángulo de un triángulo rectángulo son iguales que la hipotenusa de otro triángulo rectángulo son proporcionales a un lado rectángulo, entonces los dos lados rectángulo los triángulos son similares
96 Teorema de propiedad 1 La razón de las alturas correspondientes de triángulos similares, la razón de las líneas medias correspondientes y la razón de las bisectrices de los ángulos correspondientes son iguales a la razón de similitud
> p>
97 Teorema de propiedad 2 La razón de los perímetros de triángulos semejantes es igual a la razón de similitud
98
Teorema de propiedad 3 La razón de las áreas de triángulos semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza
99 El valor del seno de cualquier ángulo agudo es igual al valor del coseno de su ángulo complementario, y el valor del coseno de cualquier ángulo agudo es igual al valor del seno de su ángulo complementario
99 p>
100 El valor de la tangente de cualquier ángulo agudo es igual al valor de la cotangente de su ángulo suplementario, y el valor de la cotangente de cualquier ángulo agudo es igual al valor tangente de su ángulo suplementario
101 La distancia entre un círculo y un punto fijo es igual a un punto fijo El conjunto de puntos largos
102 El interior de un círculo puede verse como el conjunto de puntos cuya distancia del centro al centro es menor que el radio
103 El exterior del círculo puede verse como el conjunto de puntos cuya distancia de del centro al centro es mayor que el radio Un conjunto de puntos
104 Los radios de círculos congruentes o iguales son iguales
105 La trayectoria de un punto cuya distancia a un punto fijo es igual a una longitud fija es con el punto fijo como centro y la longitud fija como radio El lugar geométrico de un punto de un círculo
106 que es equidistante de los dos puntos finales de un segmento de línea conocido. es la mediatriz del segmento de recta
107 desde un punto que equidista de ambos lados de un ángulo conocido El lugar geométrico de 108 es la bisectriz de este ángulo
El lugar geométrico de 108 hasta el punto donde las dos rectas paralelas son equidistantes es una recta paralela y equidistante de las dos rectas paralelas
El teorema 109 no determina un círculo a partir de tres puntos de la misma recta.
110 Teorema del diámetro perpendicular El diámetro de una cuerda perpendicular a la cuerda biseca la cuerda y biseca los dos arcos subtendidos por la cuerda
111 Corolario 1 ①El diámetro de la cuerda bisecada (no el diámetro) es perpendicular a la cuerda y biseca los dos arcos subtendidos por la cuerda
②La bisectriz perpendicular de la cuerda pasa por el centro del círculo y biseca los dos arcos subtendidos por la cuerda
③Bisectrices el subtendido por la cuerda El diámetro del arco biseca perpendicularmente la cuerda y biseca el otro arco subtendido por la cuerda
112 Corolario 2 Los arcos entre dos cuerdas paralelas de un círculo son igual
113 El centro de un círculo es Teorema 114 es una figura centrosimétrica con centro de simetría
Teorema 114: En círculos idénticos o círculos iguales, los arcos subtendidos por ángulos centrales iguales son iguales, las cuerdas a las que se oponen son iguales y las distancias cuerda-centro de las cuerdas a las que se oponen son iguales
115 Corolario: En el mismo círculo o círculos iguales, si un conjunto de cantidades en dos ángulos centrales , dos arcos, dos cuerdas o la distancia cuerda-centro de dos cuerdas son iguales, entonces los restantes conjuntos de cantidades correspondientes a ellos son iguales.
116 Teorema El ángulo circunferencial subtendido por un arco es. igual a la mitad del ángulo central subtendido por él
117 Corolario 1 Los ángulos circunferenciales subtendidos por un mismo arco o arcos iguales son iguales En un círculo o círculos iguales, los arcos subtendidos por ángulos circunferenciales iguales también lo son; igual
118 Corolario 2 El ángulo circunferencial subtendido por un semicírculo (o diámetro) es un ángulo recto; la cuerda subtendida por un ángulo circunferencial de 90° es el diámetro
119 Corolario 3 Si la línea media de un lado de un triángulo es igual a la mitad de este lado, entonces el triángulo es un triángulo rectángulo
Teorema 120 Las diagonales del cuadrilátero inscrito de un círculo son complementarias y todos los ángulos exteriores son iguales a sus ángulos interiores opuestos
121 ① La línea L corta a ⊙O d＜r
② La línea L corta a ⊙O d=r
③La recta L y ⊙O están separados por d>r