Entonces, g (x) = f (x)-x 3/3 es continua en [0, 1] y diferenciable en (0, 1). g(0)=g(1)=0.
g'(x) = f'(x) - x^2.
Aplica el teorema del valor medio de Lagrange a [0, 1/2] y [ 1/2, 1 ], hay a, b, 0
[g(1/2)-g(0)]/(1/2)= g '(a),
[ g(1)-g(1/2)]/(1/2)= g'(b).
Establecido.
g '(a)+g '(b)= f '(a)+f '(b)-a^2-b^2 =[g(1)-g(0 )] /(1/2)= 0,
f'(a) + f'(b) = a^2 + b^2.
La proposición está demostrada.