Los puntos de estancamiento, los puntos extremos y los puntos de inflexión son puntos de conocimiento que no se pueden pasar por alto en el cálculo. Para comprenderlas plenamente, es necesario comprender las definiciones fundamentales en lugar de memorizar algunos corolarios. Sólo comprendiendo la esencia podremos abordar problemas en constante cambio.
1. Conceptos básicos
Punto estacionario: Es el punto donde la primera derivada de la función es 0. El punto estacionario también se llama punto estable y punto crítico.
Por ejemplo: y=x3, entonces f'(x)=3x2, suponiendo que f'(x)=0, x=0 es el punto estacionario de la función y=x3.
Punto extremo: el punto donde la función cambia monótonamente, o el punto máximo o mínimo local de la función (o cuando la función tiene una derivada, el punto extremo de la función es el punto cero que cambia de signo de la función derivada ).
Por ejemplo: y=x2, como se muestra en la figura, en x=0, la monotonicidad de la función cambia, o en el área cercana a x=0, f(0) toma el valor mínimo, en estos dos casos todo muestra que x=0 es el punto extremo de la función y=x2.
Nota: Cuando encontramos el valor extremo de una función, generalmente hacemos que la primera derivada de f(x) sea igual a 0, pero el punto donde la primera derivada es 0 no es necesariamente el punto extremo. Por ejemplo, si y=x3, entonces f'(x)=3x2, si f'(x)=0, obtenemos x=0, entonces x=0 no es el punto extremo de la función, porque la función está en x=0.
Punto de inflexión: el punto donde la segunda derivada de la función es 0 y la tercera derivada no es 0.
Por ejemplo:
Tomemos f(x)=x3 como ejemplo para ver cuál es el punto de inflexión, como se muestra en la figura: en (0, 0), el La concavidad de la función cambia, sabemos que la segunda derivada es positiva, la función original es convexa, la segunda derivada es negativa y la función original es cóncava. La función es primero cóncava y luego convexa, por lo que (0, 0) es el punto de inflexión de la función.
Observaciones: En el punto de inflexión, la concavidad y convexidad de la función cambia. Cuando la segunda derivada es mayor que 0, la función parece cóncava; si la segunda derivada es menor que 0, la función parece ser convexa.
2. Diferencias y conexiones
①El punto cero, el punto estacionario y el punto extremo se refieren a una abscisa x0 de la función y=f(x), y el punto de inflexión se refiere. a la función y =Un punto (x0, f(x0)) en la imagen de f(x).
②Punto de estación y punto extremo: el punto extremo de la función derivada f (x) debe ser su punto de estancamiento, pero a la inversa, el punto de estancamiento de la función no es necesariamente el punto extremo. Por ejemplo, y=x3 y x=0 en el ejemplo anterior son los puntos estacionarios de la función f(x), pero no son los puntos extremos. Además, cuando la primera derivada de la función no existe, también se puede obtener un valor extremo, como por ejemplo y=|x|. No hay derivada en x=0, pero el punto extremo es x=0, como se muestra en la siguiente figura.
③El punto estacionario y el punto extremo están relacionados con la primera derivada de la función, y el punto de inflexión está relacionado con la segunda y tercera derivada de la función.
3.Resumen del contenido