¿Y una parábola?
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1. Elipse
Explicación/word/28/03/280304.htm
Preguntas del examen/list/shiti/index.htm
Definición
Una elipse es una sección cónica (también llamada sección cónica). Hay dos definiciones en los libros de texto de secundaria:
1. Un conjunto de puntos donde la suma de las distancias entre dos puntos en el plano es un valor fijo (el valor fijo es mayor que la distancia entre los dos). puntos, generalmente llamados 2a) (estos dos El punto fijo también se llama foco de la elipse, y la distancia entre los focos se llama distancia focal);
2. de la distancia desde el plano al punto fijo y la distancia a la línea fija es una constante (punto fijo No en una línea fija, la constante es un número positivo menor que 1) (el punto fijo es el foco de la elipse, y la recta se llama directriz de la elipse). Estas dos definiciones son equivalentes.
Ecuaciones estándar
En el sistema de coordenadas cartesiano plano, los libros de texto de secundaria utilizan ecuaciones para describir elipses. La ecuación estándar de una elipse es: x^2/a^2+y^2/b^2 = 1.
Donde a>0, b>0. El mayor de A y B es el semieje mayor de la elipse, y el más corto es el semieje menor (la elipse tiene dos ejes de simetría y hay dos segmentos de recta después de ser cortados por la elipse, que son llamado semieje mayor y semieje menor de la elipse respectivamente) Cuando A > B, el foco está en el eje X, la distancia focal es 2 * (A 2-B 2) 0,5, el. La ecuación de directriz es X = A 2/C, X =-A 2/C.
El área de la elipse es πab. Una elipse puede verse como el tramo de un círculo en una determinada dirección, y su ecuación paramétrica es: x=acosθ, y=bsinθ.
Fórmula
La fórmula del área de la elipse
S=π (pi) ×a×b (donde a y b son los ejes mayor y menor de la elipse respectivamente longitud).
O S=π (pi) ×A×B/4 (donde a y B son las longitudes de los ejes mayor y menor de la elipse respectivamente).
La fórmula para la circunferencia de una elipse
No existe una fórmula para la circunferencia de una elipse, es solo un número entero o una expansión infinita.
El cálculo exacto del perímetro de la elipse (L) requiere la integración o suma de una serie infinita. Como
La integral (0-pi/2) de l = 4a * sqrt (1-e sin t), donde a es el eje mayor de la elipse y e es la excentricidad.
La fórmula de la excentricidad de la elipse
e=c/a
La ecuación de directriz de la elipse
x=+-a ^2 /C
Fórmula del radio del foco de la elipse
El radio de la elipse que pasa por el foco derecho es r=a-ex.
El radio del foco izquierdo es r=a+ex.
Características relacionadas
Debido a que la forma que obtiene un cono truncado (o cilindro) plano puede ser una elipse, se trata de una sección cónica.
Por ejemplo, hay un cilindro al que se corta para obtener una sección transversal. Demuestre que es una elipse (usando la primera definición anterior):
Extruya dos hemisferios con el mismo radio que el cilindro desde ambos extremos del cilindro hasta el centro, y deténgase cuando toquen la sección transversal. entonces obtendrás dos puntos comunes, obviamente son los puntos tangentes de la sección y la pelota.
Supongamos que los dos puntos son F1 y F2.
Para cualquier punto P en la sección transversal, las barras Q1 y Q2 que pasan por P son cilindros, y los círculos máximos tangentes a la esfera y al cilindro se cruzan en Q1 y Q2 respectivamente.
Entonces PF1=PQ1, PF2=PQ2, entonces PF1+PF2=Q1Q2.
Según la definición de 1, la sección transversal es una elipse con f 1 y F2 como focos.
De la misma forma, también se puede demostrar que la sección oblicua del cono (que no pasa por el fondo) es una elipse.
La elipse tiene algunas propiedades ópticas: la superficie especular de la elipse (una figura tridimensional formada al girar la elipse 180 grados con el eje mayor de la elipse como eje, y todas sus superficies exteriores son hecha de superficies reflectantes, que son huecas) puede ser Toda la luz emitida desde un foco se refleja hacia el otro foco una lente elíptica (parte de la sección transversal es elíptica) tiene la función de luz convergente (también llamada lente convexa) . Las gafas de lectura, las lupas y las gafas de visión de lejos son lentes de este tipo (estas propiedades ópticas pueden demostrarse mediante prueba por contradicción).
2. Hipérbola
Explicación/word/12/89/128950
Preguntas de examen/list/shiti/index.htm
La segunda definición de hipérbola es:
La relación entre la distancia a un punto fijo y la distancia a una línea fija = e, e∈(1, +∞)
Doble La ecuación estándar de la curva es (x 2/a 2)-(y 2/b 2) = 1.
Donde a>0, b>0, C2 = a^2 + b^2, el valor absoluto de la diferencia entre un punto fijo y dos puntos fijos es un valor fijo 2a.
La ecuación paramétrica de la hipérbola es:
x=X+a secθ
y=Y+b tanθ
(θ son Parámetros)
Propiedades geométricas:
1, rango de valores: x ≥ a, x ≤-a.
2. Simetría: Simetría respecto del eje de coordenadas y el origen.
3. Vértice: A(-a, 0) A'(a, 0) AA' se llama eje real de la hipérbola, con una longitud de 2a; (0,- b) B'(0,b) BB' se llama eje imaginario de la hipérbola y su longitud es 2b.
4. Asíntota:
y= (b/a)x
5. Excentricidad:
E=c /a valor rango: (1, +∞)
La relación entre un punto de la hipérbola y la distancia desde un punto fijo a una línea recta fija es igual a la excentricidad de la hipérbola.
7 Fórmula del radio focal de la hipérbola: es la distancia desde cualquier punto de la curva cuadrática al foco.
El radio del foco derecho r=|ex-a|
El radio del foco izquierdo r=|ex+a|
El valor real de la hipérbola equilátera La longitud del eje y el eje imaginario son iguales.
2a=2b e=√2
9 ***Híperbola del yugo
(x 2/a 2)-(y 2/b 2) = 1 y (y 2/b 2)-(x 2/a 2) = 1 se llaman * * *hipérbola yugo.
(1)***Asíntota
(2)e 1+E2 & gt;=2√2
La fórmula estándar de la hipérbola es:
x^2/a^2-y^2/b^2 = 1(a & gt; 0, b & gt0)
La forma estándar de la función proporcional inversa es xy = c (c ≠ 0)
Pero la función proporcional inversa sí se obtiene rotando la función hiperbólica.
Porque el eje de simetría de xy = c es y=x, y=-x y el eje de simetría de x^2/a^2-y^2/b^2 = 1 es x =0, y =0.
Por lo que se debe girar 45 grados.
Supongamos que el ángulo de rotación es a (a≠0, en el sentido de las agujas del reloj)
(A es el ángulo de inclinación de la asíntota hiperbólica)
Entonces
X = xcosa + ysina
Y = - xsina + ycosa
Supongamos a = π/4.
Reglas
x^2-y^2 =(xcos(π/4)+ysin(π/4))^2-(xsin(π/4)-ycos (π/4))^2
=(√2/2 x+√2/2 y)^2-(√2/2 x-√2/2 y)^2
= 4 (√2/2 x) (√2/2 y)
= 2xy.
Y xy = C.
Por lo tanto
x^2/(2c)-y^2/(2c)= 1(c & gt; 0)
y^2/ (-2c)-x^2/(-2c)= 1(c <0)
Demuestra que la función proporcional inversa es en realidad una función hiperbólica.
Gracias~
¡Parábola!
1. Definición
En el plano, se llama parábola a la trayectoria (o conjunto) de puntos que equidistan de un punto fijo F y de una recta fija L.
Además, f se llama "foco de la parábola" y l se llama "directriz de la parábola".
Defina la distancia del foco a la directriz parabólica como "distancia focal", utilice p & gt0.
Inserte el plano tangente en un cono en dirección paralela al suelo para obtener un círculo. Si inclinas el plano paralelo a un lado, puedes formar una parábola.
2. Ecuación estándar de la parábola
Parábola de apertura hacia la derecha: y^2 = 2px
Parábola de apertura hacia la izquierda: y^2 =-2px
Parábola de apertura superior: y = x 2/2p
Parábola de apertura inferior: y =-x 2/2p
Parámetros relacionados con la parábola (para apertura de parábola a a la derecha )
Excentricidad: e=1
Enfoque: (p/2, 0)
Alinear ecuación l: x=-p/2
Vértice: (0, 0)
4. Su solución analítica:
Método de sustitución de tres puntos
5. ;
La luz que pasa por el foco es reflejada por la parábola y es paralela al eje de simetría de la parábola.
6.Otros
Parábola: y = ax^2+bx+c
y es igual a ax más bx más c al cuadrado.
Cuando a> es 0, la apertura es hacia arriba.
Cuando a & lt es 0, la apertura es hacia abajo
Cuando c = 0, la parábola pasa por el origen
Cuando b = 0, el eje de simetría de la parábola es el eje Y.
Y vértice y = a (x-h) *+K.
Es decir, y es igual a a multiplicado por (x-h) + K al cuadrado.
h es la coordenada x del vértice.
k es la coordenada y del vértice.
Generalmente se utiliza para encontrar los valores máximo y mínimo.
Ecuación estándar de la parábola: y ^ 2 = 2px
Significa que el foco de la parábola está en el semieje positivo de X, la coordenada del enfoque es (p/2 , 0), la ecuación directriz es x=-p/2.
Dado que el foco de una parábola puede estar en cualquier semieje, * *existe una ecuación estándar y ^ 2 = 2px y ^ 2 =-2px x ^ 2 = 2py x ^ 2 =-2py .
Las siguientes son más preguntas y análisis:
Sabemos que la parábola y = ax2+bx+c (a ≠0) es una figura axisimétrica, y su eje de simetría es an La recta x =-b/2a tiene su vértice en el eje de simetría. Al resolver problemas relacionados con parábolas, si puedes usar inteligentemente la simetría de las parábolas, a menudo podrás dar soluciones simples.
Ejemplo 1 Se sabe que el eje de simetría de la parábola es x =1, la parábola se cruza con el eje Y en el punto (0, 3) y la distancia entre los dos puntos de intersección de la El eje X es 4. Encuentra la expresión analítica de esta parábola.
La fórmula analítica de una parábola es y = ax2+bx+c. Si se utiliza el método de solución convencional, es necesario resolver un sistema de ecuaciones lineales tridimensionales sobre A, B y C, y El proceso de deformación es complicado. Si haces un uso inteligente de la simetría de la parábola, la solución es sencilla. Debido a que el eje de simetría de la parábola es x =1, y la distancia entre los dos puntos de intersección con el eje X es 4, podemos saber por la simetría de la parábola que se cruza con ,0). Por lo tanto, la fórmula analítica de la parábola se puede establecer como y = a(x+1)(x-3). Debido a que la parábola corta al eje Y en el punto (0, 3), 3 = -3a. Entonces a =-1.
∴y = -(x+1)(x-3), es decir,
y = - x2 + 2x +3.
Ejemplo 2 Se sabe que la parábola pasa por dos puntos A (-1, 2) y B (3, 2), y la ordenada de su vértice es 6. Cuando x = 0, encuentre el valor de y.
El análisis requiere que cuando x =0, el valor de y solo sea necesario encontrar la fórmula analítica de la parábola.
Según la simetría de la parábola, A (-1, 2) y B (3, 2) son los puntos de simetría de la parábola. Entonces el eje de simetría de la parábola es x = 1. Entonces el vértice de la parábola es (1, 6). Por lo tanto, la fórmula analítica de la parábola se puede establecer como y = a(x-1)2+ 6. Como el punto (-1, 2) está en la parábola, 4a+6 = 2. Entonces a = -1.
∴y = -(x-1)2+ 6, es decir,
y = - x2 + 2x +5.
Cuando x =0 , y=5.
Ejemplo 3 Se sabe que la distancia entre los dos puntos de intersección A y B de la parábola y el eje X es 4, y corta al eje Y en el punto C, y su vértice es ( -1, 4). Encuentra el área de △ABC.
Para analizar el área de △ABC, solo necesitas encontrar las coordenadas del punto c. Por lo tanto, necesitas la fórmula analítica de la parábola. Según la pregunta, el eje de simetría de la parábola es x = -1. Según la simetría de la parábola, las coordenadas del punto A y del punto B son (-3, 0) y (1, 0) respectivamente. Entonces, la fórmula analítica de la parábola se puede establecer como y = a(x+1)2+ 4[o y = a(x+3)(x-1)].
∵ punto (1, 0) está en la parábola,
∴4a + 4 = 0 .∴a = -1 .
∴y = - ( x+1)2+ 4, es decir
y = - x2 - 2x +3.
Las coordenadas del ∴ punto c son (0, 3).
∴S△ABC = 1/2×(4×3)= 6.
Ejemplo 4 Se sabe que la ordenada del vértice A de la parábola y = ax2+ bx+c es 4. Interseca el eje Y en el punto B e intersecta el eje X en los puntos C y D. -1 y 3 son las dos raíces de la ecuación ax2+bx+c =0. el cuadrilátero ABCD.
Analizar el área del cuadrilátero ABCD requerido y obtener las coordenadas del punto A y del punto B. Por lo tanto, se requiere la fórmula analítica de la parábola. Según la pregunta, las coordenadas de C y D son (-1, 0) y (3, 0) respectivamente. Según la simetría de una parábola, el eje de simetría de la parábola es x = 1. Entonces las coordenadas del vértice A son (1, 4). Entonces, la fórmula analítica de la parábola se puede establecer como y = a(x-1)2+ 4[o y = a(x+1)(x-3)].
∵ punto (-1, 0) está en la parábola,
∴4a + 4 = 0. Entonces a = -1.
∴y = -(x-1)2+ 4, es decir,
y = - x2 + 2x +3.
Las coordenadas del punto ∴b son (0,3).
Si OA es conexo, entonces S cuadrilátero ABCD = S△BOC+S△AOB+S△AOD = 1/2×1/2×3+1/2×3×1+1/2 ×3×4.