Aplicación de la teoría de valores propios y vectores propios en transformación geométrica

La multiplicación de matrices corresponde a una transformación, que consiste en convertir cualquier vector en un nuevo vector con diferente dirección o longitud. Durante este proceso de transformación, el vector original se gira y expande principalmente. Si una matriz solo realiza una transformación de escala en un determinado vector o algunos vectores, pero no produce un efecto de rotación en estos vectores, entonces estos vectores se denominan vectores propios de la matriz y la relación de escala es el valor propio.

De hecho, el párrafo anterior no solo habló sobre el significado geométrico de los valores propios y vectores propios de la transformación matricial (transformación gráfica), sino que también habló sobre su significado físico. El significado físico es una imagen en movimiento: el vector propio se expande y contrae bajo la acción de una matriz, y el grado de expansión y contracción está determinado por el valor propio. Cuando el valor propio es mayor que 1, todos los vectores propios que pertenecen a este valor propio se vuelven más largos cuando el valor propio es mayor que 0 y menor que 1, la forma del vector propio se contrae bruscamente cuando el valor propio es menor que 0, el vector propio se contrae; el límite y se mueve en la dirección opuesta al punto cero.

Nota: Los libros de texto suelen decir que los vectores propios son vectores que no cambian de dirección bajo transformación matricial. De hecho, cuando los valores propios son menores que cero, la matriz cambiará completamente los vectores propios en la dirección opuesta. Por supuesto, los vectores propios siguen siendo vectores propios. Estoy de acuerdo con la afirmación de que los vectores propios no cambian de dirección: los vectores propios nunca cambian de dirección, solo los valores propios (los valores propios son negativos si se invierte la dirección).

Los vectores propios son invariantes lineales.

Uno de los aspectos más destacados del llamado concepto de vector propio es el invariante, que aquí se denomina invariante lineal. Porque lo que a menudo llamamos transformación lineal, transformación lineal, no cambia una línea (vector) a otra línea (vector). La dirección y la longitud de la línea cambian juntas. Sin embargo, existe un tipo especial de vector llamado "vector propio". Su dirección no cambia y su longitud sólo cambia bajo la acción de la matriz. Las características que son invariantes en la dirección se denominan invariantes lineales.

Si algún lector insiste en que los vectores propios negativos cambian la dirección del vector, también podría mirar invariantes lineales como este: la invariancia de los vectores propios es que se convierten en vectores con sus propias * * * líneas, en línea Sus líneas rectas permanecen sin cambios bajo la transformación sexual; el vector propio y su vector de transformación están en la misma línea recta, y el vector de transformación se alarga o se acorta, o se alarga o se acorta en la dirección opuesta, o incluso se convierte en un vector cero (cuando el el valor propio es hora cero).