Logaritmos
El concepto de logaritmos: logaritmos
Si b^n=x, entonces registre n=log(b)(x). Entre ellos, b se llama "base", x se llama "número real" y n se llama "logaritmo de x con b como base".
El dominio de x en la función log(b)(x) es xgt; el cero y los números negativos no tienen logaritmos;
La historia de los logaritmos:
Los logaritmos son un contenido importante en las matemáticas elementales de las escuelas secundarias. Entonces, ¿quién inventó por primera vez la operación avanzada de los "logaritmos"? En la historia de las matemáticas, se cree generalmente que el inventor de los logaritmos fue el matemático escocés Baron Napier (1550-1617) desde finales del siglo XVI hasta principios del XVII. En la época de Napier, la "teoría heliocéntrica" de Copérnico apenas había comenzado a ganar popularidad, lo que llevó a que la astronomía se convirtiera en un tema popular en ese momento. Sin embargo, debido a las limitaciones de las matemáticas constantes de aquella época, los astrónomos tuvieron que gastar mucha energía calculando esos complicados "números astronómicos", perdiendo así varios años o incluso toda una vida de un tiempo precioso. Napier también era un entusiasta de la astronomía en ese momento. Para simplificar los cálculos, dedicó muchos años a estudiar la tecnología de cálculo de grandes números y finalmente inventó los logaritmos de forma independiente. Por supuesto, los logaritmos inventados por Napier no tienen exactamente la misma forma que la teoría de los logaritmos en las matemáticas modernas. En la época de Napier, el concepto de "exponente" aún no se había formado, por lo que Napier no derivó logaritmos a través de exponentes como en los libros de texto de álgebra actuales, sino que derivó el concepto de logaritmos estudiando el movimiento lineal. Entonces, ¿qué pasó con la operación logarítmica inventada por Napier en ese momento? En esa época, calcular el producto de varios dígitos todavía era una operación muy complicada, por lo que Napier inventó por primera vez un método para calcular el producto de varios dígitos especiales. Veamos el siguiente ejemplo:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14,...
p>1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192, 16384,...
Entre estos dos líneas de números La relación es extremadamente clara: la primera fila representa el exponente de 2 y la segunda fila representa la potencia correspondiente de 2. Si queremos calcular el producto de dos números de la segunda fila, podemos hacerlo sumando los números correspondientes de la primera fila. Por ejemplo, para calcular el valor de 64 × 256, primero puede consultar los números correspondientes en la primera fila: 64 corresponde a 6, 256 corresponde a 8 y luego sumar los números correspondientes en la primera fila: 6+8=14; en la primera fila 14 corresponde a 16384 en la segunda línea, entonces quedan: 64×256=16384. En realidad, el método de cálculo de Napier se basa completamente en la idea de "operación logarítmica" de las matemáticas modernas. Recuerde que cuando aprendimos "usar logaritmos para simplificar los cálculos" en la escuela secundaria, ¿no adoptamos esta idea: para calcular el producto de dos números complejos, primero consulte la "Tabla de logaritmos comunes" para encontrar los logaritmos comunes, luego sume estos dos logaritmos comunes y luego use la "Tabla de antilogaritmos de logaritmos comunes" para encontrar el valor inverso de la suma, que es el producto de los dos números complejos originales. ¿No es esta idea de "convertir la multiplicación y división en suma y resta" para simplificar los cálculos una característica obvia de las operaciones logarítmicas? Después de años de exploración, el barón Napier publicó su famoso libro "Instrucciones sobre la maravillosa ley de los logaritmos" en 1614, anunciando su invento al mundo y explicando sus características. Por tanto, Napier es el merecido "creador de logaritmos" y merece disfrutar de este honor en la historia de las matemáticas. En su libro "Dialéctica de la Naturaleza", el gran maestro Engels llamó una vez a las coordenadas de Descartes, los logaritmos de Napier y el cálculo de Newton y Leibniz los tres principales inventos matemáticos del siglo XVII. El famoso matemático y astrónomo francés Pierre Simon Laplace (1749-1827) dijo una vez que los logaritmos pueden acortar el tiempo de cálculo, "prolongando efectivamente la vida de los astrónomos muchas veces".
Las propiedades y derivación de logaritmos
Usa ^ para representar la potencia y usa log(a)(b) para representar el logaritmo de b con a como base.
* representa el signo de multiplicación, / representa el signo de división
Definición:
Si a^n=b(agt; 0 y a≠1)
Entonces n=log(a)(b)
Propiedades básicas:
1.a^(log(a)(b))=b
2.log(a)(MN)=log(a)(M) log(a)(N)
3.log(a)(M/N)=log(a) (M)- log(a)(N);
4.log(a)(M^n)=nlog(a)(M)
Derivación
1. No es necesario presionar esto, se puede obtener directamente de la definición (ponga [n=log(a)(b)] en la definición en a^n=b)
2.
p>MN=M*N
Propiedad básica 1 (reemplazar M y N)
a^[log(a)(MN) ] = a^[ log(a)(M)] * a^[log(a)(N)]
Por las propiedades de los exponentes
a^[log(a )(MN)] = a^{[log(a)(M)] [log(a)(N)]}
Y como la función exponencial es una función monótona,
log(a)( MN) = log(a)(M) log(a)(N)
3. Procesamiento similar a 2
MN=M/N.
Por propiedad básica 1 (reemplazar M y N)
a^[log(a)(M/N)] = a^[log(a)(M)] / a^[log(a) (N)]
Por las propiedades de los exponentes
a^[log(a)(M/N)] = a^{[log( a)(M)] - [ log(a)(N)]}
Y como la función exponencial es una función monótona,
log(a)(M/N) = log(a)(M) - log(a)(N)
4. Procesamiento similar a 2
M^n=M^n
Propiedad básica 1 (reemplazar M)
a^[log(a)(M^n)] = {a^[log(a)(M)]}^n
Por las propiedades de los exponentes
a^[log(a)(M^n)] = a^{[log(a)(M)]*n}
Y porque la función exponencial es una función monótona,
log(a)(M^n)=nlog(a)(M)
Otras propiedades:
Propiedad 1: Fórmula de cambio de base
log(a)(N)=log(b)(N) / log(b)(a)
La derivación es la siguiente
N = a^[log(a )(N)]
a = b^[log(b)(a)]
Combinando las dos ecuaciones , podemos obtener
N = {b^[ log(b)(a)]}^[log(a)(N)] = b^{[log(a)(N)]* [log(b)(a)]}
Y porque N=b^[log(b)(N)]
Entonces
b^[ log(b)(N)] = b^{[log(a) (N)]*[log(b)(a)]}
Entonces
log(b )(N) = [log(a)(N)]*[log (b)(a)] {Si no comprende este paso o tiene preguntas, lea lo anterior}
Entonces yo
og(a)(N)=log(b)(N) / log(b)(a)
Propiedad 2: (No sé el nombre)
log (a^ n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]
La derivación es la siguiente
De la fórmula de cambio de base [ lnx es log(e)(x), e se llama base de logaritmos naturales]
log(a^n)(b^m)=ln(a^n) / ln(b^n )
De la propiedad básica 4, podemos obtener
log(a^n)(b^m) = [n*ln(a)] / [m*ln(b )] = (m/n)*{ [ln(a)] / [ln(b)]}
Luego cambia la fórmula base
log(a^n)( b^m)=m/n*[ log(a)(b)]
------------------------- ------------------------ ----------(Propiedades y derivación completadas)
Fórmula 3:
log(a)(b)=1/log(b)(a)
La prueba es la siguiente:
De la fórmula de cambio de base log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a) ---- toma b El logaritmo base, log(b)(b)=1
= 1/log(b)(a)
También se puede transformar en:
log(a)(b)*log(b)(a)=1