Los números racionales pueden incluir: (1) Los números enteros incluyen: los números enteros positivos, 0 y los números enteros negativos se denominan colectivamente números enteros. (2) Las fracciones incluyen: las fracciones positivas y las fracciones negativas se denominan colectivamente fracciones. Por supuesto, en cuanto a los decimales finitos y los decimales infinitamente recurrentes, estos "decimales" se pueden unificar en fracciones. Por ejemplo, 3, -98,11, 5,272 y 7/22 son todos números racionales. Todos los números racionales forman un conjunto, es decir, el conjunto de números racionales, que puede representarse con la letra Q en negrita, mientras que algunos libros de matemáticas modernos utilizan la letra hueca Q para representarlo. El conjunto de números racionales es un subconjunto del. conjunto de números reales, es decir, Q? r (ver expansión del sistema numérico para contenido relacionado). El conjunto de los números racionales es un campo, es decir, en él se pueden realizar cuatro operaciones aritméticas (a excepción de la división por 0, para estas operaciones se establecen las siguientes reglas de operación (A, B, C, etc., todos representan cualquiera). números racionales): ① Ley conmutativa de la suma A B = b A; ② La ley asociativa de la suma A (B C) = (A B) C (3) Hay un número 0, de modo que 0 a = a 0 = ④; La ley conmutativa de la multiplicación AB = BA ⑤ La ley asociativa de la multiplicación A (BC) =(AB)C ⑥La ley de distribución de la multiplicación a(b c)=ab ac; 0a=0 Explicación literal: Un número multiplicado por 0 es igual a 0. Además, los números racionales son un campo ordenado, es decir, el valor absoluto con una relación de orden ≤ 0 sigue siendo 0. Los números racionales siguen siendo un campo de Arquímedes, es decir, para los números racionales A y B, a≥0, B>0, podemos encontrar un número natural n tal que nb>A no sea difícil inferir que no existe un máximo. número racional. El nombre de números racionales merece mención. El nombre "números racionales" resulta confuso. Los números racionales no son más "razonables" que otros números. En realidad esto parece ser un error de traducción. La palabra número racional proviene de Occidente. En inglés es (número racional), y (racional) suele significar "racional". En la China moderna, los trabajos científicos occidentales se tradujeron a "números racionales" según los métodos de traducción japoneses. Pero esta palabra proviene de la antigua Grecia, y su raíz inglesa es (ratio), que significa ratio (la raíz aquí significa lo mismo en inglés que en griego). Por tanto, el significado de esta palabra también es muy claro, que es la "proporción" de números enteros. Por el contrario, un "número irracional" es un número que no se puede expresar exactamente como una proporción de dos números enteros, pero tampoco es un número irracional (los números irracionales son infinitos decimales acíclicos, de los cuales π es uno).
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Operaciones mixtas de suma y resta de números racionales
1. El significado de suma y resta de números racionales se unifica como suma: Para la resta en la operación mixta de suma y resta, podemos restar de acuerdo con la regla de resta de números racionales Convertir en suma, unificando así operaciones mixtas en operaciones de suma. La fórmula unificada es la suma de varios números positivos o negativos. A esta fórmula la llamamos suma algebraica. 2. Métodos y pasos para operaciones mixtas de suma y resta de números racionales: (1) Utilice la regla de la resta para convertir la resta en suma en operaciones mixtas de números racionales. (2) Utilice la ley de la suma, la ley conmutativa de la suma y la ley combinatoria de la suma para realizar operaciones simples. Utilice la calculadora introducida en los libros de matemáticas de la escuela secundaria para realizar operaciones con números racionales.
En términos generales, los números racionales se clasifican de la siguiente manera: números enteros, fracciones, números negativos y números racionales negativos, racionales positivos; números. Los números enteros y las fracciones se denominan colectivamente números racionales, que se pueden expresar en la forma a/b, donde A y B son números enteros y números primos entre sí. A menudo utilizamos números racionales en nuestra vida diaria. Por ejemplo cuánto cuesta, cuántos kilogramos, etc. Cualquier número real que no pueda expresarse en la forma a/b es un número irracional, también llamado decimal acíclico infinito. Entre los números racionales, los decimales son decimales que se repiten infinitamente o fracciones.
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Primero, la suma
Existe una gran diferencia entre la suma de números racionales y la suma de la escuela primaria. La suma en la escuela primaria no implica la cuestión de signos, pero la suma de números racionales siempre implica dos cuestiones: una es determinar el signo del resultado; la otra es encontrar el valor absoluto del resultado; Al sumar números racionales, primero determine si los signos de los dos sumandos son del mismo signo o de signos diferentes, y si hay 0, para determinar qué regla usar. En el proceso de solicitud, asegúrese de recordar "primero el símbolo, luego el valor absoluto", para no cometer errores una vez que domine. La suma de múltiples números racionales se puede calcular de izquierda a derecha, o puedes usar el algoritmo de suma, pero debes pensar claramente antes de escribir cuál se debe calcular de izquierda a derecha. Regla 1. Agrega el mismo signo y suma el valor absoluto. 2. Para la suma y resta de diferentes signos con diferentes valores absolutos, tome el signo del sumando con el valor absoluto mayor y reste el que tiene el valor absoluto menor del que tiene el valor absoluto mayor. La suma de dos números opuestos es igual a 0. 3. Cuando se suma 0 a un número, aún se obtiene ese número. 4. El resultado de sumar antónimos debe ser 0. Ley conmutativa y ley asociativa La suma de números racionales también tiene ley conmutativa y ley asociativa (la misma que la ley conmutativa y ley asociativa de los números enteros), las cuales se representan con letras de la siguiente manera: Ley conmutativa: a b = b a Cuando se suman dos números , se intercambian las posiciones de los sumandos y la suma no es Cambio. Ley asociativa: a b c = (a b) c = a (b c) Al sumar tres números, los dos primeros números se suman primero, o los dos últimos números se suman primero y la suma permanece sin cambios.
Segundo, resta
Regla de resta de números racionales: Restar un número es igual a sumar el recíproco del número. Entre ellos: dos cambios: la resta se convierte en suma y la resta se convierte en su opuesto como sumando. Invariante: El minuendo es invariante. Se puede expresar como: A-B = A (-B).
Tercero, multiplicación
(1) Cuando se multiplican dos números, el mismo signo es positivo, los signos diferentes son negativos y se multiplican los valores absolutos. Por ejemplo: (-5)×(-3)=15 (-6)×4=-24. (2) Cualquier número multiplicado por 0 dará como resultado 0. Ejemplo: 0×1=0 (3) Multiplica varios números que no son iguales a 0. El signo del producto está determinado por el número de factores negativos. Cuando hay un número impar de factores negativos, el producto es negativo; cuando hay un número par de factores negativos, el producto es positivo. y multiplicar sus valores absolutos. Ejemplo: (-10)×[-5]×(-0.1)×(-6)=El producto es un número positivo, (-4)×(-7)×(-25)=El producto es un número negativo (4), uno El factor es 0. Por ejemplo: 3×(-2)×0=0. (5) Dos números racionales cuyo producto es 1 son recíprocos entre sí. Por ejemplo, -3 y -1/3, -3/8 y -8/3.
Cuarto, dividir
(1) Dividir un número es igual a multiplicar por el recíproco del número. (Nota: 0 no tiene recíproco) (2) Al dividir dos números, el mismo signo es positivo y los diferentes signos son negativos, divididos por el valor absoluto. (3)0 dividido por cualquier número distinto de 0 es igual a 0. Nota: 0 no se puede dividir bajo ninguna circunstancia. [1]
La edición de este párrafo repetirá infinitamente el número decimal del componente.
0.|a1a2a3a4a5a6…an|=? Sea x = 0. | a1a2a3a4a5a6...an | = Entonces 10 n * x = a1a2a3a4a5...an. | a1a2a3a4a6...An|(10n-6550(10n-1) se originó en los antiguos egipcios. Las fracciones comenzaron a usarse a principios del siglo XVII a. C. Los nueve capítulos de aritmética de China también incluyen varias operaciones con fracciones. El uso de fracciones se debe a La necesidad de división. Se puede considerar que la operación de división resuelve la ecuación px = q (p ≠ 0). Si p y q son números enteros, la ecuación no necesariamente tiene una solución entera. siempre tiene una solución, el sistema de números enteros debe expandirse a un sistema racional. La teoría estricta de los sistemas de números racionales se puede establecer mediante el siguiente método. La siguiente relación de equivalencia se define en el conjunto de Z×(Z -{. 0}), que es un par ordenado de enteros (pero el segundo binario no es igual a cero): Sea p1, p2 Z, q1, q2 Z-{0}, si p1q2=p2q1. Q2) ~ (p2, q1) sobre esta relación equivalente. La clase de valencia se llama número racional. El número racional donde se encuentra (p, q) se denota como.
El conjunto de todos los números racionales se llama q. Deje que el número entero p corresponda a la clase de equivalencia a la que pertenece (p, 1) y luego incorpore el conjunto de números enteros en el conjunto de números racionales. Por lo tanto, se puede decir que el sistema de números racionales es un sistema numérico extendido del sistema de números enteros. El conjunto de los números racionales es un cuerpo numérico. Cualquier campo numérico debe contener un campo racional. En otras palabras, el conjunto de los números racionales es el cuerpo numérico más pequeño. Los números racionales son un subconjunto compacto de los números reales: todo número real tiene un número racional arbitrariamente cercano. Una propiedad relacionada es que sólo los números racionales pueden reducirse a fracciones continuas finitas. Los números racionales tienen una topología ordenada según su secuencia. Los números racionales son un subconjunto (denso) de los números reales, por lo que también tienen una topología subespacial. Usando métricas, los números racionales forman un espacio métrico, que es la tercera topología del mundo. Afortunadamente, las tres topologías son consistentes y convierten los números racionales en un dominio topológico. Los números racionales son un ejemplo importante de espacios compactos no locales. Este espacio también está completamente desconectado. Los números racionales no constituyen un espacio métrico completo; los números reales son conjuntos.
Edite la base p en este párrafo
Además de las medidas de valor absoluto mencionadas anteriormente, hay otras medidas que se transformarán al dominio topológico: Sea P un número primo , sea | a | p= p- n para cualquier entero A distinto de cero, donde pn es P dividido por la potencia más alta de A, y | Para cualquier número racional, sea. La métrica está definida en. El espacio métrico está incompleto y su conjunto completo es el campo base p. Una pregunta difícil: ¿dónde están los límites de los números racionales? Por definición, los decimales infinitamente recurrentes y los decimales finitos (los números enteros pueden considerarse decimales con 0 después del punto decimal) se denominan colectivamente números racionales, mientras que los decimales infinitamente recurrentes son números irracionales. Sin embargo, a los humanos les resulta imposible escribir el número racional más grande. Es un número racional para todos los humanos de la Tierra, o para criaturas que son más inteligentes que la Tierra. Probablemente sea imposible para todos en la Tierra saber si se trata de un número racional o irracional. Por lo tanto, el límite entre números racionales y números irracionales está en realidad cerca de los números irracionales, y entre dos números irracionales muy cercanos, se pueden sumar infinitos números racionales, y viceversa. Nadie conoce los límites de los números racionales, o que los límites de los números racionales están infinitamente cerca de los números irracionales. Teorema: Es imposible escribir un número racional que no se repita infinitamente con el mayor número de dígitos. Aunque su definición tiene un número limitado de dígitos, se acerca tanto a un número irracional que no hay forma de juzgarlo. Prueba: supongamos que escribimos un número racional no infinitamente cíclico con el mayor número de dígitos y agregamos un dígito más al final del número. Este número sigue siendo un número racional finito, pero tiene un dígito más que el número racional escrito, lo que demuestra que el número escrito originalmente no tenía un dígito.