Varias demostraciones alternativas y extensiones de la fórmula de Helen
Las principales aplicaciones de las fórmulas para calcular el área de triángulos en la resolución de problemas son:
Supongamos △ ABC, a, byc son los lados opuestos de los ángulos A, B y C respectivamente, ha es la altura en el lado a, R, r son los radios de la circunferencia circunscrita y del círculo inscrito de △ABC respectivamente, p = ( a b c), entonces
S△ABC = aha= ab×sinC = r p
= 2R2sinAsinBsinC =
=
Entre ellos, S△ABC = es la famosa fórmula de Helena que está registrada en el libro "Geodesia" de la matemática griega Helena.
La fórmula de Heron tiene una aplicación muy importante en la resolución de problemas.
1. Deformación de la fórmula de Herón
S=
= ①
= ②
= ③
= ④
= ⑤
2. Demostración de la fórmula de Helen
Demostración del teorema de Pitágoras
Análisis : Comience con la fórmula de cálculo más básica de triángulos, S△ABC = aha, y use el teorema de Pitágoras para derivar la fórmula de Heron.
Demostración: Como se muestra en la figura ha⊥BC, según el teorema de Pitágoras, obtenemos:
x = y =
ha = = =
p>
∴ S△ABC = aha= a× =
En este momento, S△ABC es la deformación ④, por lo que se obtiene la prueba.
Prueba 2: Teorema de Sri Lanka
Análisis: Basado en la prueba 1, utilice el teorema de Sri Lanka para encontrar directamente ha.
Teorema de Escocia: Toma cualquier punto D en el lado BC de △ABC,
Si BD=u, DC=v, AD=t. 2 =
Prueba: De la Prueba 1, u = v =
∴ ha 2 = t 2 = -
∴ S△ABC = aha = a ×
=
Esta es la deformación ⑤ de S△ABC, así queda demostrado.
Prueba 3: Teorema del coseno
Análisis: Se puede ver a partir de la deformación ② S =, y se puede probar usando el teorema del coseno c2 = a2 b2 -2abcosC.
Demostración: Para demostrar que S =
, debes demostrar que S =
=
= ab×sinC
En este momento, S = ab×sinC es una fórmula de cálculo de triángulos, así que está demostrado.
Prueba 4: Identidad
Análisis: considere usar S△ABC =r p Debido a que aparece el radio del círculo inscrito de un triángulo, puede considerar aplicar la identidad de funciones trigonométricas. .
Identidad: Si ∠A ∠B ∠C =180○entonces
tg · tg tg · tg tg · tg = 1
Prueba: Como se muestra en la figura, tg = ①
tg = ②
tg = ③
Según la identidad obtenemos:
=
Sustituyendo ①②③, obtenemos:
∴r2(x y z) = xyz ④
Como se muestra en la figura: a＋b－c = (x z)＋(x y )－(z y) = 2x
p>∴x = De manera similar: y = z =
Sustituimos ④, obtenemos: r 2 · =
Multiplicar de ambos lados, obtenemos:
r 2 · =
Sacamos la raíz cuadrada de ambos lados, obtenemos: r · =
El lado izquierdo r · = r·p= S△ABC El lado derecho es la deformación de la fórmula de Heron ①, por lo que se obtiene la prueba.
Prueba 5: Teorema del medio ángulo
Teorema del medio ángulo: tg =
tg =
tg =
Demostración: Según tg = = ∴r = × y ①
De manera similar r = × z ② r = × x ③
①×②×③, obtenemos: r3 = ×xyz