Teorema de la Mariposa
Contenido del teorema: Del punto medio M de la cuerda PQ en el círculo O, por el punto M, pasar dos cuerdas AB, CD, las cuerdas AD y BC intersectan a PQ respectivamente en X, Y, entonces M es el punto medio de XY.
Demostración: Dibuja una línea perpendicular entre AD y BC que pase por el centro O del círculo. Los pies verticales son S y T, conectando OX, OY, OM, SM y MT.
∵△AMD∽△CMB
∴AM/CM=AD/BC
∵SD=1/2AD, BT=1/2BC
∴AM/CM=AS/CT
Y∵∠A=∠C
∴△AMS∽△CMT
∴∠MSX= ∠MTY
∵∠OMX=∠OSX=90°
∴∠OMX ∠OSX=180°
∴O, S, X, M cuatro puntos *** Círculo
Del mismo modo, O, T, Y, M círculo *** de cuatro puntos
∴∠MTY=∠MOY, ∠MSX=∠MOX
∴∠MOX=∠MOY ,
∵OM⊥PQ
∴XM=YM
Este teorema también es válido en elipses, como se muestra en la figura
1. Los ejes mayores A1 y A2 de la elipse son paralelos al eje x, el eje menor B1B2 está en el eje y y el centro es M (o, r) ( bgt; rgt; 0). (Ⅰ) Escribe la ecuación de la elipse y encuentra las coordenadas de enfoque y la excentricidad de la elipse
(Ⅱ) La línea recta y=k1x corta la elipse en dos puntos C (x1, y1), D ( x2, y2) ( y2gt; 0); La recta y=k2x corta la elipse en dos puntos G (x3, y3), H (x4, y4) (y4gt; 0). Verifique: k1x1x2/(x1 x2)=k2x3x4/(x3 x4)
(III) Para C, D, G, H en (II), deje que CH interseque el eje X en el punto P, y GD intersectar El eje X está en el punto Q. Verificar: | OP | = | OQ |.
(El proceso de prueba no considera la situación en la que CH o GD es perpendicular a Las respuestas de referencia son las siguientes:
(18) Esta pregunta prueba principalmente los conocimientos básicos de recta líneas y elipses, y pone a prueba la capacidad de analizar y resolver problemas. Puntuación total 15 puntos. (Ⅰ) Solución: La ecuación elíptica es x2/a2 (y-r)2/b2=1 y la coordenada de enfoque es
(Ⅱ) Prueba: Sustituyendo la ecuación de la recta CD y=k?x en la ecuación elíptica, obtenemos b2x2 a2(k1x-r)2=a2b2,
Después de ordenar, obtenemos (b2 a2k12)x2-2k1a2rx (a2r2-a2b2)=0
Según el teorema védico, obtenemos
x1 x2=2k1a2r/(b2 a2k12), x1·x2=(a2r2-a2b2)/( b2 a2k12),
Entonces x1x2/( x1 x2)=( r2-b2)/ 2k1r ①
Sustituye la ecuación y=k2x de la recta GH en la ecuación elíptica y obtienes el mismo método
x3x4/( x3 x4)=( r2-b2)/2k2r ②
De ① y ②, obtenemos k1x1x2/(x1 x2)=(r2-b2/2r=k2x3x4/(x3 x4)
Así que la conclusión está establecida.
（Ⅲ） Prueba: Sean el punto P(p,o) y el punto Q(q,o).
De las líneas C, P, H***, obtenemos (x1-p)/( x4-p)=k1x1/k2x4
Resuelve para obtener P=(k1 -k2) x1x4/(k1x1-k2x4)
Por las líneas D, Q, G***, podemos obtener el mismo método
q=(k1-k2)x2x3 /(k1x2-k2x3)
De k1x1x2/(x1 x2)=k2x3x4/(x3 x4), deformación: x2x3/(k1x2-k2x3)=x1x4/(k1x1-k2x4)
Es decir: ( k1-k2)x2x3/(k1x2-k2x3)=(k1-k2)x1x4/(k1x1-k2x4)
Entonces |p|=|q|, es decir, | OP|=|OQ|.