Definición Una función se define en una vecindad de un punto si todos los puntos distintos de esa vecindad se ajustan a la desigualdad.
Se dice que esta función tiene un valor máximo en un punto. Si todas las desigualdades encajan
entonces se dice que esta función tiene un valor mínimo en un punto determinado. Los valores máximo y mínimo se denominan colectivamente valores extremos. El punto donde la función alcanza un valor extremo se llama punto extremo.
La función del Ejemplo 1 tiene un valor mínimo en el punto (0, 0). Porque para cualquier punto en la vecindad del punto (0,0) que sea diferente de (0,0), el valor de la función es positivo y el valor de la función en el punto (0,0) es cero. Geométricamente, esto es obvio porque el punto (0, 0, 0) es el vértice de un paraboloide elíptico que se abre hacia arriba.
Ejemplo 2 Esta función tiene un valor máximo en el punto (0, 0). Debido a que el valor de la función en el punto (0, 0) es cero, pero para cualquier punto en la vecindad del punto (0, 0) que sea diferente de (0, 0), el valor de la función es negativo, el punto (0, 0, 0 ) es el vértice del cono debajo del plano.
La función del Ejemplo 3 no obtiene el valor máximo ni el valor mínimo en el punto (0, 0). Debido a que el valor de la función en el punto (0,0) es cero, siempre hay puntos donde el valor de la función es positivo y puntos donde el valor de la función es negativo en cualquier vecindad del punto (0,0).
Teorema 1 (condición necesaria) Si una función tiene una derivada parcial en un punto y un valor extremo en un punto, entonces su derivada parcial en ese punto debe ser cero:
La El certificado se puede establecer en En el punto con el valor máximo. Según la definición de máximo, todos los puntos mutuamente distintos en una determinada vecindad de un punto se ajustan a la desigualdad.
Especialmente los puntos de "suma" de este barrio también deberían ser adecuados para las desigualdades.
Esto demuestra que la función unaria obtiene su valor máximo en , por lo que debe ser así.
También se puede demostrar
Geométricamente, si la superficie tiene un plano tangente en ese punto, entonces este plano tangente.
Se convierte en un plano paralelo al plano coordenado.
Según el Teorema 1, el punto extremo de una función con derivadas parciales debe ser un punto estacionario. Pero el punto estacionario de una función no es necesariamente el punto extremo. Por ejemplo, el punto (0, 0) es el punto estacionario de la función, pero la función no tiene valor en ese punto.
¿Cómo determinar si un punto estacionario es un punto extremo? El siguiente teorema responde a esta pregunta.
Teorema 2 (condición suficiente) Supongamos que la función es continua en una determinada vecindad de un punto y tiene derivadas parciales continuas de primer y segundo orden Supongamos
las condiciones para. obtener el valor extremo son los siguientes:
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(1) Hay un valor extremo, hay un valor máximo en ese momento y hay un valor mínimo en ese momento
(2) No existe un valor extremo;
(3) Es posible que haya o no valores extremos, que deben discutirse por separado.
Este teorema aún no tiene demostración. Usando los teoremas 1 y 2, describimos la solución al valor extremo de una función con derivadas parciales continuas de segundo orden de la siguiente manera: