1. Encuentra algunos valores especiales
Este tipo de función abstracta generalmente proporciona un dominio, algunas propiedades y expresiones para encontrar valores especiales. La solución suele ser el "método de valor especial", es decir, la clave es concretar el problema abstracto haciendo que la variable tome un valor especial dentro de su dominio de definición.
Ejemplo 1 La función definida en r satisface: el valor de y.
Solución:
En lugar de,
Para funciones impares y have.
Youyou
Por lo tanto, es una función periódica con un periodo de 8.
Ejemplo 2 Se sabe que la función tiene cualquier número real, cuando,
, se encuentra el rango de .
Solución: Supongamos
Y,
Entonces,
Cuando las condiciones estén maduras,
y
Para aumentar la funcionalidad,
entonces pídelo
y haz que
obtenga
,
Por lo tanto, el rango de valores en una función impar,
,
es
2. Encuentre el rango de parámetros
<. p>Este tipo Los parámetros están implícitos en la expresión dada por la función abstracta. La clave es utilizar la paridad de la función y su aumento y disminución en el dominio, eliminar el signo "" y transformarlo en un grupo de desigualdades algebraicas, pero prestar especial atención al papel del dominio de la función.Se sabe que el ejemplo 3 es una función par definida en () y una función creciente en (0, 1), que satisface e intenta determinar el rango de valores.
Solución: Es una función par y creciente en (0, 1).
Es una función decreciente,
Yode.
(1) Cuando,
la desigualdad no se cumple.
(2) Cuándo,
(3) Cuándo,
En resumen, el rango del valor obtenido es.
El ejemplo 4 es una función de resta conocida, definida en. Si la constante es cierta, encuentre el rango del número.
Solución:
Du Heng se mantiene firme.
Du Heng se mantiene firme.
Du Heng estableció,
Tres. Resolver desigualdades
Este tipo de desigualdad generalmente requiere expresar una constante como el valor de una función en un punto determinado, luego eliminar el símbolo de función "" debido a la monotonía de la función y convertirlo en una ecuación algebraica. desigualdad a resolver.
Ejemplo 5 Se sabe que una función puede encontrar el conjunto solución de las desigualdades de any, when y.
Solución: Supuestos y
Reglas
,
Es decir,
Por lo tanto, agregar funcionalidad,
y
Entonces el conjunto solución de la desigualdad es.
Cuatro. Prueba de ciertos problemas
Ejemplo 6 Supongamos que está definida en R y demuestre que es una función periódica para cualquier existencia, y encuentre su período.
Análisis: Esta también es una función abstracta sin expresión de función. Su solución general es realizar recursividad según la relación dada. Si se puede obtener (t es una constante distinta de cero), es una función periódica con período t.
Demostración:
Obtener
de (3)
Derivada de (3) y (4).
La fórmula anterior es válida para todo, por lo que es una función periódica con período 6.
Ejemplo 7: Se sabe que todo satisface, cuando,, se prueba: (1), (2) es una función decreciente sobre r.
Prueba: Sí, todo.
Y, hacer, conseguir,
Ahora, entonces,
Pero
,
Supongamos,
Regla
Es decir, la función de resta.
Resolución integral de problemas verbales (abreviatura de verbo)
La síntesis de funciones abstractas es generalmente difícil, a menudo involucra múltiples puntos de conocimiento y requiere un alto grado de pensamiento abstracto.
Al resolver el problema, se deben comprender los siguientes tres puntos: primero, preste atención a la aplicación del dominio de la función; segundo, use la paridad de la función para eliminar el signo negativo antes del signo de la función; tercero, use la monotonicidad de la función; función para eliminar el signo de función.
Ejemplo 8 Supongamos que la función está definida en r, cuando, y para cualquiera, teniendo y cuando.
(1) Demostrar;
(2) Demostrar que R es una función creciente
(3) Conjunto,
, si, Cumple las condiciones.
Explicación: (1) Ling De,
O.
Si, cuando, hay, esto y cuando son contradictorios,
.
(2) Si, entonces, se conoce, porque si, entonces, por.
(3) de
Yode (2)
De (1) y (2), porque
,
p>
Es decir,
La función definida en () en el Ejemplo 9 satisface (1), lo cual es cierto para todo.
(2) Cuándo y dónde,
(1) La decisión del juicio es par o impar; (2) Monotonicidad del juicio;
(3) Verificación.
Análisis: Este es un problema integral que utiliza una función abstracta como portador para estudiar la monotonicidad y paridad de la función, y luego estudia la suma de series en función de estas propiedades.
Solución: (1) En la condición, hacer y luego poner a disposición.
, por lo que es una función extraña.
(2), entonces
,
, de la condición (2), por lo que hay, es decir, monótonamente decreciente, de las propiedades de funciones impares Mira, sigue siendo una función monótonamente decreciente en (0, 1).
(3)
Clasificación y análisis de problemas de funciones abstractas
Llamamos funciones abstractas a funciones que no dan expresiones analíticas explícitamente. En los últimos años, las preguntas de funciones abstractas han aparecido con frecuencia en diversas preguntas de examen. Debido a su fuerte abstracción y flexibilidad, la mayoría de los estudiantes se sienten confundidos y no pueden resolverlo. Este artículo intenta realizar un análisis de clasificación a través de ejemplos como referencia.
1. Encuentre el nombre de dominio
Este tipo de problemas se pueden resolver siempre que comprendamos firmemente las características de tratar la función como un todo, que es equivalente a la X en la función.
Ejemplo 1. Si el dominio de una función es, entonces el dominio de la función es _ _.
Análisis: Debido a que equivale a X in, se obtiene la solución.
O.
Ejemplo 2. Si se sabe que el dominio es, entonces el dominio de es _ _ _ _ _.
Análisis: Porque y son equivalentes a X en , entonces
(1) Entonces, cuando
(2) Entonces, cuando
Juzgar la equivalencia
Basado en condiciones conocidas, encuentre la relación entre y mediante la asignación y el reemplazo apropiados.
Ejemplo 3. Se sabe que el dominio es r y se satisface para cualquier número real x e y, lo que demuestra que es una función par.
Análisis: medio, hacer,
obtener
hacer, obtener
por lo tanto
por lo que es un incluso funcionar.
Ejemplo 4. Si la gráfica de la función y es simétrica con respecto al origen, verifica: función.
Es una función par.
Demostración: Sea cualquier punto de la imagen p()
La imagen de la suma es simétrica con respecto al origen,
El punto simétrico con respecto al origen de la imagen,
y
existen para cualquier x en el dominio de la función, por lo que es una función par.
Juzga la monotonicidad
Según la paridad y monotonicidad de la función, dibuja un diagrama esquemático de la función, ayuda con la numeración y resuelve rápidamente el problema.
Ejemplo 5. Si una función impar es una función creciente en un intervalo y su valor mínimo es 5, entonces está en el intervalo.
A. El valor mínimo es la función creciente de b, y el valor máximo es.
C. Una función que resta el valor mínimo de d y una función que resta el valor máximo de d.
Análisis: Dibuja un diagrama 1 que se ajuste al significado de la pregunta y elige B fácilmente.
Figura 1
Ejemplo 6. Dado que una función par es una función decreciente en el mundo, pregunta si es una función creciente o decreciente en el mundo y prueba tu conclusión.
Análisis: Como se muestra en la Figura 2, Yi Zhi es una función creciente en el mundo. La prueba es la siguiente:
Tómalo como quieras
. Porque es una función decreciente, entonces.
Incluso vuelve a entrar en juego, por lo que
,
Como resultado, su papel en el mundo está creciendo.
Figura 2
Explorando la periodicidad
Este tipo de problema es relativamente abstracto. La solución general es analizar cuidadosamente las condiciones del problema y asociarlo con el. prototipo de función a través de similitudes, la solución al problema se obtiene mediante análisis del prototipo de función o iteración de asignación.
Ejemplo 7. Supongamos que el dominio de la función es R, para cualquier x, y que exista.
, y hay un número real positivo c, entonces. ¿Es una función periódica? Si es así, busque una sección; si no, explique por qué.
Análisis: Observa atentamente las condiciones de análisis y asocia la fórmula trigonométrica. Encontrarás que se cumplen las condiciones de la pregunta. Se supone que es una función periódica con un período de 2c.
Entonces es una función periódica, y 2c es uno de sus períodos.
5. Encontrar valores de funciones
La transformación iterativa está estrechamente relacionada con condiciones conocidas. El resultado se puede obtener directamente a través de un número limitado de iteraciones o se puede descubrir la periodicidad de la función. durante el proceso de iteración, utilice inteligentemente la periodicidad para resolver problemas.
Ejemplo 8. El dominio conocido es que se aplica a todos los números reales positivos X e y, y si es así, entonces _ _ _ _ _.
Análisis: En la condición, hacer, obtener.
,
De nuevo,
Vale,
Ejemplo 9. La función definida en r es conocida y satisface el valor de:
,.
Análisis: Siguiendo muy de cerca las condiciones conocidas, usándola muchas veces, se encuentra que es una función periódica, obviamente, entonces
,
Por lo tanto
Por lo tanto, es una función periódica con un período de 8, por lo que
Compara los valores de la función
Utiliza la paridad y simetría de la función para convertir la función. variable independiente en el intervalo monótono de la función y luego usar su monotonicidad para resolver el problema.
Ejemplo 10. Se sabe que la función es par con dominio de R, si la relación de magnitud entre , y , es _ _ _ _ _ _.
Análisis: Y,
otra vez, añade funcionalidad,
es una función par,
por lo tanto
7. Discuta las raíces de las ecuaciones.
Ejemplo 11. Se sabe que la función satisface todos los números reales X y tiene tres raíces reales, entonces la suma de estas tres raíces reales es _ _ _ _ _ _.
Análisis: Se sabe que la recta es el eje de simetría de la función imagen.
Hay tres raíces reales. Desde la perspectiva de la simetría, debe ser una raíz de la ecuación. Las otras dos son simétricas con respecto a la línea recta, así, así.
8. Discute las soluciones a desigualdades
Para este tipo de problemas, utiliza la monotonicidad de la función para transformar y quitar el signo de la función.
Ejemplo 12. Se sabe que la función es una función decreciente definida en. Para todos los números reales X, se cumple la desigualdad.
Análisis: partiendo de la monotonicidad, eliminando las etiquetas de las funciones, obtenemos
Del significado de la pregunta, podemos ver que las dos fórmulas (1) y (2) son verdaderas para todo, entonces tenemos
9. Estudiar la imagen de una función
Este tipo de problema se puede resolver utilizando las conclusiones relevantes de la transformación de imagen de función.
Ejemplo 13. Si una función es par, entonces la imagen es simétrica con respecto a la línea recta _ _ _ _ _.
Análisis: La imagen es una función par, y el eje de simetría lo es, por lo tanto el eje de simetría de la imagen es.
Ejemplo 14. Si la imagen de la función pasa por (0, 1), entonces la imagen de la función inversa debe pasar por el punto fijo _ _ _ _ _.
Análisis: La imagen de (0, 1) está demasiado lejos, por lo que la imagen de (0, 1) está demasiado lejos.
Es fácil saber por la relación entre la imagen de la función original y su función inversa que la imagen de (0, 1) está demasiado lejos.
10. Encuentra la fórmula analítica
Ejemplo 15. Supongamos que la función tiene una función inversa y su imagen es simétrica respecto de una recta, entonces la función
A.B.C.D.
Análisis: La fórmula analítica requerida consiste esencialmente en encontrar la relación entre la abscisa y la ordenada de cualquier punto de la imagen.
Un punto de simetría con respecto a una recta es adecuado, es decir.
Dilo de nuevo,
Es decir, la opción b.
Periodicidad de funciones abstractas
——Pensando en una pregunta del examen de ingreso a la universidad
Pregunta 22 del examen de ingreso a la universidad de 2001 en Matemáticas (Artes liberales): supongamos que es definido en Una función par cuya imagen es simétrica con respecto a una línea recta. Sí, cualquier cosa.
㈠Establece requisitos;
(II) Se demuestra que es una función periódica.
Análisis: (1) Solución.
(2) Demostración: Según la pregunta sobre la simetría de una recta.
Por eso
También se le llama función par.
En la fórmula anterior, reemplace con, obtenga.
Esto demuestra que es una función periódica y 2 es uno de sus períodos.
La esencia de una función par es que la imagen es simétrica respecto de una línea recta.
Otra imagen trata sobre la simetría de funciones periódicas.
2 es uno de sus ciclos.
De esta generalización, obtenemos
Idea 1: Supongamos que es una función par definida en y su imagen es simétrica con respecto a una línea recta, lo que demuestra que es una función periódica. que es de un ciclo.
Demostración: Simetría sobre rectas
También se llama función par.
En la fórmula anterior, reemplace con, obtenga.
¿Está activada la función periódica?
Este es uno de sus periodos.
Pensamiento 2: Supongamos que es una función definida en y su imagen trata sobre líneas rectas y simetría. Demuestre que es una función periódica y que es uno de sus períodos.
Prueba: Simetría sobre líneas
Reemplaza la fórmula anterior con .
¿Está activada la función periódica?
Este es uno de sus periodos.
Si la "función par" en esta pregunta del examen de ingreso a la universidad se reemplaza por una "función impar", ¿seguirá siendo una función periódica? Después de la exploración, llegamos al
Pensamiento 3: Supongamos que es una función impar definida en el mundo y su imagen es simétrica con respecto a una línea recta. Demuestra que es una función periódica y 4 es uno de sus períodos. ,
Prueba: acerca de la simetría
También se le llama función impar.
Pon en práctica la fórmula anterior y obtén.
Si la función periódica está en
4 es uno de sus períodos.
Pero la esencia de la función impar es que es simétrica con respecto al origen (0, 0) y con respecto a una recta. Se puede obtener como una función periódica, y 4 es uno de sus períodos. De esta generalización, obtenemos
Pensamiento 4: Supongamos que es una función definida en, su imagen es simétrica con respecto al centro de un punto y su imagen es simétrica con respecto a una línea recta. Demuestre que es una función periódica y que es uno de sus períodos.
Prueba: simétrico respecto al punto
Simétrico respecto al lineal
En la fórmula anterior, reemplace con, obtenga.
¿Está activada la función periódica?
Este es uno de sus periodos.
De lo anterior encontramos que si la imagen de la función definida en la gráfica tiene dos ejes de simetría o un eje de simetría y un eje de simetría, entonces es una función periódica en la gráfica. Además, pensamos que si la imagen de una función definida en la gráfica tiene dos centros de simetría, ¿es una función periódica? Después de la exploración, llegamos al
Pensamiento 5: supongamos que es una función definida en y su imagen es simétrica con respecto al punto y. Demuestre que es una función periódica y que es uno de sus períodos.
Prueba: Acerca de la simetría
En la fórmula anterior, reemplace con, obtenga.
Es una función periódica.
Este es uno de sus tiempos.