Existe una relación entre el número de vértices V, el número de caras F y el número de aristas E de un poliedro simple.
v f-e=2
Esta fórmula se llama fórmula de Euler. Esta fórmula describe el patrón único del número de vértices, caras y aristas de un poliedro simple.
Entendiendo a Euler
El matemático suizo Euler fue a estudiar a la Universidad de Basilea a la edad de 13 años y recibió una cuidadosa orientación del famoso matemático Bernoulli. Euler fue el matemático más prolífico y destacado de la historia de la ciencia. Comenzó a publicar artículos desde los 19 años hasta los 76. Durante su incansable vida, * * * escribió 886 libros y artículos, de los cuales más de 700 fueron escritos durante su vida. Para organizar sus obras, la Academia de Ciencias de San Petersburgo dedicó 47 años.
No es casualidad que las obras de Euler sean sorprendentemente numerosas. Su tenaz perseverancia y su incansable espíritu académico le permitieron trabajar en cualquier entorno hostil: a menudo completaba trabajos arrodillado con su hijo en brazos. Incluso durante los 17 años posteriores a su ceguera, no dejó de estudiar matemáticas y dictó varios libros y más de 400 artículos. Murió mientras trabajaba en sus cálculos para calcular la órbita de Urano. Euler siempre será nuestro respetado maestro.
Los trabajos de investigación de Euler involucran casi todas las ramas de las matemáticas, incluidas la mecánica física, la astronomía, la balística, la navegación, la arquitectura y la música. Hay muchas fórmulas, teoremas, soluciones, funciones, ecuaciones y constantes que llevan el nombre de Euler. El libro de texto de matemáticas escrito por Euler se consideraba un plan de estudios estándar en ese momento. Gauss (1777-1855), el gran matemático del siglo XIX, dijo una vez: "Estudiar las obras de Euler es siempre la mejor manera de entender las matemáticas". Euler también fue el inventor de los símbolos matemáticos. Muchos de los símbolos matemáticos que creó, como π, sin, cos, tg, σ, f (x), etc., todavía se utilizan en la actualidad.
Euler no sólo resolvió el problema del cálculo de la trayectoria de los cometas, sino que también resolvió el problema de la desviación de la luna que le daba dolor de cabeza a Newton. La solución perfecta de los famosos "Siete Puentes de Königsberg" inició el estudio de la "teoría de grafos". Euler descubrió que no importa la forma que tenga un poliedro convexo, siempre existe una relación entre el número de vértices V, el número de aristas E y el número de caras F, v f-e=2. Esta es la llamada fórmula de Euler. . V f-e, la característica de Euler, se ha convertido en un concepto básico de "topología". Entonces, ¿qué es la "topología"? ¿Cómo descubrió Euler esta relación? ¿Cómo lo estudió? Sigamos hoy los pasos de Euler y exploremos esta fórmula con reverencia y aprecio. ......
El significado del teorema de Euler
(1) Ley matemática: la fórmula describe la relación única entre el número de vértices, el número de caras y el número de aristas de una ley de poliedro simple.
(2) Innovación en ideas y métodos: en el proceso de descubrir y demostrar el teorema, se supone conceptualmente que su superficie es una película de goma que se puede estirar arbitrariamente, el método consiste en cortarla; superficie inferior y convertirla en una figura plana (Gráfico tridimensional → Plano).
(3) Introducción a la topología: de gráficos tridimensionales a gráficos abiertos, la forma, longitud, distancia y área de cada cara han cambiado, mientras que el número de vértices, caras y aristas permanece sin cambios.
El teorema nos adentra en un nuevo campo de la geometría: la topología. Utilizamos un tipo de material (como las ondas de goma) que se puede deformar a voluntad, pero no se puede rasgar ni pegar. La topología es el estudio de las propiedades invariantes de los gráficos durante este proceso de deformación.
(4) Proponga un método de clasificación de poliedros:
En la fórmula de Euler, f (p)=v f-e se denomina característica de Euler. El teorema de Euler nos dice que el poliedro simple f(p) = 2.
Además de los poliedros simples, también existen poliedros no simples. Por ejemplo, si cavas un agujero en un cuboide y conectas los vértices correspondientes en la parte inferior, obtendrás un poliedro. Su superficie no puede transformarse en una esfera mediante una deformación continua, pero sí en un toroide. Su característica de Euler f (p)=16 16-32=0, es decir, la característica de Euler del poliedro con huecos es 0.
(5) El teorema de Euler puede resolver algunos problemas prácticos.
Por ejemplo, ¿por qué sólo hay cinco poliedros regulares? ¿Cuál es la relación entre el fútbol y c60? ¿Existe un poliedro regular de 7 lados? Esperando
Demostración del teorema de Euler
Método 1: (Usar bloc de dibujo geométrico)
Reduzca gradualmente el número de aristas del poliedro y analice V F-E.
Primero, tomemos el tetraedro simple abcd como ejemplo para analizar el método de prueba.
Elimina una cara para darle una forma plana. Después de la deformación, el número de vértices V, el número de aristas V y el número de caras restantes f1 del tetraedro permanecen sin cambios. Entonces, para estudiar la relación entre V, E y F, solo necesitamos quitar una superficie y convertirla en una figura plana para demostrar que v f1-e=1.
(1) Si se elimina un borde y se reduce una cara, v f1-e permanece sin cambios. Elimina todas las caras por turno y conviértelas en una "forma de árbol".
(2) Cada vez que se elimina una arista del árbol restante, se reduce un vértice y v f1-e permanece sin cambios hasta que solo queda una arista.
En el proceso anterior, v f1-e permanece sin cambios, v f1-e=1, por lo que se agrega una superficie eliminada, v f-e =2.
Para cualquier poliedro simple, este enfoque deja solo un segmento de línea. Por tanto, esta fórmula es correcta para cualquier poliedro simple.
Método 2: Calcula la suma de los ángulos interiores del poliedro.
Supongamos el número de vértices v, el número de caras f y el número de aristas e del poliedro. Corta una superficie para convertirla en una figura plana (figura abierta) y encuentra la suma de todos los ángulos σ α en la superficie.
Por un lado, la suma de los ángulos interiores se obtiene utilizando todas las caras de la imagen original.
Hay f caras, el número de lados de cada cara es n1, n2,...,nf La suma de los ángulos interiores de cada cara es:
σα=. [(n 1- 2)1800 (N2-2)1800 … (nf-2)1800]
=(n 1 N2 … nf-2f)1800
=(2e -2f)1800 =(e-f)3600(1)
Por otro lado, la suma de los ángulos interiores se obtiene utilizando los vértices en el gráfico abierto.
Supongamos que una superficie de corte es un polígono N y la suma de sus ángulos interiores es (n-2 n-2) 1800. Entonces, entre todos los V vértices, hay N vértices en los lados y v-n vértices en el centro. . La suma de los ángulos interiores de los v-n vértices del medio es (V-N) 3600, y la suma de los ángulos interiores de los N vértices laterales es (N-2 n-2) 1800.
Entonces, la suma de los ángulos interiores de cada cara del poliedro:
σα=(v-n)3600 (n-2)1800 (n-2)1800
=(v-2) 3600. (2)
de(1)(2): (e-f)3600 = (v-2)3600.
Entonces v f-e=2.
Cómo aplicar el teorema de Euler
(1) Fracción:
a^r/(a-b)(a-c) b^r/(b-c)( b-a ) c^r/(c-a)(c-b)
Cuando r=0,1, el valor de la fórmula es 0.
Cuando r=2, el valor es 1.
Cuando r=3, el valor es a b c B C.
(2) Números complejos
De e I θ = cos θ isinθ, obtenemos:
sinθ=(e^iθ-e^-iθ) / 2i
cosθ=(e^iθ e^-iθ)/2
(3) Triángulo
Supongamos que r es el radio de la circunferencia circunstante del triángulo, r es el radio del círculo inscrito, d es la distancia desde el centro exterior al centro interior, entonces:
d^2=r^2-2rr
( 4) Poliedro
Supongamos que v es el número de vértices, e es el número de aristas y f es el número de caras, entonces
v-e f=2-2p
Por ejemplo, p es la característica de Euler.
El poliedro con p=0 se llama poliedro de tipo cero.
El poliedro con p=1 se llama primer poliedro.
(5) Polígono
Supongamos que el número de vértices de una figura geométrica bidimensional es v, el número de áreas divididas es ar y el número de trazos es b, entonces :
v ar-b=1
(Por ejemplo, una figura formada por un rectángulo y dos diagonales, v = 5, ar = 4, b = 8)
(6 ) Teorema de Euler
En un mismo triángulo, su círculo circunscrito, centro de gravedad, centro de nueve puntos y línea central vertical ***.
De hecho, existen muchas fórmulas de Euler, las anteriores son solo algunas de las más utilizadas.
Utiliza el teorema de Euler para calcular el número de pentágonos y hexágonos en el fútbol.
P: La superficie de fútbol está hecha de cuero pentagonal y hexagonal. A * * *, ¿cuántos pentágonos y hexágonos hay?
Respuesta: Una pelota de fútbol es un poliedro que satisface la fórmula de Euler F-E V = 2, donde F, E, v E y V representan el número de caras, aristas y vértices respectivamente.
Supongamos que hay pentágonos regulares (cuero negro) y hexágonos (cuero blanco) con X e Y en la superficie del balón de fútbol, entonces
El número de caras f = x y
Número de lados e = (5x 6y)/2 (cada lado consta de un cuero negro y un cuero blanco * * *).
Número de vértices v = (5x 6y)/3 (cada vértice es utilizado por tres skins * * *).
Según la fórmula de Euler, obtenemos x y-(5x 6y)/2 (5x 6y)/3 = 2, x = 12.
Entonces * * * hay 12 piezas de cuero negro
Entonces el cuero negro * * * tiene 12 × 5 = 60 lados, todos cosidos junto con el cuero blanco.
Para el cuero blanco, de los seis lados de cada pieza de cuero blanco, se cosen tres lados junto con los lados de cuero negro, y los otros tres lados se cosen junto con los lados de otros cueros blancos. , por lo que la mitad de todos los lados del cuero blanco se cosen junto con el cuero negro.
Entonces un trozo de cuero blanco debería tener 60 × 2 = 120 lados, 120 ÷ 6 = 20.
Entonces * * * hay 20 piezas de piel blanca en la dinámica. El teorema de rotación de Euler establece que si un cuerpo rígido es desplazado por al menos un punto fijo en el espacio tridimensional, entonces el desplazamiento debe ser igual a la rotación alrededor de un eje fijo que contiene el punto fijo. Este teorema lleva el nombre del matemático suizo Leonhard Euler. En términos matemáticos, la relación entre dos sistemas de coordenadas en cualquier origen en el espacio tridimensional es una rotación alrededor de un eje fijo que contiene el origen. Esto también significa que el producto de dos matrices de rotación sigue siendo una matriz de rotación. Una matriz de rotación que no es una matriz identidad debe tener un valor propio real, que es 1. El vector propio correspondiente a este valor propio es colineal con el eje fijo alrededor del cual se centra la rotación [1]. Tabla de contenido [Oculto] 1 Aplicar 1.1 Generador de rotación 1.2 Cuaternión 2 Referencia 3 Referencia [Editar] Aplicar [Editar] Generador de rotación Proyectos principales: Matriz de rotación, Grupo de rotación Si configuramos el vector unitario en un eje fijo y asumimos que valores de ángulos pequeños δ θ giran alrededor de este eje fijo; a la primera aproximación de potencia, la matriz de rotación se puede expresar como: una rotación angular alrededor del eje fijo se puede considerar como múltiples pequeñas rotaciones consecutivas alrededor del mismo eje fijo; rotación El ángulo es 0, que es un número muy grande. De esta forma, el valor angular de la rotación alrededor del eje fijo se puede expresar como: Podemos ver la explicación básica del teorema de rotación de Euler: todas las rotaciones se pueden expresar de esta forma. El producto es un generador de esta rotación. Analizar con un generador suele ser un enfoque sencillo, en lugar de utilizar toda la matriz de rotación. El conocimiento del metanálisis generativo generalmente se considera el álgebra de Lie de los grupos de rotación. [Editar] Cuaternión Según el teorema de rotación de Euler, la orientación relativa de dos sistemas de coordenadas cualesquiera se puede establecer mediante un conjunto de cuatro números; entre ellos, tres números son cosenos directores, utilizados para establecer el vector propio (eje fijo); es el ángulo de rotación alrededor del eje fijo. A este conjunto de cuatro números se le llama cuaternión. Los cuaterniones, como se mencionó anteriormente, no involucran números complejos.
Si se utilizan cuaterniones para describir dos rotaciones consecutivas, deben evaluarse en forma compleja utilizando números irreducibles derivados de William Rowan Hamilton. En aplicaciones aeroespaciales, el método del cuaternión para calcular la rotación ha reemplazado al método del coseno direccional. Esto se debe a que reducen el trabajo requerido y minimizan los errores de redondeo. Además, en gráficos por computadora, ser capaz de realizar simplemente una interpolación lineal esférica entre cuaterniones es extremadamente valioso.