Se sabe que la superficie de el tetraedro regular ABCD es S, y sus cuatro Los centros de las tres caras son E, F, G y h respectivamente. Sea el área de superficie del tetraedro EFGH T, que es igual a ().
Banco Asiático de Desarrollo.
2. [Examen Nacional de Ingreso a la Universidad de 2004 (Shandong, Shanxi, Henan, Hebei, Jiangxi, Anhui) Preguntas 16 de Ciencias y Matemáticas, Preguntas 16 de Matemáticas de Artes Liberales]
Conocido A y B son líneas rectas no verticales en diferentes planos, por lo que las proyecciones de A y B en el plano pueden serlo.
①Dos rectas paralelas ②Dos rectas perpendiculares
③La misma recta ④Una recta y sus puntos exteriores.
En una conclusión, el número de conclusiones correctas es (escribe el número de todas las conclusiones correctas).
3. [Examen Nacional de Ingreso a la Universidad de 2004 (Sichuan, Yunnan, Jilin, Heilongjiang) Pregunta 6 de Matemáticas y Artes Liberales]
La longitud del lado y la longitud de la base de una pirámide cuadrada regular son ambas. 1. Entonces el ángulo entre el lado y la parte inferior es ().
75 al 60 d.C.
4. [Examen Nacional de Ingreso a la Universidad de 2004 (Sichuan, Yunnan, Jilin, Heilongjiang) Pregunta 7 de Ciencias y Matemáticas, Pregunta 10 de Artes Liberales y Matemáticas]
p>
Dado que el radio de la esfera O es 1, los tres puntos A, B y C están todos en la esfera, y la distancia esférica entre cada dos puntos es 0, entonces
Desde el centro o hasta el avión La distancia ABC es ()
Banco Asiático de Desarrollo.
5. [Examen nacional de ingreso a la universidad de 2004 (Sichuan, Yunnan, Jilin, Heilongjiang) 16 preguntas en ciencias y matemáticas, 16 preguntas en matemáticas de artes liberales]
Las siguientes son cuatro proposiciones sobre los cuatro prismas:
① Si las dos superficies laterales son perpendiculares a la base, entonces el prisma cuadrado es un prisma cuadrado recto.
② Si las secciones transversales de los dos lados opuestos son perpendiculares a la base, el prisma es un prisma recto.
(3) Si los cuatro lados son congruentes, el cuadrilátero es un cuadrilátero recto.
(4) Si las cuatro diagonales de un cuadrilátero son iguales, el cuadrilátero es un cuadrilátero recto.
Entre ellas, se encuentra el número de proposiciones verdaderas (el número de todas las conclusiones correctas escritas).
6. [Examen Nacional de Ingreso a la Universidad de 2004 (Shaanxi, Guangxi, Hainan, Tíbet, Mongolia Interior) Pregunta 9 de Ciencias y Matemáticas, Pregunta 10 de Artes Liberales y Matemáticas]
Si los lados de la base de una pirámide triangular regular tiene una longitud de 2 y cada lado es un triángulo rectángulo, entonces el volumen de esta pirámide triangular es ().
Banco Asiático de Desarrollo.
7. [Examen Nacional de Ingreso a la Universidad 2004 (Shaanxi, Guangxi, Hainan, Tíbet, Mongolia Interior) Ciencias y Matemáticas 13 preguntas, Artes Liberales Matemáticas 14 preguntas]
Si la distancia de el centro de la esfera con respecto al plano es 0, entonces la relación entre el área del círculo truncado y el área de la superficie de la esfera es 0.
8. [La tercera pregunta de Matemáticas de Artes Liberales en el Examen Nacional de Ingreso a la Universidad de 2004 (Gansu, Guizhou, Qinghai, Ningxia, Xinjiang)]
Una diagonal en el lado de una prisma triangular regular es 2. En un ángulo de 45° con la base, el volumen de este prisma triangular es ().
Banco Asiático de Desarrollo.
9. [Examen Nacional de Ingreso a la Universidad de 2004 (Gansu, Guizhou, Qinghai, Ningxia, Xinjiang) Pregunta 7 de Ciencias y Matemáticas]
Para líneas rectas m, n y planos, ¿cuál de ellos? las siguientes proposiciones son correctas? La proposición de es ()
A. Si n es una línea recta en diferentes planos, entonces
B. , luego se cruzan.
C. Si, n***, entonces
D. Si, n***, entonces
10. Artes Matemáticas Pregunta 11 (Gansu, Guizhou, Qinghai, Ningxia, Xinjiang)]
Se sabe que el área de superficie de una esfera es 20 y que hay tres puntos A, B y C en la esfera. Si AB=AC=BC=2, entonces el centro de la esfera es plano.
La distancia de la superficie ABC es ()
A.1B. CD 2
11. [Examen de ingreso a la universidad nacional de 2004, ciencias y matemáticas, 10 preguntas (Gansu, Guizhou, Qinghai, Ningxia, Xinjiang)]
Se sabe que la superficie de La esfera mide 20π y hay tres puntos A, B y C.
Si AB=AC=2, BC=, entonces la distancia desde el centro de la esfera
al plano ABC es ()
A.1B. CD .2
12. (Examen de ingreso a la Universidad de Beijing de 2004, tercero en ciencias e ingeniería, tercero en literatura e historia)
Supongamos que m y n son dos líneas rectas diferentes y tres diferentes. planos, Se dan las siguientes cuatro proposiciones:
(1) Si..., entonces
②Si..., entonces
③Si..., entonces
(4) Si, entonces
El número de secuencia de la proposición correcta es
A ① y ②B y ③C y ④D. p>
13. (Examen de ingreso a la Universidad de Beijing de 2004, Ciencia y Tecnología, Pregunta 4, Literatura e Historia, Pregunta 6)
Como se muestra en la figura, en un cubo, P es un punto en movimiento. en el borde. Si la distancia de P a la recta BC es igual a la distancia de la recta, entonces la curva de trayectoria del punto en movimiento P es
Recta b. /p>
14. (Examen de ingreso a la Universidad de Beijing de 2004, Ciencias e Ingeniería 11, Literatura e Historia 12)
La longitud de la latitud norte del globo es y el radio del globo es _ _ _ _ _ _ _ _ _cm.
La superficie es de _ _ _ _ _ _ _ _ _ cm2.
15 [En el Examen Nacional de Ingreso a la Universidad de 2004 (Shandong, Shanxi, Henan, Hebei, Jiangxi, Anhui), 20º en ciencias y matemáticas, 21º en artes liberales y matemáticas, con una puntuación total de 12. ]
Como se muestra en la figura, se sabe que la pirámide cuadrangular P-ABCD, PB⊥AD, la almohadilla lateral es un triángulo equilátero con longitud de lado igual a 2, la base ABCD es un rombo, y el ángulo diédrico formado por la almohadilla lateral y la base ABCD es 120.
(I) Encuentre la distancia desde el punto P al plano ABCD;
(II) Encuentre el ángulo diédrico formado por la superficie APB y la superficie CPB.
16 [En el examen nacional de ingreso a la universidad de 2004 (Sichuan, Yunnan, Jilin y Heilongjiang), ocupé el puesto 20 en ciencias y matemáticas y el 20 en artes liberales y matemáticas, con una puntuación total de 12]
Como se muestra en la imagen, en el prisma derecho ABC-A1b1c1, ∠ACB= 90°, AC=1, CB =, lado AA1=1, lado AA1b655.
㈠Verifique el plano CD⊥ bdm;
(ⅱ) Encuentre el ángulo diédrico entre B1BD y CBD.
17. [En el examen nacional de ingreso a la universidad de 2004 (Shaanxi, Guangxi, Hainan, Tíbet, Mongolia Interior), 20º en ciencias y matemáticas, 21º en artes liberales y matemáticas, con una puntuación total de 12]
En la pirámide triangular En P-ABC, el lado PAC es perpendicular a la base ABC, PA=PB=PC=3.
(1) Verificación: ab⊥BC;;
(2. Ciencia) Suponga AB=BC= y encuentre el ángulo entre AC y el plano PBC.
(2, Artes liberales) Si AB=BC=, encuentra el ángulo diédrico formado por el lado PBC y el lado PAC.
18. [El examen nacional de ingreso a la universidad de 2004 (Gansu, Guizhou, Qinghai, Ningxia, Xinjiang) ocupó el puesto 20 en ciencias y matemáticas, el 21 en artes liberales y matemáticas, con una puntuación total de 12]
Como se muestra en la imagen, en la pirámide cuadrangular P-ABCD, la base ABCD es un rectángulo, AB=8, AD=4, las almohadillas laterales son triángulos equiláteros y el ángulo diédrico con la base es de 60° .
(I) Encuentre el volumen de la pirámide P-ABCD;
㈡Demuestre PA⊥BD.
19 (Examen de ingreso a la Universidad de Beijing, Literatura e Historia, 2004). , 16 preguntas, la puntuación total para esta pregunta es 14)
Como se muestra en la figura, en un prisma triangular regular, AB = 2, el punto de intersección del camino más corto desde el vértice B hasta el vértice a lo largo el borde del prisma está marcado como m y la solución es:
(I) La longitud diagonal de la vista ampliada del lado de un prisma triangular.
(II) La longitud total del camino más corto
(III) El tamaño del ángulo diédrico (ángulo agudo) formado por el plano y el plano ABC.
20. (Examen de ingreso a la universidad de Beijing de 2004, ciencia y tecnología, 16 preguntas, la puntuación total para esta pregunta es 14)
Como se muestra en la figura, en un prisma triangular regular. , ab = 3, m es el punto medio, p es un punto en BC, la longitud de la ruta más corta de p a m a lo largo del borde del prisma es, suponiendo que la intersección de esta ruta más corta y n es, encuentre:
(I) Diagrama de expansión lateral de un prisma triangular La diagonal es más larga.
(ii) La longitud de PC y NC
(III) El tamaño del ángulo diédrico (ángulo agudo) formado por el plano NMP y el plano ABC (expresado mediante función trigonométrica inversa)
Respuestas de referencia
1.A2.①②④3.C4.B5.②④6. C7.8.A9.C
10.A11. A12. A13. D14.
15. [Examen Nacional de Ingreso a la Universidad de 2004 (Shandong, Shanxi, Henan, Hebei, Jiangxi, Anhui) Pregunta 20 de Ciencias y Matemáticas, Pregunta 21 de Artes Liberales y Matemáticas]
Esta pregunta es examina principalmente conocimientos básicos como pirámides, ángulos diédricos y la relación entre líneas y planos. También examina la imaginación espacial, el razonamiento y las habilidades informáticas. La puntuación total es 12.
(1) Solución: Como se muestra en la figura, dibuje el plano PO⊥ ABCD, con el pie vertical como punto o, conecte OB, OA, OD, OB, AD en el punto e y conecte PE .
∵AD⊥PB, ∴AD⊥OB,
∵PA=PD, ∴OA=OD,
Entonces OB biseca a AD, y el punto e es AD El punto medio de , entonces PE⊥AD.
Entonces ∠PEB es el ángulo plano del ángulo diédrico formado por la superficie PAD y la superficie ABCD.
∴∠PEB=120, ∠PEO=60
De la situación conocida, PE=
∴PO=PE sin60 =,
p>
Es decir, la distancia del punto P al plano ABCD es.
(2) Solución 1: Establezca un sistema de coordenadas rectangular como se muestra en la figura, donde O es el origen de las coordenadas y el eje X es paralelo a DA.
Enlace AG.
También sabemos por esto:
Por lo tanto
es igual al ángulo plano del ángulo diédrico,
Por lo tanto
Entonces el tamaño del ángulo diédrico es.
Solución 2: Como se muestra en la figura, tomar el punto medio g de PB y el punto medio f de PC, conectar EG, AG y GF, luego AG⊥PB, FG//BC, FG=BC.
∵AD⊥PB, ∴BC⊥PB, FG⊥PB,
∴∠AGF es el ángulo plano del ángulo diédrico.
∵AD⊥Frente a Bob, ∴AD⊥ej.
Y ∵PE=BE, ∴EG⊥PB y ∠PEG=60.
En Rt△PEG, p. ej. = PE COS60 =.
En Rt△PEG, EG=AD=1.
Entonces Tan ∠GAE==,
Y ∠AGF = π-∠GAE.
Entonces el ángulo diédrico es π-arctangente.
16. [20.º lugar en ciencias y matemáticas, 20.º lugar en matemáticas de artes liberales en el examen nacional de ingreso a la universidad de 2004 (Sichuan, Yunnan, Jilin, Heilongjiang)]
Esta pregunta es principalmente examina la relación entre líneas y planos y el conocimiento básico de los prismas rectángulos, así como la capacidad de imaginar y razonar sobre el espacio.
La puntuación total es 12.
Solución 1: (1) Como se muestra en la figura, conecta CA1, AC1 y CM, entonces CA1=
∫CB = ca 1 =, ∴△CBA1 es un triángulo isósceles ,
p>
También sabemos que d es el punto medio de su base A1B,
∴CD⊥A1B.∵a1c1=1,c1b1=,∴a1b1=
Y BB1=1, A1B=2. ∫△a 1CB es un triángulo rectángulo y d es el punto medio de A1B.
∴CD=A1B=1, CD=CC1, DM=AC1=, DM=C1M.
∴△CDM≌△CC1M, ∠ CDM = ∠ CC 1m = 90, que es CD⊥DM.
Debido a que A1B y DM están ubicados en BDM, CD⊥ plano BDM que se cruza líneas rectas.
(2) Sean f y g los puntos medios de BC y BD respectivamente, conectando B1G, FG y B1F, luego FG//CD, FG=CD.
∴FG=,FG⊥BD.
BD=B1D=A1B=1 se puede conocer a partir de la intersección de las diagonales del rectángulo lateral Bb1A.
Entonces △BB1D es un triángulo equilátero con una longitud de lado 1.
Entonces B1G⊥BD, b1g = ∴ b1gf es el ángulo plano del ángulo diédrico.
Y b 1 F2 = b 1 B2+bf2 = 1+(=,
∴
Es decir, el tamaño del ángulo diédrico es
Opción 2: Como se muestra en la figura, establezca un sistema de coordenadas con C como origen
(i) B(,0,0), B1(,1,0), A1(0,1, 1),
d(, M(, 1, 0),
Entonces ∴CD⊥A1B de CD⊥DM.
Porque A1B y DM son dos rectas que se cruzan en el plano BDM, CD⊥ plano BDM
(ii) Sea G el punto medio de BD y conecte B1G, entonces
g( ),, ,),
Entonces el ángulo diédrico es igual a
17 [Examen Nacional de Ingreso a la Universidad 2004 (Shaanxi, Guangxi, Hainan, Tíbet, Mongolia Interior) Ciencias y Matemáticas. Pregunta 20, Pregunta 21 de Matemáticas de Artes Liberales]
Esta breve pregunta examina principalmente la naturaleza perpendicular de dos planos, el ángulo entre una línea recta y un plano, y la capacidad de pensamiento lógico y de imaginación espacial <. /p>
(Uno. ) Prueba: como se muestra en la Figura 1, tome el punto medio D de CA y conecte PD y BD
Porque PA=PC, PD⊥AC, también conocido como PAC⊥. ABC,
Por lo tanto, en En la superficie de PD⊥, ABC yd son catetos verticales
Porque PA=PB=PC, DA=DB=DC,
.Se sabe que AC es el diámetro del círculo circunscrito de △ABC Entonces AB⊥BC.
(2. Ciencia) Solución: Como se muestra en la Figura 2, sea CF⊥PB. f, conecte AF y DF
Porque △PBC≔△PBA, AF ⊥PB, AF = CF
Por lo tanto, PB⊥Aircraft AFC,
. Entonces la recta de intersección de AFC⊥Pedestrian es CF,
Por lo tanto, la recta AC La proyección en el plano PBC es la recta CF,
∠ACF es el ángulo formado por AC y plano PBC
En Rt△ABC, AB=BC=2, entonces BD =
En Rt△PDC, DC=
En Rt△PDB,
En Rt△FDC, entonces ∠ ACF = 30. >
En otras palabras, el ángulo entre los planos AC y PBC es 30°
(2, Liberal Arts. ) Solución: Debido a que AB=BC, d es el punto medio de AC, BD⊥AC,
PAC ⊥ ABC,
Entonces BD ⊥ plano PAC, d son pies verticales
Sea BE ⊥ PC en e, conecte de,
Porque DE es la proyección de BE en el plano PAC,
Entonces DE⊥PC y ∠BED son el plano ángulos de los ángulos diédricos
En Rt△ABC, AB =BC=, entonces BD=
En Rt△PDC, PC=3, DC=, PD=, <. /p>
Por lo tanto
Por lo tanto, en Rt En △BDE,
Por lo tanto, el ángulo diédrico formado por el lado PBC y el lado PAC es de 60°.
18. [Examen Nacional de Ingreso a la Universidad de 2004 (Gansu, Guizhou, Qinghai, Ningxia, Xinjiang) Pregunta 20 de Ciencias y Matemáticas, Pregunta 21 de Artes Liberales y Matemáticas]
Esta pequeña pregunta evalúa principalmente la pirámide Conocimiento del volumen, ángulos diédricos, ángulos formados por rectas en distintos planos, imaginación y análisis espacial.
Capacidad de interrogación. La puntuación total es 12.
Solución: (1) Como se muestra en la Figura 1, tome el punto medio e de AD, conéctelo a PE y luego conéctelo a PE⊥AD.
Construya un PO⊥ plano en ABCD, y el pie vertical es o, entonces OE.
Según el teorema inverso del teorema de las tres perpendiculares, obtenemos OE⊥AD,
Entonces ∠PEO es el ángulo plano del ángulo diédrico formado por la almohadilla lateral y la parte inferior. superficie,
Según las condiciones conocidas ∠ peo = 60, PE=6,
Entonces PO=3, el volumen de la pirámide cuadrangular es p-ABCD.
VP—ABCD=
(2) Opción 1: Como se muestra en la Figura 1, establezca un sistema de coordenadas rectangular espacial con O como origen. Se puede calcular.
P(0,0,3),A(2,-3,0),B(2,5,0),D(-2,-3,0)
Por lo tanto
Debido a esto, PA⊥BD.
Opción 2: como se muestra en la Figura 2, conecte AO, extienda AO a BD en el punto f y, mediante el cálculo, EO =3, AE=2,
También sabiendo AD=4 y AB=8,
obtener
Entonces Rt△AEO∽Rt△ no es bueno.
Obtén ∠EAO=∠ABD.
Entonces ∠ EAO + ∠ ADF = 90.
Entonces AF⊥BD
Debido a que la línea recta AF es la forma de la línea recta PA en el plano ABCD, PA⊥BD.
19. Examen de ingreso, Literatura e historia, 16 preguntas, la puntuación total de esta pregunta es 14)
Esta pregunta evalúa principalmente conocimientos básicos como la relación posicional entre líneas rectas y planos, prismas, etc., y evalúa imaginación espacial, pensamiento lógico y habilidades operativas. Una puntuación perfecta de 14.
Solución: (1) La vista lateral de un prisma triangular regular es un rectángulo con una longitud de 6 y un ancho de 2.
La longitud de su diagonal es
(2) Como se muestra en la figura, gire el lado alrededor del borde para que quede en el mismo plano que el lado y mueva el punto B a la posición del punto D, la línea de conexión cruza m, que es el camino más corto desde el vértice B al vértice C1 a lo largo del borde del prisma, y su longitud es
Por lo tanto
( III) conecta DB, entonces DB es la intersección del plano ABC y el plano ABC.
Unidad de potencia auxiliar
y
Del teorema de las tres rectas verticales
Es el plano del ángulo diédrico formado por la plano ABC Ángulo (ángulo agudo).
Los lados son cuadrados
Por lo tanto, el ángulo diédrico (ángulo agudo) formado por el plano ABC y el plano ABC es
20 (2004 Beijing Institute of Technology College. Pregunta 16 del examen de ingreso)
Esta pregunta evalúa principalmente conocimientos básicos como la relación posicional entre líneas rectas y planos, prismas, etc., y evalúa la imaginación espacial, el pensamiento lógico y las habilidades operativas. Una puntuación perfecta de 14.
Solución: (1) La vista de expansión lateral de un prisma triangular regular es un rectángulo con una longitud de 9 y un ancho de 4, y su longitud diagonal es
(2) Como se muestra en la Figura 1, gire los lados alrededor de los bordes para que queden en el mismo plano que los lados. Cuando el punto P se mueve a la posición del punto, la conexión es el camino más corto desde el punto P a lo largo del lado del prisma hasta el punto m.
Entonces, supongamos que se obtiene del teorema de Pitágoras.
Buscando
(3) Como se muestra en la Figura 2, la conexión es la intersección del plano NMP y el plano ABC, dibujado en H, y se forma la línea que conecta el plano ABC y ch. por tres perpendiculares se obtiene el teorema.
Es el ángulo plano (ángulo agudo) del ángulo diédrico formado por el plano NMP y el plano ABC.
In,
In,
Por tanto, el ángulo diédrico (ángulo agudo) formado por el plano NMP y el plano ABC es