(II) La recta AB está en diferentes ángulos El valor de la tangente en el plano y el ángulo formado;
(3) Pirámide triangular - volumen - Abe.
Solución: (I) Tome el centro de la superficie inferior superior y conéctelo.
El plano se obtiene de las propiedades del cuboide, y del teorema de las tres perpendiculares,
, es el ángulo plano del ángulo diédrico.
.
En,
(ⅱ) Toma el punto medio g y súmalo.
Esto es fácil de demostrar, pero es por el simple hecho de buscar.
. .
En,
(iii) está conexo y es fácil probar el avión.
∴
2. Como todos sabemos, cuando el área de la sección transversal del canal permanece sin cambios, cuanto menor sea el perímetro mojado del canal, mayor será el caudal. . Hay dos diseños, como se muestra en la siguiente figura:
Figura ① La sección transversal es isósceles △ABC, AB=BC y el agua está mojada a su alrededor.
Figura ②La sección transversal es un trapecio isósceles‖ y el agua a su alrededor está húmeda. Si el área del trapezoide ABCD es toda s,
(I) el valor mínimo obtenido por sí solo
(2) maximiza el caudal y da la mejor solución de diseño.
Para la solución (i) de la Figura ①, supongamos: .
Entonces, como , y son todos valores positivos, se puede obtener la solución.
Toma el signo igual si y sólo si, es decir, si.
Entonces.
En la Figura ②, supongamos. ser obtenido.
,
Resolver.
.
Toma el signo igual si y sólo si, es decir, si.
(ii) Porque el valor mínimo de es menor que el valor mínimo de .
Por lo tanto, en el plan ②, el diseño al obtener el valor mínimo es el mejor plan.
3. Se sabe que el rayo OA es y = 2x (x > 0), el rayo OB es y = –2x (x > 0), el punto móvil P (x, y) es. adentro, y el cuadrilátero El área de ONPM es 2 en n. ..
(I) La coordenada vertical y del punto en movimiento P es función de su abscisa x Encuentre la expresión analítica de esta función y = f(x);
(II) determine el dominio de y=f(x).
Solución: (1) Supuesto.
Entonces,
desde dentro del punto en movimiento, se obtiene.
∴ ,
∴
∴ ①
Dilo de nuevo,
resuélvelo por separado, p>
Sustituye ① para eliminar y simplificar.
∵ ,∴ .
(ii) Obtenido del interior.
El pie vertical debe estar sobre el rayo, de lo contrario, y los cuatro puntos no pueden formar un cuadrilátero, por lo que también se deben cumplir las condiciones.
∴
Entonces el campo es
4 Como se muestra en la figura, en el paralelepípedo ABCD-A 'b' c'd ', AC =. 2, BC = AA' = A 'c = 2, ∠ABC = 90°, el punto O es la proyección del punto A' en el ABCD inferior, que cae exactamente sobre AC.
(1) Encuentra el ángulo entre el lado AA ' y la base ABCD;
(2) Encuentra la tangente del ángulo diédrico formado por el lado A'ADD ' y la base ABCD <; /p>
(3) Encuentra el volumen de la pirámide C - A'plus'.
Solución: (I) Conectar, entonces el plano en
∴ es el ángulo formado por el lado y la parte inferior.
Aquí,
∴ es un triángulo rectángulo isósceles.
∴, es decir, el ángulo entre el lado y la base es 45°,
(II) En isósceles ∴, o es el punto medio de comunicación,
Incluso más que la o de e. El plano ABCD en o,
Según el teorema de las tres rectas verticales,
∴∠ es el ángulo plano del ángulo diédrico formado por la superficie lateral y la superficie inferior ABCD.
∫∠ABC =,, ∴ABCD en la parte inferior es un cuadrado.
∴. existir,.
En otras palabras, la tangente del ángulo diédrico es.
(iii) Se puede ver en (ii).
∴.
∵ ,∴ .
∵, ∴ planos, su intersección es.
Si haces demasiado, entonces.
.
El punto medio de , es decir, la distancia del punto C al plano.
∴.
Otra solución:.
5. Se sabe que la secuencia {an} satisface A1 = 2, y para cualquier n∈N, an > 0.
Y (n+1) a+Anan+1-na = 0, secuencia {bn}: b1 = 2n-1.
(1) Encuentra el término general an de la secuencia {an} y sus primeros n términos y sn
(2) Encuentra los primeros n términos de la secuencia {bn} y t n;
(3) Adivina la relación entre Sn y Tn y explica el motivo.
Solución: (i)√
∴.
∴
∴ ,∴ . Ahora mismo.
∴.
∴, nuevamente ∴, ∴
∴.
(Ⅱ)∵ ,
∴
.
(Ⅲ)
Cuando,,∴;
Cuando,,∴;
Cuando,,∴;
Cuando,,∴;
Cuando,,∴;
Cuando, ∴.
Adivina: cuando,. Ahora mismo. Eso es.
Por inducción matemática se demuestra lo siguiente:
Cuando, se ha verificado lo anterior;
Suponiendo que sea cierto, entonces cuando,
.
∴Mantenga también esta visión cuando sea apropiado.
Como se puede ver en lo anterior, si lo hay, habrá cuando;
Cuando,.
6. Como se muestra en la figura, los planos de △ABC y △DBC son perpendiculares entre sí, AB=BC=BD, ∠CBA=∠DBC=120o, encuentre.
(1) El ángulo entre AD y el plano BCD;
(2) El ángulo entre AD y BC
(3) Ángulo diédrico Línea tangente A; -BD-C.
Solución: (1) Como se muestra en la figura, las líneas de extensión de AE⊥CB y CB se cruzan con e y están conectadas a DE.
∫Plano ABC⊥Plano DBC∴AE⊥Plano DBC,
∴∠ADE es el ángulo entre AD y el plano CBD.
AB = BD, ∠CBA=∠DBC, EB=EB
∴∠ABE=∠DBE,∴△DBE≌△ABE
∴DE⊥ CB y de = Angstrom
∴∠ ADB = 45∴∴ El ángulo formado por AD y el plano CBD
es de 45°.
(2) De (1), sabemos que el plano CB⊥ ADE
∴AD⊥BC, es decir, el ángulo entre AD y BC es de 90 grados.
③e es EM⊥BD en m
Según (2) y el teorema de la triple perpendicularidad, AM⊥BD,
∴∠AME es el ángulo diédrico A -El ángulo suplementario del ángulo plano de BD-C.
ae = be = 2me, ∴ TG ∠ AME = 2, por lo que la tangente del ángulo diédrico A-BD-C es -2.
7. En la pirámide triangular P-ABC, los tres lados PA, PB y PC son perpendiculares entre sí. Las áreas de los tres lados son S1, S2 y S3 respectivamente. es S. El área entre los tres lados y la base es Los ángulos son α, β y γ respectivamente, y (1) está representado por S1, S2 y S3.
(2) Verificación: cos 2α+cos 2β+cos 2γ= 1;
Solución: Supongamos PA=a, PB=b, PC=c, entonces S1= ab, S2= bc, S3= ca
Haciendo PD⊥BC en d, o incluso AD, es fácil demostrar que BC⊥ es una plataforma plana,
Entonces BC⊥AD; , en Rt△APD, AD2=a2+PD2,
En Rt△BPC, PD2=,
∴AD2=a2+
∴s△abc2= ( BC×ad) 2 =(a2 B2+B2 C2+C2 a2)= 1
∴
Se demuestra a partir de (1) que PD⊥BC, AD⊥BC, ∴∠PDA son las aristas PBC y El ángulo plano del ángulo diédrico formado por la base ABC, así que sea ∠PDA=α,
PD2=, AD2=
∴cos2α=; de manera similar cos 2β=;
cos 2γ=; ∴cos2α+cos2β+cos2γ=1
8 En cierta pesquería, la tasa de crecimiento del peso de los peces en el primer año fue de 400. %, y la tasa de crecimiento anual del peso fue tres veces mayor que la del año anterior. Al mismo tiempo, se estima que los peces pierden aproximadamente el 10% de su peso corporal cada año. Se estima que el costo de la piscicultura en el primer año es el 20% del costo de los alevines, y el costo anual M(t) y el número de años t satisfacen la relación (donde el costo de los alevines, ). Unos años más tarde, se capturará todo el pescado de esta pesquería. El valor de producción del pescado es alto y el costo es bajo (suponiendo que el precio de los alevines es de 30 yuanes/maliciosa y el precio de mercado del pescado adulto es de 7 yuanes//. malicioso).
Solución: Maximizar el valor de producción de pescado en el primer año. p es el peso total de los alevines, entonces
,
...,
Cuando...
Es decir, en el cuarto año, el valor de producción del pescado es el más alto; por otro lado,
sigue siendo 4.
Utilizamos el costo de los insumos en ese año para comparar el aumento. en el valor de producción g en el cuarto año en comparación con el tercer año.
Si G≠0;
Si hay uno, tómalo.
∴Pescando, es decir, pescando en esta pesquería después de tres años, el valor total de producción de pescado será alto y el costo será bajo.
9. Elipse c conocida: (a > b > 0) Los dos extremos del eje mayor son a y b,
(1) El foco F es la cuerda perpendicular a el eje largo PP'. Cuando tg∠APB=, encuentre la excentricidad de C.
(2) Si hay un punto Q en C, y ∠AQB=1200, encuentre el rango de excentricidad de C.
Solución: (1) Sea f el foco derecho; p está debajo del eje X, la abscisa es C, luego la ordenada es.
kPA=, kPB=.
∴tg∠APB= ,∴ ,∴e=.
(2) Supongamos que θ(x, Y) está por encima del eje X, es decir, Y > 0.
kAQ=,kBQ=,∴ =tg∠AQB=.
∴ =(x2+y2-a2)+2ay=0.
Esta ecuación es simultánea a la ecuación elíptica, y=0 o. A partir de y=0, q coincide con aob y se descarta. Si es así, q está en la parte superior de la elipse.
∴ ≤b,∴ ,∴e∈.
10. Al comprar bienes por valor de 5.000 yuanes, adopte el método de pago a plazos. El monto de pago de cada cuota es el mismo, se pagará en su totalidad después de 1 mes y en su totalidad después de 12 pagos. Si el interés mensual es del 0,8%, el interés mensual se calcula como interés compuesto (.
Solución: Supongamos que se reembolsan X yuanes en cada período. Según el significado de la pregunta, obtenemos
Entonces.
La fórmula de la suma de los primeros n términos de la serie geométrica
X≈439 (yuanes) se calcula con la calculadora
Respuesta: El monto a pagar por período es de aproximadamente 439 yuanes. /p>
Opción 2: Supongamos que el reembolso es de X yuanes por período y la deuda después del enésimo período se registra como, entonces,
El monto de la deuda después del primer período es
El monto adeudado después del segundo plazo es
El monto adeudado después del tercer plazo es
……
Después de 12 periodos el monto adeudado es
Porque se han pagado las 12 cuotas, a12=0, es decir,
,
<. p>La solución es x≈439 (yuanes).Respuesta: el monto a pagar por período es de aproximadamente 439 yuanes.