(1) Cuando m=e, encuentre el valor mínimo de f(x).
(2) Analice la función g(x)=f'(x)-x; / El número de puntos cero de 3;
(3) Si hay b & gta & gt0, se establece [f(b)-f(a)]/(b-a)<1, encuentre el rango de m.
(1) Análisis: Cuando m=e, f(x)=lnx+e/x,
Supongamos f′(x)=(x-e)/x2 = 0 = = > x = e;
Cuando x∈(0,e), f′(x)<0, f(x) es la función decreciente en (0,e);
Cuando x∈(e, +∞), f′(x)> 0, y f(x) es una función creciente en (e, +∞);
Cuando Cuando x = e, f(x) toma el valor mínimo f(e)= lne+e/e = 2;
(2) Análisis: ∫ función g(x)= f′(x)- x/3 = 1/x-m/x2-x/3(x > 0),
Supongamos que g(x)=0, obtenemos m =-1/3x 3+x(x > 0
Supongamos φ (x) =-1/3x 3+x (x ≥ 0),
∴φ′(x)=-x^2+1=-(x -1) (x+1);
Cuando x∈(0,1), φ′(x)> 0 y φ(x) es una función creciente en (0,1).
Cuando x∈(1,+∞), φ′(x)<0, φ(x) es una función decreciente sobre (1,+∞);
∴ φ (x) toma el valor máximo en x=1, x=1 es el punto de valor máximo de φ(x), φ(1)= 2/3;
φ(0)=0, combinado La imagen de y=φ(x), como se muestra en la figura;
Comprende:
Cuando m > 2/3, la función g(x) no tiene punto cero;
Cuando m=2/3, la función g(x) tiene un y sólo un punto cero;
Cuando 0 < m < 2/3, la función g(x) tiene dos puntos cero;
Cuando 0 < m < 2/3, la función g(x) tiene dos puntos cero;
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Cuando m≤0, la la función g(x) tiene y tiene sólo un punto cero;
En resumen:
Cuando m > 2/3, la función g( x) no tiene punto cero;
Cuando m=2/3 o m≤0, la función g(x) tiene y solo un punto cero;
Cuando 0 < m < 2/ Cuando 3, la función g( x) tiene dos puntos cero;
(3 análisis: ∫Para cualquier b > a > 0, [f (b)-f (a)]/(b-a)
Equivalente a f(b)-b < f(a)-a constante;
Supongamos h (x) = f (x)-x = lnx+m/x-x (x > 0),
∴h(x) disminuye monótonamente en (0, +∞);
∫h′(x)= 1/x-m/x2-1≤0 Siempre es cierto cuando (0, +∞),
∴m≥-x^2+x=-(x-1/2)^2+1/4(x>0),
∴m ≥1/4;
Para m=1/4, H′(x)= 0 solo se cumple cuando x=1/2;
∴m es [1 /4, +∞).