El número de poliedros regulares es muy pequeño. Puede haber innumerables poliedros, pero sólo hay cinco poliedros regulares: tetraedro regular, hexaedro regular, octaedro regular, dodecaedro regular e icosaedro regular.
Demostración
El número de vértices V, el número de caras F y el número de aristas E
Supongamos que cada cara del poliedro regular es un poliedro regular. Poliedro de n lados y cada vértice tiene m acanalado. El número de aristas E debe ser la mitad del producto del número de caras F y n (se debe utilizar una arista por cada dos caras), es decir,
nF=2E ------ -------- ①
Al mismo tiempo, E debe ser la mitad del producto del número de vértices V y m, es decir,
mV=2E -------------- ②
De ① y ②, obtenemos
F=2E/n, V=2E/m,
Póngalo en la fórmula de Euler V+F-E=2,
p>
Sí
2E/m+2E/n-E=2
Después de ordenar, obtenemos 1/m+1/n=1/2+1/E.
Dado que E es un entero positivo, 1/E>0. Por lo tanto
1/m+1/n>1/2 -------------- ③
Significa que m y n no pueden ser mayores de 3 al mismo tiempo. De lo contrario, ③ no se establece. Por otro lado, debido al significado de myn (el número de aristas en un vértice de un poliedro regular y el número de lados de un polígono), m ≥ 3 y n ≥ 3. Por lo tanto, al menos uno de myn es igual a 3
Cuando m=3, debido a que 1/n>1/2-1/3=1/6, n es un entero positivo, entonces n solo puede ser 3, 4, 5
De la misma manera n=3, m solo puede ser 3, 4, 5
Entonces existen las siguientes situaciones:
n m tipo
3 3 Tetraedro regular
4 3 Hexaedro regular
3 4 Octaedro regular
5 3 Dodecaedro regular
3 5 icosaedros regulares
Dado que los 5 tipos de poliedros anteriores se pueden hacer usando métodos geométricos, otros tipos de poliedros regulares son imposibles
Así que solo hay 5 especies de poliedros regulares