1)
Cuando a=0, f(-x)=(-x)2+|- x| = x ^ 2+| x | = f(x). Esta es una función uniforme.
Cuando a≠0, es una función par o impar.
2)
Supongamos f(x)= x2+∣x-a ∣+1(= x ^ 2+1)+| x-a | ).
Entonces f1(x) es simétrica con respecto a x=0, f2(x) es simétrica con respecto a x = a.
Discusión:
a & lt0, x & lta, f1, f2 disminuyen. f(x)min1=f(a)=a^2+1
a & ltx & lt0, f1 disminuye, f2 aumenta, f(x)= x2+x-a+1 =(x +0,5)2-a+0,75,
f(x)min2=f(-0,5).
x & gt=0, f1 aumenta, f2 aumenta, f(x)min3=f(0)=-a+1.
f(x)min=min[a^2+1,0.75-a,-a+1]
Cuando a≤-0.5, f(x)min = f (-0.5)= 0.75-a;
Cuando -0.5 < a <0,f(x)min=a^2+1
Cuando 0 ≤ a
Cuando a≥0,5, f (x) min = f (0,5) = 0,75+a.