El álgebra abstracta es una disciplina matemática que estudia diversos sistemas algebraicos axiomáticos abstractos. Porque el álgebra puede manejar conjuntos de objetos distintos de los números reales y los números complejos, como vectores, supernúmeros matriciales, transformaciones, etc. , las diferencias de estas colecciones de objetos dependen de sus respectivas leyes de cálculo. Los matemáticos utilizan métodos abstractos para sublimar el contenido común del cálculo individual y alcanzar un nivel superior, así nació el álgebra abstracta. El álgebra abstracta incluye la teoría de grupos, la teoría de anillos, la teoría de Galois, la teoría de la red, el álgebra lineal y muchas otras ramas. , y combinado con otras ramas de las matemáticas para producir nuevas disciplinas matemáticas como la geometría algebraica, la teoría algebraica de números, la topología algebraica y los grupos topológicos. El álgebra abstracta se ha convertido en la lengua franca de la mayoría de las matemáticas contemporáneas.
Gallois (1811-1832) es conocido como un genio matemático y uno de los fundadores del álgebra moderna. Realizó un estudio en profundidad de las condiciones esenciales bajo las cuales se puede resolver una ecuación utilizando raíces. Su "Campo de Galois", "Grupos de Galois" y "Teoría de Galois" son los temas más importantes de la investigación en álgebra moderna. La teoría de grupos de Galois es reconocida como uno de los logros matemáticos más destacados del siglo XIX. Proporcionó una respuesta integral y exhaustiva al problema de la solubilidad de ecuaciones, resolviendo un problema que había preocupado a los matemáticos durante cientos de años. La teoría de grupos de Galois también proporciona un método general para juzgar si las figuras geométricas se pueden dibujar con regla y compás, y resuelve satisfactoriamente el problema insoluble de bisecar cualquier ángulo o un cubo. Lo más importante es que la teoría de grupos abrió un nuevo campo de investigación, reemplazó el cálculo con la investigación estructural, cambió la forma de pensar de enfatizar la investigación del cálculo a utilizar la investigación de conceptos estructurales, clasificó las operaciones matemáticas e hizo que la teoría de grupos se convirtiera rápidamente en una nueva. Rama de las matemáticas que tuvo un impacto significativo en la formación y desarrollo del álgebra moderna. Hamilton inventó un álgebra en la que la ley conmutativa de la multiplicación no se cumple: el álgebra de cuaterniones. Al año siguiente, Glassmann derivó varias álgebras más generales. En 1857, Gloria diseñó otra álgebra no conmutativa: el álgebra matricial. Su investigación abrió la puerta al álgebra abstracta (también llamada álgebra moderna). De hecho, se puede estudiar una amplia variedad de sistemas algebraicos debilitando o eliminando ciertos supuestos del álgebra ordinaria, o reemplazando ciertos supuestos por otros que sean compatibles con el resto.
En 1870, Kronick dio una definición abstracta de grupos abelianos finitos. Dedekind comenzó a utilizar el término "cuerpo" para estudiar los cuerpos algebraicos; en 1893, Weber definió los cuerpos abstractos; en 1910, Steinitz desarrolló una teoría abstracta general del cuerpo; Investigación sobre sistemas algebraicos, incluidos grupos, álgebras y campos, y creación de álgebra abstracta.
Existe una destacada matemática que es reconocida como una de las fundadoras del álgebra abstracta y conocida como la Reina del Álgebra. Ella era Noether, que nació en Herlem, Alemania, el 23 de marzo de 1882. Ingresó en la Universidad de Erlangen en 1900 y recibió su doctorado en 1907 bajo la dirección del matemático Gordin.
El trabajo de Noether tuvo un importante impacto en el desarrollo de la topología algebraica, la teoría algebraica de números y la geometría algebraica. En 1907-1919, estudió principalmente invariantes algebraicos e invariantes diferenciales. En su tesis doctoral, proporcionó un conjunto completo de invariantes para formas tridimensionales y cuatridimensionales. También se resuelve el problema de la existencia de bases racionales finitas en el dominio de las funciones racionales. Se da una prueba constructiva de que las invariantes de grupos finitos tienen bases finitas. Utiliza diferenciación directa en lugar de eliminación para generar invariantes diferenciales. En su tesis inaugural en la Universidad de Göttingen, analizó las invariantes en grupos continuos (grupos de Lie) y presentó el teorema de Noether, que vinculaba la simetría, la invariancia y las leyes de conservación en física.
De 1920 a 1927 estudió principalmente álgebra conmutativa y aritmética conmutativa. Después de 1916, comenzó la transición del álgebra clásica al álgebra abstracta. En 1920, introdujo los conceptos de "molde izquierdo" y "molde derecho". Escrito en 1921 <<La teoría ideal de los anillos integrales>:> es un hito en el desarrollo del álgebra conmutativa. Se estableció la teoría de los anillos noetherianos conmutativos y se demostró el teorema de la descomposición cuasi prima. Publicado en 1926:> Se da una caracterización axiomática del anillo de oro de Dedé y se señalan las condiciones necesarias y suficientes para el teorema de descomposición único de los factores ideales primos. La teoría de Noether es también una teoría sistemática de "anillos" e "ideales" en las matemáticas modernas. Generalmente se cree que la fecha del álgebra abstracta es 1926.
Desde entonces, el objeto de investigación del álgebra ha pasado del estudio del cálculo y distribución de ecuaciones algebraicas al estudio de las reglas de operación algebraica y diversas estructuras algebraicas de números, palabras y elementos más generales, completando así la transformación esencial del álgebra clásica al álgebra abstracta. Noether es sin duda uno de los fundadores del álgebra abstracta.
En 1927-1935, Noether estudió álgebra no conmutativa y aritmética no conmutativa. Unificó la teoría de la representación, la teoría ideal y la teoría de módulos sobre la base del llamado "sistema numérico supercomplejo", es decir, el álgebra. Posteriormente, se introdujo y utilizó el concepto de producto cruzado para determinar el grupo de Brauer de la expansión de Canglova de dimensión finita. Finalmente, se introducen demostraciones de los principales teoremas del álgebra. Las álgebras centralmente divisibles en campos de números algebraicos son álgebras cíclicas. A través de su alumno, la obra maestra de van der Walden se difundió ampliamente. Su artículo principal es "in & gt (1982).
En 1930, Bierhoff estableció la teoría de la red, que se originó a partir del álgebra de Boole en 1847; después de la Segunda Guerra Mundial, varios La teoría de los sistemas algebraicos y la escuela de Bourbaki. En 1955, Gardan, Glosindick y Allan Burke establecieron la teoría del álgebra de homología.
Los matemáticos han estudiado más de 200 estructuras algebraicas de este tipo, las más importantes de las cuales son las álgebras de Jordan y las álgebras de Lie, que son ejemplos de álgebras que no obedecen las leyes asociativas. La mayoría de estas obras pertenecen al siglo XX y encarnan plenamente las ideas generales y abstractas de las matemáticas modernas.
Los matemáticos chinos comenzaron a estudiar álgebra abstracta en la década de 1930. Se han logrado resultados significativos e importantes en muchos aspectos, especialmente en el trabajo de Zeng Jiongzhi, Hua y Zhou Weiliang.