En términos generales, el número de elementos de un grupo se denomina orden del grupo. Para un elemento a en el grupo, el entero positivo más pequeño n que satisface a^n=e se llama orden (también llamado período) del elemento a. Si tal n no existe, el período de a se puede llamar 0 (o. infinito), se puede decir de manera equivalente que el orden del grupo cíclico generado por a es el orden de a.
Ejemplo: Supongamos que el elemento x del grupo g es un elemento con orden mayor que 2. Como el orden es mayor que 2, su inverso no es él mismo y el orden de su inverso también es mayor que 2. . Por lo tanto, los elementos con orden mayor a 2 aparecen en pares, y debe ser un número par.
Información ampliada:
La historia del desarrollo de las matemáticas modernas:
1 Galois (1811-1832), conocido como un genio matemático, fue el Líder de las matemáticas modernas. Realizó un estudio en profundidad de las condiciones esenciales que deben cumplirse para que una ecuación se resuelva utilizando fórmulas radicales. El "campo de Galois", el "grupo de Galois" y la "teoría de Galois" que propuso son las investigaciones más importantes de la modernidad. álgebra. La teoría de los grupos de Galois está reconocida como uno de los logros matemáticos más destacados del siglo XIX.
2. De 1920 a 1927 estudió principalmente álgebra conmutativa y "aritmética conmutativa". Después de 1916, comenzó la transición del álgebra clásica al álgebra abstracta. En 1920, introdujo los conceptos de "molde izquierdo" y "molde derecho". Se estableció la teoría de los anillos conmutativos de Noether, se le dio un axioma al anillo de Dedejin y se señalaron las condiciones necesarias y suficientes para el teorema de descomposición único de los factores primos ideales.
3. De 1927 a 1935, Noether estudió álgebra no conmutativa y "aritmética no conmutativa". Posteriormente se introdujo el concepto de producto cruz y se utilizó el grupo de Brauer que determina la expansión de Gallois de dimensión finita.
4. Los pensamientos de Noether fueron transmitidos a través de su alumno Fan. Alemania. El famoso libro de Walden "Matemáticas modernas" ha tenido una amplia difusión. Sus principales artículos se recopilan en Complete Works of Nott (1982).
5. En 1930, Bierhoff estableció la teoría de la red, que se originó a partir del álgebra de Boole en 1847; después de la Segunda Guerra Mundial, surgieron diversas teorías de sistemas algebraicos y la escuela de Bourbaki. En 1955, Cartan, Grosindyck y Ellen; Burke estableció la teoría del álgebra de homología.
6. Los matemáticos han estudiado más de 200 estructuras algebraicas de este tipo, las más importantes de las cuales son las álgebras de Dero y las álgebras de Lie, que son ejemplos de álgebras que no obedecen a la ley asociativa. La mayoría de estas obras pertenecen al siglo XX y han reflejado plenamente las ideas de generalización y abstracción de las matemáticas modernas.
7. La investigación del álgebra abstracta por parte de matemáticos chinos comenzó en la década de 1930. Se han logrado resultados significativos e importantes en muchos aspectos, especialmente en el trabajo de Zeng Jiongzhi, Hua Luogeng y Zhou Weiliang.