En el siglo XIX, la teoría de funciones complejas se convirtió gradualmente en una rama independiente de las matemáticas, y Cauchy realizó trabajos básicos para ella.
Funciones complejas y series de potencias complejas
Más de la mitad del curso "Análisis" analiza números complejos y funciones complejas elementales, lo que demuestra que Cauchy ha considerado durante mucho tiempo el establecimiento de la teoría de funciones complejas como un proyecto importante en análisis. Introdujo los números complejos ("expresiones virtuales") de forma formal, definió sus operaciones básicas y obtuvo las propiedades de estas operaciones. Definió los infinitesimales complejos y la continuidad de funciones complejas basadas en condiciones reales.
El artículo sobre integrales definidas escrito por Cauchy en 1814 fue su primer paso para establecer la teoría de funciones de variables complejas. Este artículo presenta la llamada ecuación de Cauchy-Riemann. Se discutió el problema del cambio de orden de las integrales dobles, se propuso el concepto de integral de valor principal cuando el integrando tiene infinitos puntos discontinuos y se calcularon muchas integrales generalizadas.
El artículo escrito por Cauchy en 1825 sobre integrales definidas limitadas a números imaginarios es una obra maestra. Este artículo propone el "teorema integral de Cauchy" como base de la teoría de la función variable compleja simple. El propio Cauchy demostró este teorema utilizando el método variacional, demostrando que se puede decir que la idea de deformación continua de la curva intermedia es la germinación del concepto de "homopía". Este artículo también analiza el cálculo de integrales generalizadas cuando el integrando. tiene polos de primer orden y de orden m.
La palabra "residuo" en el cálculo de residuos apareció por primera vez en un artículo escrito por Cauchy en 1826. Considera que el cálculo de residuos se ha convertido en "un nuevo método de cálculo similar al cálculo" que se puede aplicar a una gran cantidad de problemas.
El establecimiento de la teoría de la función variable compleja