Primero, la cuestión del milenio.
Uno de los "Problemas del Milenio": P (algoritmo polinómico) vs. NP (algoritmo no polinómico)
Un sábado por la noche, asististe a una gran fiesta. Es incómodo y te preguntas si hay alguien en este salón que ya conoces. Su anfitrión le recomienda que se asegure de conocer a la Sra. Rose, que está sentada en un rincón cerca del plato de postre. No te lleva ni un segundo echar un vistazo y comprobar que tu maestro tiene razón. Pero si no existe tal pista, debes mirar alrededor de todo el salón y mirar a cada persona una por una para ver si hay alguien que reconozcas. Generar una solución a un problema suele llevar más tiempo que validar una solución determinada. Este es un ejemplo de este fenómeno común. De manera similar, si alguien te dice que los números 13, 717 y 421 se pueden escribir como el producto de dos números más pequeños, quizás no sepas si creerle o no, pero si te dice que se pueden factorizar hasta 3607 veces 3803, entonces puedes verificarlo fácilmente con una calculadora de bolsillo. Independientemente de si somos competentes en escribir un programa, determinar si una respuesta se puede verificar rápidamente con conocimiento interno o si lleva mucho tiempo resolverla sin tales sugerencias se considera el problema más importante en lógica e informática. Lo afirmó Stephen Cook en 1971.
"Millones de problemas" Parte 2: La conjetura de Hodge
Los matemáticos del siglo XX encontraron una forma eficaz de estudiar la forma de objetos complejos. La idea básica es preguntar hasta qué punto podemos dar forma a un objeto determinado pegando bloques de construcción geométricos simples de mayores dimensiones. Esta técnica se volvió tan útil que pudo generalizarse de muchas maneras diferentes; eventualmente condujo a algunas herramientas poderosas que permitieron a los matemáticos lograr grandes resultados en la clasificación de los diversos objetos que encontraron en su investigación. Desafortunadamente, en esta generalización, el punto de partida geométrico del programa se vuelve borroso. En cierto sentido hubo que añadir algunas partes que no tenían ninguna explicación geométrica. La conjetura de Hodge afirma que para las llamadas variedades algebraicas proyectivas, un componente llamado cadena de Hodge es en realidad una combinación (lineal racional) de componentes geométricos llamados cadena algebraica.
"Misterio del Milenio" nº 3: La conjetura de Poincaré
Si estiramos una banda elástica alrededor de la superficie de una manzana, entonces podemos moverla lentamente y encogerla hasta convertirla en una punta sin romperlo o dejar que se desprenda de la superficie. Por otro lado, si imaginamos la misma banda de goma estirada en la dirección apropiada sobre la banda de rodadura del neumático, no hay forma de encogerla hasta cierto punto sin dañar la banda de goma o la banda de rodadura del neumático. Decimos que la superficie de una manzana está "simplemente conectada", pero la banda de rodadura de un neumático no. Hace unos cien años, Poincaré sabía que una esfera bidimensional podía caracterizarse esencialmente por una conexión simple, y planteó el problema correspondiente de una esfera tridimensional (todos los puntos están a una unidad de distancia del origen en un espacio de cuatro dimensiones). El problema se volvió inmediatamente extremadamente difícil y los matemáticos han estado luchando con él desde entonces.
La cuarta parte del "Problema del Milenio": Hipótesis de Riemann
Algunos números tienen propiedades especiales y no pueden representarse mediante el producto de dos números más pequeños, como 2, 3, 5 , 7 etc Estos números se denominan números primos; desempeñan un papel importante en las matemáticas puras y sus aplicaciones. Entre todos los números naturales, esta distribución de números primos no sigue ninguna regularidad; sin embargo, el matemático alemán Riemann (1826~1866) observó que la frecuencia de los números primos está relacionada con el comportamiento de una función zeta de Riemann bien construida; z(s$) estrechamente relacionado. La famosa hipótesis de Riemann afirma que todas las soluciones significativas de la ecuación z(s)=0 se encuentran en una línea recta. Esto se ha demostrado en las primeras 1.500.000.000 de soluciones. Demostrar que funciona para todas las soluciones significativas revelará muchos misterios que rodean la distribución de los números primos.
"Cientos y cientos de misterios" No. 5: La existencia y brecha de calidad de Yang Mo Fang.
Las leyes de la física cuántica están establecidas para el mundo de las partículas elementales, del mismo modo que las leyes de Newton de la mecánica clásica están establecidas para el mundo macroscópico. Hace aproximadamente medio siglo, Chen Ning Yang y Mills descubrieron que la física cuántica revelaba relaciones sorprendentes entre la física de las partículas elementales y las matemáticas de los objetos geométricos.
Las predicciones basadas en la ecuación de Young-Mills se han confirmado en los siguientes experimentos de alta energía realizados en laboratorios de todo el mundo: Brockhaven, Stanford, CERN y Tsukuba. Sin embargo, describen partículas pesadas y ecuaciones matemáticamente rigurosas sin soluciones conocidas. En particular, la hipótesis de la "brecha de masa", que fue confirmada por la mayoría de los físicos y aplicada para explicar la invisibilidad de los quarks, nunca ha sido demostrada matemáticamente satisfactoriamente. El progreso en este problema requiere la introducción de nuevos conceptos fundamentales en física y matemáticas.
El sexto "Problema del Milenio": la existencia y suavidad de la ecuación de Navier-Stokes
Las olas ondulantes seguían a nuestro barco mientras serpenteaba por el lago, y las turbulentas corrientes de aire lo seguían. nosotros Vuelo de aviones a reacción modernos. Los matemáticos y físicos están convencidos de que tanto las brisas como las turbulencias pueden explicarse y predecirse comprendiendo las soluciones de las ecuaciones de Navier-Stokes. Aunque estas ecuaciones fueron escritas en el siglo XIX, todavía sabemos muy poco sobre ellas. El desafío es lograr avances sustanciales en la teoría matemática para que podamos desentrañar los misterios ocultos en las ecuaciones de Navier-Stokes.
"Misterio del Milenio" Parte 7: Conjetura de Birch y Swinnerton-Dale.
A los matemáticos siempre les fascina la caracterización de todas las soluciones enteras de ecuaciones algebraicas como x2+y2=z2. Euclides alguna vez dio una solución completa a esta ecuación, pero para ecuaciones más complejas, se vuelve extremadamente difícil. De hecho, como dice Yu. V. Matiyasevich señaló que el décimo problema de Hilbert no tiene solución, es decir, no existe un método general para determinar si dicho método tiene una solución entera. Cuando la solución es un punto de variedad abeliana, Bayhe y Swinorton-Dyer conjeturaron que el tamaño del grupo de puntos racional está relacionado con el comportamiento de la función zeta asociada z(s) cerca del punto s = 1. En particular, esta interesante conjetura sostiene que si z(1) es igual a 0, hay infinitos puntos racionales (soluciones; a la inversa, si z(1) no es igual a 0, sólo hay un número finito de tales puntos); .
2. Temas de vanguardia en el mundo matemático actual.
Introducción a las cuestiones de frontera en matemáticas
Una breve reseña de la investigación matemática en el siglo XX
Reportero: Hola, Sr. Lin. En primer lugar, muchas gracias por tomarse el tiempo de su apretada agenda para aceptar esta entrevista y presentar información básica sobre las fronteras de las matemáticas a los profesores de escuelas primarias y secundarias de todo el país. La investigación científica ha entrado en el umbral del nuevo siglo. Podemos ver que, por un lado, cada disciplina está revisando su propio proceso de desarrollo y, por otro lado, también espera con interés sus perspectivas de desarrollo. Ingresó en la Academia China de Ciencias en 1956 y se dedicó oficialmente a la investigación matemática. Ya ha pasado casi medio siglo. Durante el último medio siglo usted ha estado a la vanguardia de la investigación matemática. Con base en tus años de investigación sobre matemáticas, puedes revisar el desarrollo de las matemáticas en el siglo XX. ¿Qué avances y resultados significativos se han conseguido en la investigación matemática durante este curso?
Lin Qun: Según lo que usted dijo, desde un punto de vista matemático, las matemáticas del siglo pasado deben atribuirse al matemático alemán Hilbert (1862-1943), de 38 años, en agosto de 2000. El famoso libro "Problemas matemáticos" fue publicado en el Segundo Congreso Internacional de Matemáticos celebrado en París el día 6. Basándose en los logros y las tendencias de desarrollo de la investigación matemática en el pasado, especialmente en el siglo XIX, propuso 23 de los problemas matemáticos más importantes. Estos 23 problemas se denominan colectivamente problemas de Hilbert. Este discurso se convirtió en un hito en el desarrollo de la historia mundial de las matemáticas y abrió una página gloriosa para el desarrollo de las matemáticas en el siglo XX. Entre estas 23 preguntas, las primeras 6 preguntas están relacionadas con los conceptos básicos de las matemáticas y las otras 17 preguntas involucran teoría de números, integrales indefinidas, teoría de formas cuadráticas, teoría de invariantes, ecuaciones diferenciales, variaciones y otros campos.
En 1905, Einstein fundó la teoría de la relatividad especial (de hecho, dos matemáticos, Poincaré y Lorenz, también llegaron a las puertas de la teoría de la relatividad especial. En 1907, descubrió que la teoría de la relatividad especial). La relatividad tiene importantes aplicaciones en otros aspectos de la física. Tiene mucho éxito en todos los campos, excepto en el problema de la gravedad. Para resolver esta contradicción, Einstein recurrió al estudio de la relatividad general y rápidamente estableció la "relatividad general" y la "teoría de la equivalencia". Sin embargo, las dificultades encontradas en las matemáticas le hicieron progresar poco a lo largo de los años. Hace unos 1911 años, Einstein finalmente descubrió que el campo gravitacional está relacionado con las propiedades geométricas del espacio y es el resultado de la curvatura del espacio y el tiempo. Entonces, la herramienta matemática que utilizó Einstein fue la geometría no euclidiana. En 1915, Einstein finalmente completó la teoría general de la relatividad utilizando el marco de la geometría de Riemann y el lenguaje del análisis tensorial.
Más importante aún, el artículo "El ideal en el anillo Belichick" publicado por la matemática alemana Amy Noether entre 1882 y 1935 marcó el comienzo de la modernización del álgebra abstracta. Ella nos enseñó a pensar con los conceptos y términos más simples, económicos y generales: isomorfismo, ideal, anillo operador, etc.
Hubo muchos otros grandes logros en matemáticas. Para decirlo sin rodeos, el trabajo de casi 50 ganadores de la Medalla Fields en matemáticas en el siglo XX es un gran logro dentro de las matemáticas. Pero desde la perspectiva de promover el desarrollo social, las matemáticas relacionadas con la investigación de algoritmos informáticos pueden tener más influencia. Este tipo de investigación tuvo lugar en la época de la Segunda Guerra Mundial. Hay tres matemáticos (Turing, Gödel y von Neumann) que no son ingenieros. Debido a que desempeñaron un papel fundamental y rector en el nacimiento, diseño y desarrollo de las computadoras, fueron incluidas en la lista de las "Cien Estrellas" del siglo XX. Otros dos matemáticos puros ganadores del Premio Nobel (Kantrovich y Nash) también están relacionados con la investigación algorítmica (o matemáticas militares), y este último acaba de ganar un Oscar. El trabajo de Wu Wenjun, el primer ganador chino del premio más alto de ciencia y tecnología del país (no el premio de matemáticas), también incluye la investigación de algoritmos. Entre los diez principales avances científicos y tecnológicos de China, hubo una vez un trabajo del matemático Du Dingzhu, que también estaba relacionado con los algoritmos. Sorprendentemente, ninguno de estos hombres ganó una medalla Fields.
Relacionados con la investigación de algoritmos (o matemáticas militares), también están el aprendizaje, la criptografía y los cálculos de ingeniería científica a gran escala. ¿Por qué tengo una vaga sensación (infectada por Wu Wenjun?). Parece que en el siglo XX, la investigación matemática centrada en algoritmos tuvo un impacto bastante directo en el mundo exterior, la tecnología y el ejército. ¿Será este el caso en este siglo (información, materiales, organismos)? ¡Solo espera y verás!
2. Principales cuestiones en el campo de la investigación matemática
Reportero: Hace un momento, el académico Lin nos describió el panorama de la investigación matemática en el siglo XX. Cabe decir que en el siglo XX, tanto las ramas clásicas como las emergentes de las matemáticas han logrado grandes avances. Sin embargo, también hemos visto que en el proceso de investigación matemática hay muchos arrepentimientos y muchos problemas no se han resuelto o no se han resuelto a la perfección. Profesor Lin, ¿cuáles cree que son los principales problemas en el campo de la investigación matemática?
Lin Qun: En cuanto al difícil problema, hay que decir que se requiere una gran determinación para resolverlo. Creo que los investigadores científicos podemos hacer bien nuestro trabajo. Los problemas que no se resolvieron en el siglo pasado tal vez no se resuelvan en este siglo. Cabe decir que el siglo XX fue un siglo de gran desarrollo en las matemáticas. Según el informe, se han resuelto muchos problemas importantes en matemáticas, como la demostración del último teorema de Fermat y la finalización de la clasificación de grupos finitos simples, lo que ha llevado a un desarrollo sin precedentes de la teoría básica de las matemáticas. La aparición de las computadoras fue un logro importante en el desarrollo de las matemáticas en el siglo XX, que promovió en gran medida la profundización de la teoría matemática y la aplicación directa de las matemáticas en las primeras líneas de la sociedad y la productividad. Mirando retrospectivamente el desarrollo de las matemáticas en el siglo XX, como usted dijo, los matemáticos están profundamente agradecidos a David, el mayor maestro matemático del siglo XX. Hilbert. Como mencionamos al principio, Hilbert planteó 23 problemas matemáticos en su famoso discurso en el Segundo Congreso Mundial de Matemáticos en París el 8 de agosto de 1900. El problema de Hilbert ha inspirado la sabiduría de los matemáticos y guiado la dirección de las matemáticas en los últimos cien años. Su influencia y promoción en el desarrollo de las matemáticas son enormes e inconmensurables.
Siguiendo el ejemplo de Hilbert, muchos matemáticos famosos del mundo contemporáneo han organizado y planteado nuevos problemas matemáticos en los últimos años, con la esperanza de señalar la dirección del desarrollo de las matemáticas en el nuevo siglo.
A la comunidad matemática también le gusta crear algunos efectos noticiosos. A principios de 2000, el Comité Asesor Científico del Clay Mathematics Institute de Estados Unidos seleccionó siete "Problemas del Premio del Milenio". La Junta Directiva del Clay Mathematics Institute decidió establecer un gran fondo de premios de 7 millones de dólares estadounidenses, con cada "Millennium". Prize Problem" que otorga US$1 millón. El propósito de seleccionar los "Problemas del Premio del Milenio" del Clay Mathematics Institute no es necesariamente formar una nueva dirección para el desarrollo de las matemáticas en el nuevo siglo, sino centrarse en problemas importantes que son de importancia central para el desarrollo de las matemáticas y que los matemáticos sueña y espera resolver.
El 24 de mayo de 2000 se celebró la Conferencia de Matemáticas del Milenio en el famoso Collège de France. En la reunión, Gowers, ganador de la Medalla Fields en 1998, pronunció un discurso titulado "La importancia de las matemáticas". Más tarde, Tate y Attiyah anunciaron y presentaron las siete preguntas del Premio del Milenio. El Clay Mathematics Institute también invitó a expertos en campos de investigación relevantes para profundizar en cada tema. La Escuela de Matemáticas Clay tiene regulaciones estrictas sobre las soluciones al Problema del Premio del Milenio y los premios. No todos los problemas del Premio del Milenio pueden resolverse y ganarse inmediatamente.
Cualquier solución debe publicarse en una revista de matemáticas de renombre mundial durante dos años y ser reconocida por la comunidad matemática antes de que pueda ser revisada por el Consejo Asesor Científico del Clay Mathematics Institute para decidir si es digna del premio de un millón de dólares.
Los siete "Problemas del Premio del Milenio" son: problema NP-completo, conjetura de Hodge, conjetura de Poincaré, hipótesis de Riemann, teoría de Yang-Mills, ecuación de Navier-Stokes, BSD (Birch y Swinnerton).
Desde su lanzamiento, el Premio del Milenio ha tenido una fuerte respuesta en la comunidad matemática. Todas estas preguntas tienen que ver con teorías matemáticas básicas, pero las soluciones a estos problemas promoverán en gran medida el desarrollo y la aplicación de teorías matemáticas (la primera pregunta es una teoría básica de algoritmos informáticos). Comprender y estudiar la cuestión del "Premio del Milenio" se ha convertido en un tema candente en la comunidad matemática. Muchos países, incluidos matemáticos chinos, están organizando investigaciones conjuntas.
3. Cuestiones principales en el campo de la investigación matemática (continuación)
Se puede decir que otras cuestiones en el campo de las matemáticas son infinitas. Según la información que proporcionaste, existen al menos las siguientes simples:
La primera es la conjetura de Goldbach.
Goldbach fue un matemático alemán nacido en 1690. En 1742, Goldbach descubrió en sus enseñanzas que todo número par no menor que 6 es la suma de dos números primos (números que sólo pueden dividirse por sí mismos). Por ejemplo, 6 = 3+3, 12 = 5+7, etc.
El 7 de junio de 1742, Goldbach escribió a Euler, el gran matemático de la época, y le propuso la siguiente conjetura:
(a) Cualquier > número par = 6 puede expresarse es la suma de dos números primos impares.
(<-emo&b)-><-endemo->;Cualquier número impar > 9 se puede expresar como la suma de tres números primos impares.
Esta es la famosa conjetura de Goldbach. Euler le respondió el 30 de junio diciéndole que pensaba que la conjetura era correcta, pero que no podía probarla. Incluso los matemáticos más destacados como Euler no pudieron demostrar un problema tan simple. Esta conjetura atrajo la atención de muchos matemáticos. Desde que Goldbach propuso esta conjetura, muchos matemáticos han intentado superarla, pero sin éxito. Por supuesto, algunas personas han realizado algún trabajo de verificación específico, como: 6 = 3+3, 8 = 3+5, 10 = 5+5 = 3+7, 12 = 5+7, 14 = 7+7 = 3 +168. Alguien comprobó uno por uno todos los números pares dentro de 33×108 y mayores que 6, y se estableció la conjetura de Goldbach (a). Pero una demostración matemática rigurosa requiere el esfuerzo de los matemáticos.
Desde entonces, este famoso problema matemático ha atraído la atención de miles de matemáticos de todo el mundo. Han pasado 200 años y nadie lo ha demostrado. Por tanto, la conjetura de Goldbach se ha convertido en una "joya" inalcanzable en la corona de las matemáticas. No fue hasta la década de 1920 que la gente empezó a acercarse a él. En 1920, el matemático noruego Bujue utilizó un antiguo método de detección para demostrar y concluyó que todo número par mayor que 36 se puede expresar como (9+9). Este método de estrechar el cerco fue muy útil, por lo que los científicos redujeron gradualmente el número de factores primos de cada número a partir de (9+9) hasta que cada número fuera un número primo, demostrando así la "Conjetura de Goldbach".
El mejor resultado actual lo demostró el matemático chino Chen Jingrun en 1966, el llamado teorema de Chen. Es decir, "Cualquier número par suficientemente grande es la suma de un número primo y un número natural, y este último es simplemente el producto de dos números primos". Esta conclusión a menudo se denomina número par grande y se puede expresar como "1". +2".
Antes de Chen Jingrun, el progreso de los números pares se podía expresar como la suma de los productos de S números primos y T números primos (conocido como el problema "s+t") de la siguiente manera:
1920, Noruega Bren demostró "9+9".
En 1924, el alemán Rademacher demostró "7+7".
En 1932, el británico Esterman demostró "6+6".
En 1937, Ricei de Italia demostró sucesivamente "5+7", "4+9", "3+15" y "2+366".
1938, ¿Bucher en la Unión Soviética? Byxwrao demuestra "5+5".
1940, ¿Bucher en la Unión Soviética? Byxwrao demostró "4+4".
En 1948, el húngaro Renyi demostró “1+c”, donde c es un número natural.
En 1956, Wang Yuan de China demostró “3+4”.
En 1957, Wang Yuan de China demostró "3+3" y "2+3" sucesivamente.
En 1962, Pan Chengdong de China y Barba de la Unión Soviética demostraron "1+5". Pronto, Pan Chengdong y Wang Yuan demostraron "1+4".
1965, ¿Bucher en la Unión Soviética? Xi Taibo (Byxwrao) y Vinogradov Jr. (BHHopappB), así como el italiano Bombieri, demostraron "1+3".
En 1966, Chen Jingrun de China demostró “1+2”.
¿Quién superará finalmente el problema del "1+1"? Es imposible predecirlo ahora. Sin embargo, Wang Yuan pronunció recientemente un discurso diciendo que los matemáticos británicos se están desviando para discutirlo. Hay esperanza.
Figura 1 El gran matemático Euler
Figura 2 Un modelo a seguir para los jóvenes,
El famoso matemático chino Chen Jingrun
Figura 3 El famoso matemático Wang Yuan
Figura 4 El matemático francés Veda
Figura 6 El matemático francés D'Alembert
El segundo es el misterio del continuo.
(Nota: en este artículo, Allaf está marcado como alf(0), Allaf está marcado como alf(1), y así sucesivamente...)
Desde alf(0 ) es una base infinita, Allaf es una operación mágica diferente de las operaciones finitas, por lo que los siguientes resultados no son sorprendentes:
alf(0)+ 1 = alf(0)
alf (0) + n = alf(0)
alf(0) + alf(0) = alf(0)
alf(0) n = alf(0)< / p>
Alf(0)Alf(0) =Alf(0)
Alf(0) es la cardinalidad del conjunto de los números naturales. Una base infinita, siempre que sea un conjunto contable, su base debe ser alf(0). Por ordenabilidad sabemos que la cardinalidad del conjunto de los números enteros y del conjunto de los números racionales es alf(0) o si su cardinalidad es alf(0), son conjuntos contables. Pero del conjunto de números reales incontables (que pueden ser refutados por la línea de polvo de Cantor) se deduce que tiene una cardinalidad mayor que alf(0). La operación de multiplicación no puede atravesar alf (0), pero el conjunto de potencias puede atravesar: = alf (1). Se puede demostrar que la cardinalidad card(R) = alf(1) del conjunto de los números reales. Además, la "familia" de Araf estalló:
= alf(2); = alf(3);...
¿Cuál es el significado de alf(2)? La gente piensa mucho y obtiene el número de todas las curvas en el espacio. Pero en el siguiente alf(3), los humanos se han devanado los sesos y todavía no han podido resolverlo. Además, existe un misterio continuo desconcertante: "¿Existe otro número cardinal entre alf(0) y alf(1)?"
En 1878 d.C., Cantor propuso la conjetura de que no existe otra base entre se resuelve alf(0) y alf(1). Pero el propio Cantor no pudo confirmarlo en ese momento.
En 1900 d.C., en el Segundo Congreso Internacional de Matemáticos celebrado en París, Hilbert, profesor de la Universidad de Göttingen en Alemania, propuso 23 problemas matemáticos de fama mundial que debían resolverse en el siglo XX. La hipótesis unificada ocupa el primer lugar. Sin embargo, el resultado final de este problema fue completamente inesperado.
En 1938 d.C., el matemático austriaco Gödel demostró que "la hipótesis del continuo nunca conducirá a contradicciones", lo que significa que es imposible para los humanos descubrir qué hay de malo en la hipótesis del continuo. En 1963, el matemático estadounidense Cohen demostró que "la hipótesis del continuo es independiente", es decir, es imposible probar la hipótesis del continuo.
La obra de Gödel fue tan importante que von Neumann se dejó influenciar por él a la hora de diseñar ordenadores.
Colorea con cuatro colores; luego avanza a 50 países. Parece que el progreso es todavía muy lento. Después de la llegada de las computadoras electrónicas, el proceso de demostración de la conjetura de los cuatro colores se aceleró enormemente debido al rápido aumento de la velocidad de cálculo y la aparición del diálogo entre humanos y computadoras. En 1976, los matemáticos estadounidenses Appel y Haken pasaron 1200 horas en dos computadoras diferentes en la Universidad de Illinois, hicieron 100 mil millones de juicios y finalmente completaron la demostración del teorema de los cuatro colores. La prueba informática de la conjetura de los cuatro colores causó sensación en el mundo.
No sólo resuelve un problema que ha durado más de 100 años, sino que puede convertirse en el punto de partida de una serie de nuevas ideas en la historia de las matemáticas. Sin embargo, muchos matemáticos no están satisfechos con los logros de las computadoras y todavía buscan un método simple y claro de demostración escrita.
El cuarto son los tres grandes problemas de la geometría.
El dibujo geométrico plano se limita a reglas y compás. La llamada regla aquí se refiere a una regla que solo puede dibujar líneas rectas sin graduaciones. Por supuesto, se pueden hacer muchas formas con una regla y un compás, pero algunas formas, como los heptágonos regulares y los nonágonos regulares, no se pueden hacer. Algunos problemas parecen simples, pero en realidad son muy difíciles de resolver. Los más famosos de estos problemas son los llamados tres problemas principales.
Los tres problemas principales en geometría son:
1. Convertir un círculo en un cuadrado: encontrar un cuadrado cuya área sea igual al círculo conocido;
2. Divide cualquier ángulo en tres partes iguales;
3. Cubo doble: Encuentra un cubo cuyo volumen sea el doble que el del cubo conocido.
Los círculos y los cuadrados son figuras geométricas comunes, pero ¿cómo hacer un cuadrado con la misma área que un círculo conocido? Si se sabe que el radio de un círculo es 1 y su área es π, entonces el problema de convertir el círculo en un cuadrado equivale a encontrar un cuadrado con un área de π, es decir, usar una regla para hacer un segmento de línea (o un segmento de línea de π).
El segundo de los tres grandes problemas es el problema de la bisección de un ángulo. Para algunos ángulos, no es difícil dividirlos en tres partes, pero ¿se pueden dividir todos los ángulos en tres partes? Por ejemplo, si el ángulo que se puede formar se puede dividir en tres partes iguales, entonces también se pueden formar el polígono regular de 18 lados y el nonágono regular (nota: el ángulo circunferencial de cada lado del octágono regular en el círculo es ). De hecho, el problema de la trisección de ángulos surge del problema de encontrar un polígono regular.
El tercer problema es cúbico. Eratóstenes (276 a. C. ~ 65438 a. C. + 095 a. C.) describió una vez un mito en el que un profeta tenía que duplicar el tamaño de un altar cúbico cuando recibía un mensaje del oráculo. Algunas personas abogan por duplicar la longitud de cada lado, pero todos sabemos que esto está mal ya que el tamaño ya es ocho veces mayor que el original.
Estos problemas han preocupado a los matemáticos durante más de 1.000 años, pero, de hecho, ninguno de estos tres problemas se puede resolver con una regla y un compás mediante pasos limitados.
Después de que Descartes fundó la geometría analítica en 1637, muchos problemas geométricos se pueden transformar en problemas algebraicos para su estudio. En 1837, Wantzel demostró que era imposible dibujar un ángulo o un cubo con una regla. En 1882, Lindemann también demostró la trascendencia de π (es decir, π no es raíz de ningún múltiplo de un coeficiente entero) y la imposibilidad de que un círculo se convierta en un cuadrado.
Verbo (abreviatura de verbo) Principales cuestiones en la investigación matemática (continuación)
El quinto es el último teorema de Fermat.
El 24 de junio de 1993, el New York Times, un periódico autorizado mundialmente reconocido, publicó un artículo sobre la resolución de problemas matemáticos. El titular decía: "En un antiguo dilema matemático, alguien finalmente dice 'Eureka'". El artículo de apertura en la primera página de The Times incluía una fotografía de un hombre de pelo largo vestido con una túnica medieval europea. El anciano es el francés. El matemático Pierre de Fermat (ver el apéndice de la biografía de Fermat). Fermat fue uno de los matemáticos más destacados del siglo XVII porque hizo grandes contribuciones en muchos campos de las matemáticas. Fue un abogado profesional. El mundo lo llamó el "Príncipe aficionado". Un día, hace más de 360 años, Fermat estaba leyendo un libro de matemáticas del antiguo matemático griego Theophendus. En el margen del libro está escrito un teorema aparentemente simple. solución de una ecuación Cuando n=2, es el conocido teorema de Pitágoras (también llamado teorema de Pitágoras en la antigua China): donde Z representa la hipotenusa del triángulo rectángulo, X e Y son sus dos ramas, es decir. , el cuadrado de la hipotenusa del triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de sus dos ramas. Por supuesto, esta ecuación tiene soluciones enteras (de hecho, hay muchas), por ejemplo, x=3, Y = x. =6, y=8, z = 10; X=5, y=12, z = 13, etc. Fermat afirmó que cuando n & gt2, no se puede encontrar una solución entera satisfactoria, como por ejemplo: Una ecuación no puede encontrar un número entero
En ese momento, Fermat no explicó el motivo.
Simplemente dejó esta narración diciendo que había encontrado una manera maravillosa de demostrar el teorema, pero que no había suficiente espacio en la página para escribirlo. Fermat, el instigador, dejó una eterna pregunta. Durante más de 300 años, innumerables matemáticos han intentado resolver este problema, pero sin éxito. Este último teorema de Fermat, conocido como el problema del siglo, se ha convertido en una gran preocupación en la comunidad matemática y está extremadamente ansiosa por resolverlo.
En el siglo XIX, el Instituto Franciscano de Matemáticas de Francia ofrecía una medalla de oro y 300 francos a quien resolviera el problema dos veces, en 1815 y 1860. Lamentablemente nadie fue recompensado. El matemático alemán P. Wolfskehl ofreció 100.000 marcos en 1908 a quien pudiera demostrar que el último teorema de Fermat era correcto, válido durante 100 años. Mientras tanto, debido a la Gran Depresión, el importe del bono se había devaluado a 7.500 marcos, pero todavía atraía a muchos "idiotas matemáticos".
Después del desarrollo de las computadoras en el siglo XX, muchos matemáticos pueden demostrar que este teorema es verdadero cuando n es muy grande. En 1983, el experto en informática Slovenski hizo funcionar la computadora durante 5782 segundos y demostró que el último teorema de Fermat es correcto cuando n es 286243-1 (tenga en cuenta que 286243-1 es un número astronómico, alrededor de 25960 dígitos).
A pesar de ello, los matemáticos aún no han encontrado una prueba universal. Sin embargo, este misterio matemático de 300 años finalmente se ha resuelto. El matemático británico Andrew Wiles resolvió este problema matemático. De hecho, Willis lo demuestra con los resultados del desarrollo de las matemáticas abstractas en los últimos treinta años del siglo XX.
En la década de 1950, el matemático japonés Yutaka Taniyama propuso por primera vez una conjetura sobre la curvatura elíptica, que más tarde fue llevada a cabo por otro matemático, Goro Shimamura. En aquel momento nadie pensó que esta conjetura tuviera algo que ver con el último teorema de Fermat. En la década de 1980, el matemático alemán Frei relacionó la conjetura de Taniyama Yuta con el último teorema de Fermat. Lo que hizo Willis fue demostrar que una forma de la conjetura de Taniyama era correcta basándose en esta conexión, y luego dedujo que el último teorema de Fermat también era verdadero. Esta conclusión fue anunciada oficialmente por Willis el 21 de junio de 1993, en un seminario en el Instituto Newton de Matemáticas de la Universidad de Cambridge, Inglaterra. Este informe conmocionó de inmediato a toda la comunidad matemática, e incluso el público ajeno a la comunidad matemática prestó una atención ilimitada. Sin embargo, se descubrió inmediatamente que la prueba de Willis tenía algunos defectos, por lo que Willis y sus alumnos pasaron otros 14 meses corrigiéndola. El 19 de septiembre de 1994, finalmente entregaron un plan completo e impecable, y la pesadilla matemática finalmente terminó. En junio de 1997, Willis recibió el Premio Wolfskehl de la Universidad de Göttingen en Alemania. En ese momento, 100.000 gramos valían alrededor de 2 millones de dólares y Willis solo valía unos 50.000 dólares cuando lo recibió. Sin embargo, Willis ha quedado registrado en los libros de historia y será inmortalizado para siempre.
Para demostrar que el último teorema de Fermat es correcto (es decir, no existe una solución entera positiva para n & gt3), sólo necesitamos demostrar que la suma (p es un número primo impar) no tiene solución entera.
Seis. Cuestiones principales en el campo de la investigación matemática (continuación)
El sexto es el problema de los siete puentes (problema de un trazo)
Euler visitó Königsberg en 1736. Mientras visitaba Prusia (ahora Kaliningrado, Rusia), descubrí que los ciudadanos locales estaban participando en un pasatiempo muy interesante. En Königsberg lo atraviesa un río llamado Pregel, sobre el que se han construido siete puentes, como se muestra en la imagen:
Un pasatiempo interesante el sábado es cruzar los siete puentes. Cada puente sólo se puede cruzar una vez y los puntos de inicio y fin deben estar en el mismo lugar. Euler consideró cada terreno como un punto, y el puente que conectaba los dos terrenos estaba representado por una línea, y obtuvo la siguiente imagen:
Más tarde se concluyó que tal movimiento era imposible. Su argumento es el siguiente: además del punto de partida, cada vez que una persona entra a un terreno (o punto) desde un puente, también sale de ese punto desde otro puente. Entonces, por cada punto que pasa, se cuentan dos puentes (o líneas), al igual que las líneas que salen del punto inicial y la línea final que regresa al punto inicial, por lo que el número de puentes que conectan cada tierra con otras tierras debe ser es un número par. Ninguna de las gráficas formadas por los siete puentes contiene números pares, por lo que la tarea anterior es imposible. Eso es todo lo que tengo que decir sobre los problemas matemáticos.