1. Gráfico de conocimiento de álgebra lineal
El álgebra lineal es una rama del álgebra que se ocupa principalmente de problemas de relaciones lineales. Relación lineal significa que la relación entre objetos matemáticos se expresa en forma lineal. Por ejemplo, en geometría analítica, la ecuación de una línea recta en un plano es una ecuación lineal de dos variables, la ecuación de un plano espacial es una ecuación lineal de tres variables, y una línea recta en el espacio se considera un sistema de; Ecuaciones compuestas por dos ecuaciones lineales de tres variables que intersecan dos planos para expresar. Una ecuación lineal que contiene n cantidades desconocidas se llama ecuación lineal. Una función que varía linealmente se llama función lineal. Los problemas de relaciones lineales se denominan problemas lineales. El problema de resolver un sistema de ecuaciones lineales es el problema lineal más simple.
Lineal (lineal) se refiere a la relación proporcional y rectilínea entre cantidades. Matemáticamente puede entenderse como una función cuya primera derivada es una constante.
No lineal (no lineal). ) se refiere a una relación que no es proporcional ni lineal, y la primera derivada no es una constante.
Matriz determinante distinta de cero matriz cuadrada reversible grupo de vectores de rango completo rango completo (el número de vectores es igual a la dimensión).
2. Determinante
2.1 Definición
El determinante de una matriz, determinar (denominado det), es un valor calculado en base a la fila y la columna. datos contenidos en la matriz. Fue introducido para resolver sistemas de ecuaciones lineales.
2.2 Determinante de segundo orden
Método de cálculo: regla de la diagonal
2.3 Determinante de tercer orden
Método de cálculo: regla de la línea diagonal
2.4 Determinante de orden n 2.4.1 Calcular el número inverso del arreglo
2.4.2 Calcular el determinante de orden n
2.4.3 Resumen de simplificados cálculos
2.4.4 Tres métodos de representación del determinante
2.5 Propiedades del determinante
Propiedad 1 El determinante es igual a su determinante transpuesto
p>
Nota: Las filas y columnas del determinante tienen el mismo estado. Las propiedades del determinante también son válidas para las filas y columnas.
Propiedad 2: Intercambia las dos filas (columnas). ) del determinante ), el determinante cambia de signo
Inferencia: Si el determinante tiene dos filas (columnas) que son exactamente iguales, entonces el determinante es cero
Propiedad 3 En un cierta fila (columna) del determinante Todos los elementos se multiplican por el mismo múltiplo k, lo que equivale a multiplicar el determinante por el número k.
Deducir que el factor común de todos los elementos de una determinada fila ( columna) del determinante se puede mencionar en el símbolo del determinante Exterior.
Propiedad 4 Si hay dos filas (columnas) de elementos en el determinante que son proporcionales, entonces el determinante es cero.
Propiedad 5: Si los elementos de una determinada columna (fila) del determinante son la suma de dos números, es igual a la suma de los dos determinantes correspondientes.
Propiedad 6: Poner el determinante Cada elemento de una determinada columna (fila) se multiplica por el mismo múltiplo y luego se suma al elemento correspondiente de otra columna (fila), y el determinante permanece sin cambios.
2.6 Método de cálculo del determinante
1) Utilice la definición
2) Utilice las propiedades para convertir el determinante en un determinante triangular superior, calculando así el Valor determinante
El teorema contiene tres conclusiones:
1) El sistema de ecuaciones tiene solución (la existencia de la solución)
2) La solución; es único; (Unicidad de la solución)
3) La solución puede estar dada por la fórmula (2).
Teorema 4 Si el coeficiente determinante del sistema de ecuaciones lineales (1) no es igual a cero, entonces Un sistema de ecuaciones lineales debe tener una solución, y la solución es única.
Teorema 4′ Si un sistema de ecuaciones lineales no tiene solución o tiene dos soluciones diferentes, su El coeficiente determinante debe ser cero.
Teoremas relacionados de ecuaciones lineales homogéneas
Teorema 5 Si el coeficiente determinante D de las ecuaciones lineales homogéneas no es igual a 0, entonces las ecuaciones lineales homogéneas tienen sólo soluciones cero y ninguna solución distinta de cero.
Teorema 5′ Si un sistema de ecuaciones lineales homogéneas tiene una solución distinta de cero, entonces su coeficiente determinante debe ser cero.
1 Utiliza la regla de Cramer para resolver el sistema de ecuaciones lineales. Dos condiciones
1) El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas;
2) El coeficiente determinante no es igual a. cero.
2. El significado de la regla de Kramer Lo principal es establecer la relación entre la solución del sistema de ecuaciones lineales y los coeficientes y términos constantes conocidos. Es principalmente adecuado para la derivación teórica.
2.8 Los determinantes se expanden en filas (columnas)
La regla de la diagonal solo se aplica a los determinantes de segundo y tercer orden.
Esta sección considera principalmente cómo Utilizar determinantes de bajo orden para representar determinantes de alto orden.
3. Matriz
3.1 Definición de matriz
3.1.1 Diferencia entre matriz y determinante
3.2 Matrices especiales
3.3 Matriz y transformación lineal
3.4 Operaciones con matrices 3.4.1 Suma de matrices
Determinante y suma de matrices Comparación de:
3.4.2 Multiplicación de matrices
3.4.3 Multiplicación matriz a matriz
3.4.4 Transpuesta de matrices
Matriz antisimétrica (matriz simétrica sesgada)
3.4.5 Determinante de la matriz cuadrada
3.4.6 Matriz adjunta
3.4.7 *** Matriz de yugo
3.5 Matriz reversible (o matriz no singular)
3.6 Método de bloqueo de matriz
La matriz de bloque no solo se transpone en forma, sino que también se transpone en cada subbloque.
4. Transformación elemental de matrices y ecuaciones lineales
4.1 Transformación elemental de matrices
4.2 Relaciones de equivalencia entre matrices
4.3 La relación entre transformación elemental y multiplicación de matrices
4.4 Rango de matriz
4.5 Soluciones múltiples de ecuaciones lineales
5 Correlación lineal de grupos de vectores
5.1 Grupos de vectores y sus combinaciones lineales
5.2 Correlación lineal de grupos de vectores
5.3 Rango de grupos de vectores
Conclusión: La matriz Los no-grupos de orden más alto La subfórmula cero generalmente no es única, pero el rango de la matriz es único.
5.4 Estructura de las soluciones de ecuaciones lineales
Pregunta: ¿Cuál es la estructura de las soluciones de ecuaciones lineales?
Respuesta: La llamada estructura de la solución de un sistema de ecuaciones lineales es la relación entre las soluciones cuando el sistema de ecuaciones lineales tiene infinitas soluciones.
Observaciones:
1) Cuando existe una solución única para el sistema de ecuaciones, no hay necesidad de discutir la estructura de la solución.
2) La siguiente discusión supone que las ecuaciones lineales tienen soluciones.
5.5 Espacio vectorial 5.5.1 El concepto de cierre
Definición: El llamado cierre significa que el resultado obtenido al realizar una determinada operación en dos elementos cualesquiera de un conjunto todavía pertenece al conjunto.
5.5.2 El concepto de espacio vectorial
Definición: Supongamos que V es un conjunto de vectores n-dimensionales, si
① el conjunto V no está vacío ,
② El conjunto V es cerrado para las dos operaciones de suma y multiplicación de vectores,
Específicamente, es:
Si a ∈ V, b ∈ V, entonces a b ∈ V. (Cerrado por suma)
Si a ∈ V, l ∈ R, entonces l a ∈ V. (Cerrado a multiplicadores)
Entonces el conjunto V se llama espacio vectorial.
5.5.3 El concepto de subespacio
Definición: Si el subconjunto no vacío V1 del espacio vectorial V es cerrado para las dos operaciones de suma y multiplicación definidas en V, entonces Se dice que V1 es el subespacio de V.
5.5.4 El concepto de base del espacio vectorial
6. Matriz de similitud y forma cuadrática
6.1 Producto interno, longitud y ortogonalidad de los vectores
>6.1.1 Producto interior de vectores
6.1.2 Longitud o norma del vector
Vector unitario: Un vector de longitud 1.
6.1.3 Ortogonalidad de los vectores
Ortogonalidad de los vectores: El producto interno de los vectores es 0.
6.1.4 Matriz ortogonal o matriz ortogonal
6.1.5 Propiedades de las matrices ortogonales
6.2 Valores propios y vectores propios de matrices cuadradas
p>
6.2.1 Matriz definida positiva/matriz semidefinida positiva
1) La matriz es semidefinida positiva si y sólo si cada uno de sus valores propios es mayor que o igual a cero (gt; = 0).
2) Una matriz es definida positiva si y sólo si cada uno de sus valores propios es mayor que cero (gt; 0).
6.3 Matrices similares
6.4 Diagonalización de matrices simétricas
6.5 Formas cuadráticas y otras formas estándar
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