El principio de autosemejanza y el principio de generación iterativa son principios importantes de la teoría fractal. Esto significa que los fractales son invariantes bajo las transformaciones geométricas habituales, es decir, independientes de la escala. La autosimilitud se basa en la simetría a diferentes escalas, es decir, la recursividad. La autosimilitud en los fractales puede ser estadísticamente idéntica o similar. Un fractal autosemejante estándar es una abstracción matemática que genera de forma iterativa estructuras infinitamente finas, como las curvas de los copos de nieve de Koch y las curvas de las alfombras de Sierpinski. Sólo existen unos pocos fractales regulares de este tipo, y la mayoría de ellos son fractales estadísticamente aleatorios.
La dimensión fractal, como representación cuantitativa y parámetro básico de los fractales, es otro principio importante de la teoría fractal. La dimensión fractal, también conocida como dimensión fractal o dimensión fraccionaria, suele expresarse como una fracción o un número con punto decimal. Durante mucho tiempo, la gente está acostumbrada a definir los puntos como dimensiones cero, las líneas rectas como una dimensión, los planos como dos dimensiones y el espacio como tres dimensiones. Einstein introdujo la dimensión del tiempo en la teoría de la relatividad, formando así un espacio-tiempo de cuatro dimensiones. Al considerar un problema desde muchos aspectos, se puede construir un espacio de alta dimensión, pero todo es de dimensiones enteras. Matemáticamente, los objetos geométricos en el espacio euclidiano se estiran, comprimen y distorsionan continuamente sin cambiar la dimensión. Esta es la dimensión topológica. Sin embargo, esta visión tradicional de las dimensiones ha sido cuestionada. Mandelbrot describió una vez las dimensiones de una tetherball: cuando se ve desde la distancia, la tetherball puede verse como un punto (dimensión cero, cuando se ve desde la distancia, llena un espacio esférico (tres dimensiones más cerca, se ve la cuerda); (Unidimensional); más abajo hasta el nivel micro, la cuerda se convierte en una columna tridimensional, y la columna tridimensional se puede descomponer en fibras unidimensionales. Entonces, ¿qué pasa con los estados intermedios entre estos puntos de observación?
Obviamente, no existe un límite exacto entre una tetherball y un objeto tridimensional. El matemático Hausdorff propuso el concepto de espacio continuo en 1919, es decir, la dimensión del espacio puede cambiar continuamente y puede ser un número entero o una fracción, lo que se llama dimensión de Hausdorff. Escrito como Df, la expresión general es: K=LDf, también llamada K=(1/L)-Df. Tome el logaritmo y ordénelo para obtener Df=lnK/lnL, donde l es el múltiplo de la expansión de un objeto en cada dirección independiente y k es el múltiplo del objeto original. Obviamente, Df es generalmente una fracción. Por tanto, Mandelbrot también definió un fractal como un conjunto cuya dimensión de Hausdorff es mayor o igual a la dimensión topológica. ¿Por qué no se puede medir con precisión la costa del Reino Unido? Porque la medida unidimensional euclidiana es inconsistente con las dimensiones de la línea costera. Según los cálculos de Mandelbrot, la dimensión de la costa británica es 1,26. Utilizando la dimensión fractal, se puede determinar la longitud de la costa.
La teoría fractal es la frontera y una rama importante de la ciencia no lineal y un tema interdisciplinario emergente.
Como metodología y epistemología, su iluminación es multifacética: primero, la similitud entre el todo fractal y la morfología local inspira a las personas a comprender el todo a través de partes cognitivas, y a comprender el infinito desde lo finito; segundo, el fractal revela la relación entre lo finito; el todo y las partes. Una nueva forma y un nuevo orden entre orden y desorden, complejidad y simplicidad; tercero, los fractales revelan la conexión universal y la unidad del mundo desde un nivel específico.
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La teoría fractal y su historia de desarrollo
La teoría fractal, conocida como geometría natural, es una nueva rama de las matemáticas modernas, pero su esencia es una nueva visión del mundo y una nueva metodología. . Se combina con la teoría del caos de los sistemas dinámicos y se complementan entre sí. Reconoce que, bajo ciertas condiciones, ciertas partes del mundo son posibles. En un proceso, en un determinado aspecto (forma, estructura, información, función, tiempo, energía, etc.), muestra similitud con el todo, y reconoce que los cambios en las dimensiones espaciales pueden ser discretos o continuos, expandiendo así el horizontes.
El concepto de geometría fractal fue propuesto por primera vez por el matemático franco-estadounidense Mandelbrot en 1975, pero los primeros trabajos se remontan a 1875. El matemático alemán K.Weierestrass construyó una función continua pero diferenciable en todas partes. G. Cantor, el fundador de la teoría de conjuntos, es un matemático alemán.
En 1890, el matemático italiano G. Atuan construyó una curva para llenar el espacio.
En 1904, el matemático sueco H. von Koch diseñó una curva que recordaba los bordes de copos de nieve e islas.
En 1915, el matemático polaco W. Sierpinski diseñó figuras geométricas similares a alfombras y esponjas. Estos son contraejemplos para la resolución de problemas de análisis y topología, pero son la fuente de la geometría fractal.
En 1910, el matemático alemán F. Hausdorff comenzó a estudiar las propiedades y cantidades de conjuntos singulares y propuso el concepto de dimensión fractal.
En 1928, G. Bouligand aplicó las habilidades de Minkowski a dimensiones no enteras, permitiendo una buena clasificación de las espirales.
La dimensionalidad de caja fue introducida por Pontryagin en 1932.
En 1934, A.S. Besicovitch aportó conocimientos más profundos sobre las propiedades de las medidas de Hausdorff y la dimensión fractal de los conjuntos singulares. Hizo importantes contribuciones en el campo de la investigación sobre las medidas de Hausdorff y su geometría, y así propuso el concepto de dimensión de Hausdorff-Besicovitch. Desde entonces, el trabajo de investigación en esta área no ha atraído más atención, y el trabajo de los pioneros sólo ha circulado en libros de texto sobre análisis y topología como contraejemplos.
II
Durante la década de 1960, Mandelbrot descubrió la simetría de los precios entre las escalas grande y pequeña al estudiar el comportamiento a largo plazo de los cambios en los precios del algodón. Ese mismo año, al estudiar el error de transmisión de señales, se descubrió que la transmisión de errores y la transmisión sin errores se organizan en el tiempo según el conjunto de Cantor. Se encontraron patrones similares en análisis matemáticos de los niveles del Nilo y la costa británica. Resumió la simetría de muchos fenómenos de la naturaleza desde la perspectiva de la transformación de escala. Llamó a estos conjuntos autosemejantes y su definición estricta puede darse mediante mapas de similitud. Creía que la medida euclidiana no podía describir la esencia de tales conjuntos, por lo que recurrió al estudio de las dimensiones, descubrió que las dimensiones eran invariantes bajo la transformación de escala y abogó por el uso de dimensiones para describir dichos conjuntos.
Del año 65438 al 0975, Mandelbrot publicó el primer libro sobre geometría fractal, "Fractals: Shapes, Chances and Dimensions" en francés. El libro se publica nuevamente en inglés. Concentra las principales ideas de Mandelbrot sobre geometría fractal antes de 1975. Define un fractal como un conjunto cuya dimensión de Hausdorff es estrictamente mayor que su dimensión topológica y resume el método de cálculo de la dimensión experimental basado en la autosimilitud.
Dado que la dimensión de similitud sólo es significativa para conjuntos pequeños que son estrictamente autosimilares, la dimensión de Hausdorff es extensa pero difícil de calcular en muchos casos, lo que limita la aplicación de la geometría fractal.
En 1982, se publicó el nuevo libro de Mandelbrot "Fractal Geometry of Nature". Un fractal se define como una colección que se parece al todo de alguna manera, y nuevamente se analiza la dimensión de la caja. Es más fácil de calcular que la dimensión de Hausdorff, pero la dimensión de la caja de un conjunto contable denso es igual a la dimensión espacial del conjunto. Para evitar este defecto, Tricot (1982) introdujo la dimensión de llenado. En 1983, P. Grassberger e I. Proch propusieron un método para calcular directamente el atractor del sistema dinámico basándose en series de datos temporales registradas por algoritmos dimensionales.
En 1985, Mandelbrot propuso y estudió conjuntos autofines ampliamente existentes en la naturaleza, que incluyen conjuntos autosemejantes y pueden definirse estrictamente mediante mapeo afín. En 1982, F.M. Dekking estudió conjuntos recursivos. Estos conjuntos de fractales se generan mediante procesos iterativos y métodos de incrustación y tienen una amplia gama, pero la dimensionalidad es muy difícil de estudiar. Durkin obtiene un límite superior de la dimensionalidad. En 1989, Zhong et al. resolvieron la conjetura de Durkin y determinaron las dimensiones de una gran clase de conjuntos recursivos.
Con el desarrollo de la teoría fractal y la mejora gradual de los métodos de cálculo de dimensiones, después de 1982, la teoría fractal se aplicó gradualmente a muchos campos y se generalizó cada vez más. Establecer un método de cálculo de dimensiones simple y universal para satisfacer las necesidades del desarrollo de aplicaciones sigue siendo una tarea difícil.
Los fractales en la naturaleza están estrechamente relacionados con las estadísticas de probabilidad y los procesos aleatorios. Agregar aleatoriedad al conjunto fractal clásico determinista producirá fractales aleatorios como conjuntos aleatorios de Cantor y curvas aleatorias de Koch. En 1968, cuando Mandelbrot estudió el proceso estocástico del movimiento browniano, lo generalizó al movimiento browniano fraccionario relacionado con los fractales. En 1974 propuso el modelo de percolación fractal. En 1988, J.T.Chayes realizó un análisis matemático detallado. Desde 65438 hasta 0984, U.Zahle obtuvo una estructura fractal muy interesante mediante eliminación aleatoria. Los fractales aleatorios pueden describir y simular fenómenos naturales de manera más realista.
Tres
Los conjuntos fractales en sistemas dinámicos son el campo de investigación más activo y fascinante en geometría fractal de los últimos años. Los atractores extraños de los sistemas dinámicos son a menudo conjuntos fractales generados iterativamente por funciones no lineales y ecuaciones diferenciales no lineales. En 1963, mientras estudiaba el movimiento convectivo de los fluidos, el meteorólogo E.N. Lorenz descubrió el primer atractor extraño que lleva su nombre, que es un conjunto fractal típico.
En 1976, el astrónomo francés M. Henon obtuvo el atractor de enón al considerar el sistema iterativo de mapeo cuadrático estándar. Tiene algunas propiedades de autosimilitud y fractales. En 1986, Lawwill transformó el mapa de herradura de Smale en un mapa de Lawwill. El límite de la variedad inestable bajo su iteración se integró en un atractor extraño típico, y su sección transversal con la línea horizontal era un conjunto de Cantor. En 1985, C. Greppo et al. construyeron un sistema de funciones iterativas bidimensionales cuyo límite de adsorción es la función de Wilstrass y obtuvieron la dimensión de la caja. En 1985, S.M. MacDonald y Greppo obtuvieron tres tipos de adsorción fractal:
(1) Conjunto fractal localmente desconectado;
(2) Cuasicírculo fractal localmente conectado;
>(3) No está conectado localmente ni es cuasicircular. Los dos primeros tienen casi autosemejanza.
Otro tipo de conjunto fractal en sistemas dinámicos proviene de la iteración de mapeos analíticos en el plano complejo. Esta investigación fue iniciada por G.Julia y P.Fatou en 1918-1919. Descubrieron que la iteración del mapeo analítico dividió el plano complejo en dos partes, una parte es el mapa normal y la otra parte es el conjunto de Julia (conjunto J). No tenían computadoras para abordar este problema y dependían completamente de su propia imaginación inherente, por lo que sus logros intelectuales fueron limitados. Durante los siguientes 50 años, se lograron pocos avances en este campo.
Con el uso de ordenadores para experimentos, este tema de investigación ha vuelto a cobrar vitalidad. En 1980, Mandelbrot utilizó una computadora para dibujar el primer dibujo de la Colección Especial Mandelbrot (Colección M) que lleva su nombre. 1982 A. Douady construyó un mapa complejo cuadrático fc con parámetros. Su conjunto de Julia J(fc) muestra varias imágenes fractales a medida que cambia el parámetro C, como el famoso atractor de Yudidier, San Marco, etc. Ese mismo año, D. Ruelle obtuvo la relación entre los conjuntos J y los coeficientes de mapeo, y resolvió el problema de calcular la dimensión de Hausdorff de los conjuntos de aciertos en el mapeo analítico. L.Garnett obtuvo la solución numérica de la dimensión de Hausdorff del conjunto J(fc). En 1983, M. Widom generalizó aún más algunos resultados. El estudio de la iteración de funciones integrales comenzó en 1926 sobre gráficas regulares. En 1981, M. Misiuterwicz demostró que el conjunto J de mapeo exponencial es un plano complejo, lo que resolvió los problemas planteados por las gráficas regulares y despertó un gran interés entre los investigadores. Se encontró que el conjunto J de funciones integrales trascendentales es diferente del mapa racional J. En 1984, R.L. Devanney demostró que el conjunto J (Eλ) del mapa exponencial Eλ es el paquete de Cantor o el plano complejo, y J (fc ) es el polvo de Cantor o conjunto conectado.
El punto C en el plano complejo que hace de J(fc) un conjunto conexo constituye el conjunto especial de Mandelbrot. H.Jurgens y H-O.Peitgen creen que las propiedades de los conjuntos M siempre han sido y seguirán siendo un gran problema en la investigación matemática. Mediante la combinación de teoría matemática y experimentos con gráficos por computadora, así como el trabajo de investigación básica realizado por H. Hubbard y otros en este campo, se han logrado grandes avances en la solución de este problema y se ha profundizado la comprensión de las personas sobre los conjuntos M. En 1982, Dodi y Hubbard demostraron que los conjuntos M están conectados y simplemente conectados, y se especuló que los conjuntos M están conectados localmente. Hasta ahora, todos los gráficos informáticos confirman esta conjetura, pero nadie ha podido demostrarlo todavía. No está claro si m es un arco conexo. La dimensionalidad de la frontera del conjunto M es también una de las cuestiones que vale la pena estudiar.
El conjunto M no solo divide el conjunto J en categorías conectadas y desconectadas, sino que también actúa como una tabla gráfica para el conjunto J infinito, es decir, la gráfica alrededor del punto C del conjunto M ampliado es Lo mismo que el punto C. Es un componente del conjunto J relacionado; sin embargo, el secreto matemático de este descubrimiento aún no se ha determinado. Tan Lei (1985) demostró que existe similitud entre los conjuntos M adyacentes y los conjuntos J relacionados de cada punto de Mihewitz. Eugene et al. obtuvieron imágenes fractales similares a la morfología natural en el estudio del potencial electrostático del conjunto M. Actualmente, muchos investigadores, incluido Eugene, están trabajando en la exploración de conjuntos M con la ayuda de vídeos de actividades por computadora. Se está trabajando en otros conjuntos de fractales. En 1990, Dwayne observó mediante experimentos numéricos que la gráfica compleja del conjunto M consta de muchas regiones estables de órbitas periódicas con diferentes períodos. En 1991, Huang Yongnian demostró este hecho con su método de análisis algebraico y estudió las características analíticas globales de los conjuntos M y sus órbitas periódicas generalizadas.
Basle (B.M.Barnsley) y S. Demko (1985) introdujeron sistemas de funciones iterativas. Muchos conjuntos fractales, como el conjunto j, son conjuntos de atracción para ciertas funciones iterativas, y los conjuntos fractales generados por otros métodos también pueden aproximarse mediante sistemas de funciones iterativas. En 1988, Lawwill descubrió a través de una investigación numérica que la flor de Pitágoras es un conjunto J de sistemas de funciones iterativas. Basle et al. estudiaron el sistema dinámico iterativo de sistemas funcionales con parámetros en 1985 y obtuvieron las diferencias de conectividad entre M conjuntos D, D, M. Bajo la iteración de un sistema de mapeo lineal, se puede generar un famoso fractal Curva - Curva de Géminis. . En 1986, Mizutani y otros estudiaron su sistema de energía.
La dimensión de Hausdorff dH del conjunto fractal en sistemas dinámicos generales es difícil de obtener utilizando métodos teóricos o métodos de cálculo.
Para conjuntos fractales con estructuras superpuestas, T. Bedford et al. proporcionaron algoritmos efectivos en 1986, pero para conjuntos fractales generados por sistemas dinámicos iterativos de mapeo no lineal general, estos resultados son difíciles de aplicar. Las conclusiones de la dimensión dH de Hausdorff y los algoritmos no lo hacen. realmente existen. J.L. Kaplan y J.A. York introdujeron la dimensión de Lyapunov dL en 1979 y supusieron que dL=dH. En 1981 Lelapier demostró que dH≤dL. L.S. Young (1982) demostró dH=dL en dos dimensiones. A.K.Agarwal et al. dieron un ejemplo en 1986 de que la conjetura de Kaplan-York no se cumple en dimensiones elevadas. Esta conjetura intenta inferir la estructura geométrica a partir de características dinámicas, y su problema inverso es inferir la mecánica del caos a partir de las dimensiones del atractor, lo cual es digno de estudio. Sin embargo, actualmente hay muy poco trabajo en esta área y se limita principalmente a la investigación informática. Además, la dimensión fractal de los sistemas dinámicos paramétricos en estados críticos caóticos o mutaciones necesita más estudios.
Los multifractales son otro tipo importante de conjunto fractal relacionado con el atractor extraño de los sistemas dinámicos. El concepto fue propuesto por primera vez por Mandelbrot y A.Renyi en 1983, J.D.Farmer et al. En 1988, T.Bohr et al. introdujeron la entropía topológica en la descripción dinámica y la analogía termodinámica de los multifractales. En 1988, Arnedo et al. aplicaron la transformada wavelet al estudio de multifractales. J.Feder, T.Tel y otros estudiaron subconjuntos multifractales e índices de escala. Amr Trikar estudió el problema inverso de los multifractales, propuso una función de partición generalizada, dio una dimensión trascendental generalizada y revisó las dimensiones anteriores. J.Lee et al. descubrieron la transición de fase en forma de termodinámica multifractal. En 1990, C. Beck obtuvo las cotas superior e inferior y los límites de dimensiones generalizadas y estudió la medida de uniformidad de multifractales. Mandelbrot estudió multifractales estocásticos y la dimensión fractal negativa. Covic introdujo un sistema iterativo binario en 1991, utilizando el valor propio máximo y el potencial de Gibbs para derivar la dimensionalidad, la entropía y el exponente de Lyapunov, proporcionando un esquema general para la clasificación de transiciones de fase multifractales. Un esquema general para la clasificación de transiciones de fase multifractales. Aunque se han propuesto muchos métodos para tratar con multifractales, desde un punto de vista matemático, estos métodos no son lo suficientemente rigurosos y algunos problemas son difíciles de resolver matemáticamente.
IV
La teoría fractal solo se ha desarrollado durante más de diez años y todavía está en ascenso. Muchos aspectos de la teoría aún necesitan más investigación. Vale la pena señalar que en los últimos años, la aplicación y el desarrollo de la teoría fractal han superado con creces el desarrollo de la teoría y han planteado requisitos más nuevos y más elevados para la teoría matemática fractal. El establecimiento, mejora y perfección de diversos métodos de cálculo de dimensiones fractales y métodos experimentales para hacerlos teóricamente simples y fáciles de operar son preocupaciones comunes de los científicos que aplican los fractales. En la investigación teórica, el cálculo teórico y la estimación de dimensiones, la reconstrucción fractal (es decir, encontrar un sistema dinámico tal que su conjunto de atracción sea un conjunto fractal determinado), las propiedades de los conjuntos J y M y sus formas extendidas, las características dinámicas y la dimensionalidad. convertirse en un área de investigación muy activa entre los matemáticos. La integridad y el rigor de la teoría multifractal y cómo utilizar estas teorías para resolver problemas prácticos pueden despertar un interés generalizado entre los científicos. Las propiedades dinámicas, las transiciones de fase y las transformadas wavelet pueden convertirse en varios puntos calientes.
En filosofía, la gente está interesada en la universalidad de la autosimilitud, la simplicidad y complejidad de los conjuntos M y J, la unidad de los números complejos y los números reales, la relación entre las transiciones de fase multifractales y la teoría de la catástrofe. , La caracterización de la criticidad autoorganizada (SOC) y la transformación de diversas contradicciones dentro del sistema fractal. Es previsible que pronto comience en China un debate sobre la filosofía científica de los fractales.
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Investigación sobre teoría fractal y teoría de ondas/forex/forex info/20050916/12161974322 shtml
Teoría fractal y su aplicación en la industria química/resource/article/jylw/3/306/lw 009994.