Entonces la suma parcial de los primeros n términos de la serie armónica satisface
sn = 1 1/2 1/3 … 1/n gt; ln(1 1) ln(1 1/2) ln(1 1/3) … ln(1 1/n)
= LN2 ln (3/2) ln(4/3) … ln[(n 1)/n]
= ln[2 * 3/2 * 4/3 *……*( n 1)/n ]= ln(n 1)
Porque
lim Sn(n→∞)≥lim ln(n 1)(n→∞)= ∞
Entonces el límite de Sn no existe y la serie armónica diverge.
Pero el límite s = lim[1 1/2 1/3 … 1/n-ln(n)](n→∞) existe porque
sn = 1 1/ 2 1/3 … 1/n-ln(n)>ln(1 1) ln(1 1/2) ln(1 1/3) … ln(1 1/n)-ln(n)
= ln(n 1)-ln(n)= ln(1 1/n)
Porque
lim Sn(n→∞)≥lim ln( 1 1 /n)(n→∞)= 0
Entonces Sn tiene un límite inferior.
Pero
sn-S(n 1)= 1 1/2 1/3 … 1/n-ln(n)-[1/2 1/3 … 1/ (n 1)-ln(n 1)]
= ln(n 1)-ln(n)-1/(n 1)= ln(1 1/n)-1/(n 1 )
Expande ln(1 1/n) y toma los dos primeros términos. Debido a que la suma de elementos descartados es mayor que 0,
ln(1 1/n)-1/(n 1)>1/n-1/(2n^2)-1/(n 1 )= 1/(n^2 n)-1/(2n^2)gt; 0
Es decir, ln(1 1/n)-1/(n 1)> 0, entonces Sn disminuye monótonamente. Por el teorema del límite de secuencias monótonas acotadas, sabemos que Sn debe tener un límite, por lo que s = lim[1 1/2 1/3 … 1/n-ln(n)](n→∞) existe.
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