Si x_n converge y el límite es x, entonces x debe satisfacer x = 2+1/x {1/2} y sustituir el elemento u = x {1/2} Divide para obtener u 3-2u-1 = 0, encuentra la solución. 0, solo u=u2, entonces x = (3+5 {1/2})/2.
Así que la siguiente pregunta se reduce a cómo demostrar que x_n realmente converge.
Para este tipo de problemas, la idea natural es utilizar una prueba acotada monótona (por supuesto, puede que no siempre sea factible, pero siempre inténtalo).
Ver n & gtX _ n > en 1; entonces hay al menos un límite inferior. Si desea analizar la monotonicidad, puede hacer una distinción directamente.
x _ { n+1 }-x _ n = 1/x_n^{1/2}-1/x_{n-1}^{1/2}
Si x_n > x_{n-1} entonces x_{n+1} < x_n si x_n
Luego continúa el análisis
x _ { n+1 }-x _ n = 1/x_n^{1/2}-1/x_{n-1}^{ 1 /2} =-(x _ n-x _ { n-1 })/[x_n^{1/2} x_{n-1}^{1/2}(x_n^{1/2}+x_{n - 1}^{1/2})]
Usando el límite inferior anterior, podemos obtener
| x _ { n+1 }-x _ n & lt; | x _ n-x _ { n-1 } |/32^{1/2}
Esto es fácil de manejar. Hay una constante c > 0 tal que | } | < C/32 { 1/2 }, entonces
x _ n = x _ (x _ 1-x _ 0)+(x _ 2-x _ 1)+.. .+ (x_n - x_{n-1})
Cuando n->;Oo es una serie absolutamente convergente, entonces x_n sí converge.