Resumen: El ángulo diédrico es un contenido importante en geometría sólida, es el foco del examen de ingreso a la universidad y también es una dificultad en el aprendizaje. Por esta razón, el autor combina algunas preguntas del examen de ingreso a la universidad para analizar. y resumir los métodos para resolver tales problemas. El método para resolver problemas de ángulos diédricos en geometría sólida se puede resumir como "encontrar", "hacer" y "crear". método de definición; método del plano vertical; método de ángulo tridimensional; método de línea perpendicular; método de vector normal
El ángulo diédrico es un contenido importante en el examen de ingreso a la universidad. y también es una dificultad de aprendizaje para los estudiantes. Con este fin, el autor combina algunas preguntas del examen de ingreso a la universidad para analizar y resumir los métodos para resolver este tipo de problemas.
El método para resolver problemas de ángulos diédricos es. resumido por el autor como "encontrar", "hacer" y "crear
"Mirar" ――Ver si hay ángulos planos diédricos en las figuras geométricas sólidas dadas
El La base para "encontrar" son las características principales de los ángulos del plano diédrico: el vértice está en el borde y el plano donde se encuentra el ángulo es perpendicular al borde.
Ejemplo 1 (Beijing, 2008) Como se muestra en. Figura 1, en la pirámide triangular P-ABC, AC=BC=2, ∠ACB=90°, AP=BP=AB, PC⊥AC
(1) Verificar: PC⊥AB <. /p>
(2) Encuentra el tamaño del ángulo diédrico B-AP-C;
(3)( Teoría) Encuentra la distancia desde el punto C al plano APB
<. p>Figura 1Análisis (1) Como se muestra en la Figura 2, tome el punto medio D de AB y conecte PD y CD
Porque AP=BP, entonces PD⊥AB.
Porque AC=BC, entonces CD⊥AB
Porque PD∩CD=D,
Entonces AB⊥Plano PCD. >¿Porque PC?Plano PCD, entonces PC⊥AB
Figura 2
(2) Porque AC=BC , AP=BP, PC=PC,
También PC⊥AC, entonces PC⊥BC
También ∠ACB =90°, es decir, AC⊥BC y AC∩PC. =C, entonces BC⊥plano PAC
Figura 3
Como se muestra en la Figura 3, tome el punto medio E de AP y conecte BE, CE,
Porque AB=BP, entonces BE⊥AP
Debido a que EC es la proyección de BE en el plano PAC, entonces CE⊥AP
Entonces ∠BEC es el ángulo plano del diédrico. ángulo B-AP-C
En △BCE, ∠BCE=90°, BC=2, BE=AB=, entonces sin∠BEC== . AP-C es arcosin.
(3) Omitido.
"Hacer" - hacer cálculos sobre ángulos diédricos en figuras geométricas sólidas Generalmente hay tres formas de "hacer" un ángulo plano. :
1. Método de definición
El método de definición significa que cualquier punto en el borde del ángulo diédrico es Si se dibujan líneas rectas perpendiculares a los bordes en los dos semiplanos, el ángulo formado por las dos rectas es el ángulo plano del ángulo diédrico. Es adecuado para preguntas con cierta simetría.
Ejemplo 2 (Texto de Hunan de 2008) Como se muestra en la Figura 4, la base ABCD de. la pirámide cuadrangular P-ABCD es un rombo con longitud de lado 1, ∠BCD=60°, E es el punto medio de CD, PA⊥La base ABCD, PA=
(1) Demuestre: Plano PBE. ⊥Plano PAB;
(2) Encuentra el tamaño del ángulo diédrico A-BE-P
Análisis (1) como se muestra en la Figura 5, Conectando BD, sabemos que. ABCD es un rombo y ∠BCD=60°, y △BCD es un triángulo equilátero. Debido a que E es el punto medio de CD,
Entonces BE⊥CD y AB∥CD,
Figura 5
Y porque PA⊥Abajo ABCD, BE?plano A.
BCD,
Entonces PA⊥BE.
Y PA∩AB=A, entonces BE⊥plano PAB
Y BE? p>
p>
Entonces plano PBE⊥plano PAB
(2) De (1), sabemos que BE⊥plano PAB, PB plano PAB, entonces PB⊥BE.
AB⊥BE, entonces ∠PBA es el ángulo plano del ángulo diédrico A-BE-P
En Rt△PAB, tan∠PBA==, entonces ∠PBA=. 60°
p>
Entonces el ángulo diédrico A-BE-P es 60°
2. El método se refiere al uso de un plano perpendicular al borde. Si se elimina el ángulo diédrico, los dos planos que cortan el ángulo diédrico deben tener dos líneas de intersección. El ángulo formado por estas dos líneas de intersección es el ángulo plano del ángulo diédrico, y luego allí. es un método para encontrar el ángulo plano.
Ejemplo 3 (2008 Nacional Ⅰ) Como se muestra en la Figura 6, en la pirámide cuadrangular A-BCDE, la base BCDE es un rectángulo, el lado ABC⊥base BCDE. , BC=2, CD=, AB=AC.
p>
Figura 6
(1) Demuestre: AD⊥CE
( 2) (Teoría) Supongamos que el ángulo entre CE y el plano ABE es de 45°, encuentre el tamaño del ángulo diédrico C-AD-E
Se omite el análisis (1)
Entonces ∠CEM=45° y CE=, entonces CM= CE=, sin∠CBA=, ∠CBA=60°.
Figura 7
Construya CH⊥AD en H y conecte EH,
Fig p>
Porque AD⊥CE, CH⊥AD, <. /p>
Entonces AD⊥ se enfrenta a CHE
Entonces AD⊥EH y CD⊥AC,
Entonces AD=,
CH=2. ×=,
DH=×=,
EH=.
cos∠CHE ==－
Entonces el tamaño de. el ángulo diédrico C-AD-E es arccos-.
Método de las tres perpendiculares
Método de las tres perpendiculares Se refiere a trazar una línea perpendicular desde un determinado punto P en uno. medio plano del ángulo diédrico al otro medio plano (el método general es usar el teorema de propiedad de la perpendicularidad de la superficie), el pie perpendicular es O, y luego trazar una línea perpendicular a través de O hasta el borde, la línea perpendicular El pie es O1, entonces ∠OO1P es el ángulo plano del ángulo diédrico deseado (el ángulo diédrico obtuso es su ángulo suplementario).
Ejemplo 4 (Tianjin, 2008) como se muestra en la Figura 8, en la pirámide cuadrada P). - En ABCD, la base ABCD es un rectángulo. Se sabe que AB=3, AD=2, PA=2, PD=2, ∠PAB=60°(1) Demuestre: AD. ⊥Plano PAB;
(2) Encuentra el tamaño del ángulo entre las rectas PC y AD
(3) Encuentra el tamaño del ángulo diédrico P-BD-A;
Análisis (1) (2) omitido
Figura 9
(3) Como se muestra en la Figura 9, pasando por el punto P, dibuje PH⊥. AB y el punto H, pasando por el punto H, dibuja HE⊥ BD está en el punto E, conectado a PE. Porque AD⊥ plano PAB,
PH ¿plano Huan,
Entonces? AD⊥PH.
Y AD∩AB =A,
Así PH⊥ plano ABCD
Entonces HE es la proyección de PE en el plano ABCD. /p>
Se puede ver a partir del teorema de las tres perpendiculares que BD⊥ PE,
Por lo tanto, ∠PEH es el ángulo plano del ángulo diédrico P-BD-A. >Se puede ver en la pregunta,
PH=PA?sin60° =,
AH=PA?cos
60°=1,
BH=AB－AH=2,
BD==,
HE=?BH==. p>Entonces en Rt△PHE,
tan∠PEH==
Entonces el tamaño del ángulo diédrico P-BD-A es arctan. "Hacer" - construir una "proyección" o construir una solución "vectorial"
1. Método de proyección de área
El llamado método de proyección de área se basa en triángulos y su distribución en un área determinada. plano La relación entre las áreas proyectivas, un método para calcular el ángulo diédrico usando cosθ= (donde θ es el ángulo diédrico
Usando este método, podemos resolver efectivamente el problema del ángulo diédrico. no tiene aristas o tiene aristas pero el ángulo plano del ángulo diédrico no se puede expresar fácilmente.
Las preguntas del Ejemplo 5 (Tianjin, 2008) son las mismas que las del Ejemplo 4. Sólo se explicará la pregunta (3). aquí
Análisis (3) A través del punto P, dibuje PH⊥AB en el punto H,
A través del punto H, dibuje HE⊥BD en el punto E, conectando PE. >
Porque AD⊥ Plano PAB,
PH? Plano PAB,
Entonces AD⊥PH
Y AD∩AB=A,
p>
Por lo tanto PH⊥Plano ABCD.
Entonces HE es la proyección de PE en el plano ABCD Según el teorema de las tres perpendiculares,
Por lo tanto ∠PEH. es el ángulo diédrico P- El ángulo plano de BD-A
Figura 10
Se puede ver en la pregunta, PH=PA?sin60°=, AH=PA? cos60°=1, BH=AB-AH =2,
BD==,
HE=?BH==
Entonces PE==,
S△PBD =BD?PE=
Y AH=1, BH=2, AD=2,
Entonces S△HBD=S△ ABD-S△AHD=（6-2 ) = 2.
Entonces cosθ====, es decir, el tamaño del ángulo diédrico P-BD-A es arccos
<. p> Aunque el método anterior ha resuelto con éxito algunos problemas sin aristas, entendemos la solución, pero también está sujeta a ciertas condiciones, es decir, un triángulo en la pregunta debe ser la proyección de otro triángulo en un determinado plano si esta condición lo es. no existe, debemos considerar usar otro método, es decir, el método vectorial normal.Este artículo es el texto completo original. Los usuarios que no tengan un navegador de PDF instalado, descarguen e instalen. Texto completo original primero. 2. Método del vector normal
El método del vector normal consiste en calcular los dos ángulos perpendiculares al ángulo diédrico. Un método para encontrar el ángulo diédrico utilizando la relación entre este ángulo y el plano. El ángulo del ángulo diédrico es igual o complementario. Cuando se utiliza el vector normal para encontrar el ángulo diédrico, el ángulo formado por los vectores normales de los dos planos es el mismo que el ángulo diédrico, ya sea que los ángulos de las caras sean "iguales" o. "complementario" se ha convertido en la dificultad y la clave. Aquí, el autor se basa en el método de determinación de la programación lineal para representar el área plana mediante desigualdades lineales binarias, y utiliza el "método de analogía" para obtener una solución para los ángulos diédricos utilizando vectores normales. Un método simple y efectivo.
Cuando se utilizan vectores normales para encontrar ángulos diédricos, solo hay dos situaciones en las que el ángulo entre los vectores normales de los dos semiplanos y el tamaño de los ángulos diédricos debe ser clasificados según sus vectores normales, existen las siguientes cuatro situaciones:
Como se muestra en las cuatro figuras anteriores, supongamos que el tamaño del ángulo diédrico α-l-β es θ, a y b son cualquiera. vectores normales de α y β respectivamente, y el ángulo incluido es < a, b〉, en las Figuras 12 y 13, θ = 〈a, b〉, en las Figuras 11 y 14, θ = π - 〈a, b〉. para juzgar si θ y 〈a, b〉 son "iguales" o "complementarios" "¿Tela de lana? El autor utilizó analogía y asociación para probar si podía encontrar un vector especial y llegó a la siguiente conclusión:
Si se eligen A∈α, B∈β y A, B, respectivamente, según? el número de vectores Los signos de los productos ?a, ?b determinan la relación entre θ y 〈a, b〉.
En la Figura 11, hay ?agt; 0, los dos productos tienen el mismo signo, θ
=〈a, b〉;
Hay ?a0 en la Figura 14, los dos productos tienen signos diferentes, θ=π- 〈a, b〉; vector de prueba.
p>La conclusión anterior se puede resumir como "complemento igual y diferente" (si ?a, ?b tienen el mismo signo, entonces θ = 〈a, b〉; si tienen diferentes signos, entonces θ = π-〈a, b〉), la estrategia adoptada es "fijar el valor del vector normal y fijar el ángulo del vector especial".
Nota (1) Si se toma el vector de prueba, entonces =- muestra que la conclusión anterior es verdadera y se puede ver que no tiene nada que ver con la dirección del vector de prueba
(2)? l; de lo contrario, tiene ?a=0 o ?b=0.
El título del Ejemplo 6 (2008 Hunan) es el mismo que el del Ejemplo 2. Aquí solo se explicará la pregunta (2).
Figura 15
Análisis. de (2) como sigue en la Figura 15, estableciendo un sistema de coordenadas rectangular espacial A-xyz con A como origen.
Entonces A (0, 0, 0),
B (1, 0, 0),
C,, 0,
D,,0,
P(0,0,),
E1,,0
Entonces = (1,0,-) ,
=0,, 0.
Supongamos que n1= (x1, y1, z1) es un vector normal del plano PBE,
¿Entonces n1? =0, n1?=0,
Obtenemos x1 0×y1-×z1=0, 0×x1 ×y1 0×z1=0
Entonces y1=0, x1 =z1.
Entonces se puede tomar n1=(,0,1)
Y un vector normal del plano ABE es n2=(0,0,1), suponiendo el ángulo diédrico El tamaño de A-BE-P es θ,
Porque cos〈n1, n2〉==,
Entonces 〈n1, n2〉=60°. el vector de prueba =,, , donde N es el punto medio de PE, entonces n1=(,0,1)?,,=gt;0,?n2=,,?(0,0,1)=gt;0.
De las conclusiones anteriores de este artículo, sabemos que θ = 〈n1, n2〉 = 60°
Ejemplo 7 (2007 Anhui) Como se muestra en la Figura 16, en el hexaedro ABCD-A1B1C1D1, el cuadrilátero ABCD es un cuadrado con longitud de lado 2, el cuadrilátero A1B1C1D1 es un cuadrado con longitud de lado 1, DD1⊥ plano A1B1C1D1, DD1⊥ plano ABCD, DD1=2
(1. ) Verificación: Planos A1C1 y AC***, B1D1 y BD** *Plano
(2) Verificar: El plano A1ACC1 es perpendicular al plano B1BDD1
(3) Encontrar el tamaño del ángulo diédrico A-BB1-C (expresado por el valor de la función trigonométrica inversa
Figura 16
Análisis (1) (2) omitido. >(3) Con D como origen, tome la línea recta donde se encuentran DA, DC y DD1. Son el eje x, el eje y y el eje z respectivamente, y establezca el sistema de coordenadas rectangular espacial D-xyz ( como se muestra en la Figura 16
Hay A (2, 0, 0), B (2, 2, 0) ), C (0, 2, 0),
C1 (0, 1, 2 ), D1 (0, 0, 2). >= (-1, 0, 2),
= (-1, -1, 2), = (0, -1, 2). x1, y1, z1) es el vector normal del plano A1ABB1, entonces
n?=-x1 2z1=0,
p>
n?=-x1-y1 2z1=0.
Entonces y1=0. Toma z1=1,
Entonces x1=2, n= (2, 0, 1). Supongamos que m= (x2, y2, z2) es el vector normal del plano B1BCC1, entonces existe
m?=-x2-y2 2z2=0,
m?=- y
2 2z2=0.
Entonces x2=0
Establezca z2=1,
Entonces y2=2, m=(0, 2, 1). ,
cos〈m,n〉==.
Entonces el tamaño del ángulo diédrico A-BB1-C es π-arcos o arccos
. Tome el vector de prueba = (-2, 2, 0),
¿Entonces?n= (-2, 2, 0)? (2, 0, 1) = -40. > De la conclusión anterior de este artículo, tenemos θ=π-〈n, m〉=π-arccos
Aquí, el autor introduce el ángulo y el ángulo diédrico formado por los vectores normales de dos planos. como " Un método simple y efectivo de "igual" o "complementario".
Definición: Supongamos que el vector normal n del plano α está en un lado del plano α, si la distancia entre el punto final del vector n y el plano α es menor que la distancia del vector n. Se dice que la distancia desde el punto inicial al plano α es que el vector normal del plano α apunta al plano α (como se muestra en la Figura 17). Si el punto del vector n al plano α es mayor que la distancia desde el punto inicial del vector n al plano α, se dice que el vector normal del plano α apunta al plano α. El vector se desvía del plano α (Figura 18).
Figura 17
Figura 18
Supongamos que los vectores normales de los dos planos están en el ángulo diédrico α-l- Dentro de β, si el vector normal n1 del plano α apunta (se desvía del) plano α, y al mismo tiempo el vector normal n2 del plano β apunta (se desvía del) plano β, entonces el ángulo diédrico α-l-β es π-θ (como se muestra en Figura 19); si el vector normal n1 del plano α apunta (se desvía del) plano α, y al mismo tiempo el vector normal n2 del plano β se desvía (apunta) del plano β, entonces el ángulo diédrico α-l- β es θ (como se muestra en la Figura 20). Por lo tanto, el ángulo diédrico El ángulo plano de α-l-β es el ángulo θ o π-θ formado por el vector normal n1 y el vector normal n2
<. p>La conclusión anterior se puede resumir como "igual, complementaria, diferente e igual" (si n1, n2 Para α y β, cuando ambos apuntan o se desvían, θ=π-〈n1, n2〉; si uno de n1 y n2 puntos y el otro se desvía, θ=〈n1, n2〉).Tomamos los ejemplos 6 y 7 como ejemplos:
En el ejemplo 6, n1 está dentro del ángulo diédrico A-. BE-P, el vector n1 apunta al plano PBE, y n2 está dentro del ángulo diédrico A-BE. En -P, n2 se desvía del plano ABE, por lo que el ángulo entre los dos vectores normales 〈n1, n2〉 es el. tamaño del ángulo diédrico requerido, que es 60°.
En el ejemplo 7, n es El ángulo diédrico A-BB1-C apunta al plano ABA1B1 y m apunta al plano BB1CC1 dentro del ángulo diédrico. A-BB1-C
Entonces el ángulo plano del ángulo diédrico A-BB1-C es el vector normal. El ángulo suplementario del ángulo 〈n, m〉 es π-arcos
Como se puede ver en el ejemplo anterior, la idea de resolver ángulos diédricos con vectores normales es bastante única y se resuelve utilizando métodos algebraicos. Problemas geométricos. Entre ellos, el establecimiento del sistema de coordenadas rectangulares debería ser el. fundamento, y juzgar si el ángulo formado por los vectores normales de los dos planos y el ángulo plano del ángulo diédrico es "igual" o "complementario" es la dificultad y la clave
Al utilizar las estrategias anteriores. para resolver ángulos diédricos, generalmente se puede proceder en secuencia, es decir, primero "buscar" para ver si hay un ángulo plano diédrico en la figura geométrica. Si lo hay, luego "señalar" → "calcular", como 1. Si no se puede encontrar "hacer", entonces "hacer" Si se encuentra, entonces "hacer" → "señalar" → "calcular" Cuando no se puede encontrar "hacer" o es difícil de "hacer". "hacer" y construir "proyección"” o construir un “vector”.
En resumen, hay muchas formas de resolver problemas de ángulos diédricos y son relativamente flexibles. Como principiante, solo puedes lograrlo. A través de mucho aprendizaje basado en una comprensión clara de las características de cada método, el propósito de la competencia y la competencia en la aplicación.
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