Hacia 1900, aparecieron tres famosas paradojas en la teoría matemática de conjuntos. La paradoja del barbero es una expresión popular de la paradoja de Russell. Además, existen la paradoja de Cantor y la paradoja de Braley-Cuarenta. Estas paradojas, especialmente la de Russell, causaron una gran conmoción en los círculos matemáticos y lógicos de la época. Desencadenó la tercera crisis de las matemáticas.
Paradoja
Entendamos primero qué es una paradoja. Paradoja proviene del griego "para+dokein", que significa "pensar más". El significado de esta palabra es relativamente rico. Incluye todas las conclusiones matemáticas que contradicen la intuición humana y la experiencia diaria. Esas conclusiones nos sorprenderán enormemente. Una paradoja es una proposición contradictoria en sí misma. Es decir, si admites que esta proposición es verdadera, puedes deducir que su proposición negativa es verdadera, por el contrario, si admites que la proposición negativa de esta proposición es verdadera, también puedes deducir que esta proposición es verdadera; admites que es cierto, después de una serie de razonamientos correctos, puedes obtener Si admites que es falso, puedes concluir que es verdadero después de una serie de razonamientos correctos. Hay muchas paradojas famosas en el país y en el extranjero en los tiempos antiguos y modernos. Sacudieron los cimientos de la lógica y las matemáticas, inspiraron a la gente a buscar el conocimiento y el pensamiento preciso y atrajeron la atención de muchos pensadores y entusiastas a lo largo de los siglos. Resolver problemas de paradojas requiere pensamiento creativo y la solución de paradojas a menudo puede aportar nuevas ideas a las personas. Las paradojas se presentan en tres formas principales. 1. Una afirmación que parece estar equivocada pero que en realidad es correcta (paradoja). 2． Una afirmación que parece ser cierta pero que en realidad es incorrecta (una teoría engañosa). 3． Una serie de razonamientos que parecen impecables, pero conducen a contradicciones lógicas.
Definición de la paradoja de Russell:
M: Todos los conjuntos que contienen el conjunto en sí;
N: Todos los conjuntos que no contienen el conjunto en sí; >
Q: N∈M o ∈N.
Si N ∈M, significa que N tiene las características de M. Según la definición de M, N incluye el conjunto en sí.
Pero esto es inconsistente con la definición de. N; si N ∈N, significa que N tiene la característica de incluirse a sí mismo, lo cual es inconsistente con la definición de N, pero M + N atraviesa todos los campos del conjunto, por lo que N no es un conjunto vacío;
Surge entonces una paradoja.
Ejemplo de la paradoja de Russell:
Existe una historia en el mundo de la obra maestra literaria "Don Quijote":
El criado de Don Quijote, San Joe Panza, corrió hacia un pequeña isla y se convirtió en el rey de la isla. Promulgó una extraña ley: todo el que llega a la isla debe responder a una pregunta: "¿Qué haces aquí? Si la respuesta es correcta, se le permite jugar en la isla, y si la respuesta es incorrecta, se le permite jugar". colgarlo. Para todos los que vienen a la isla, o se divierten o se ahorcan. ¿Cuánta gente se atreve a arriesgar su vida para jugar en esta isla? Un día vino un hombre atrevido y le hicieron esta pregunta como de costumbre, y la respuesta del hombre fue: "Vine aquí para que me ahorquen". ¿Podía Sancho Panza dejarle quedarse en la isla, o ahorcarle? Si se le permitiera vagar por la isla, eso sería inconsistente con su afirmación de que sería ahorcado, lo que significa que su afirmación de "ser ahorcado" estaba equivocada. Como se equivocó, deberían ahorcarlo. Pero ¿y si Sancho Panza quisiera ahorcarle? En este momento, lo que dijo "será ahorcado" concuerda con los hechos, por lo que tiene razón, ya que respondió correctamente, no deberían ahorcarlo, sino que se le debería permitir jugar en la isla. El rey de la isla descubrió que sus leyes no se podían hacer cumplir porque, sin importar cómo se hicieran, las leyes se infringían. Después de pensarlo mucho, finalmente pidió a los guardias que lo dejaran ir y declaró inválida la ley. Ésta es otra paradoja.
La paradoja propuesta por el famoso matemático Bertrand Russell (Russel, 1872-1970) es similar:
Hay un barbero en cierta ciudad en el anuncio se lee: “Mis habilidades de barbero. Son muy soberbios y soy muy conocido en toda la ciudad. Afeitaré la cara de todas las personas de esta ciudad que no se afeitan, y solo afeitaré la cara de esta gente. Les doy una cálida bienvenida. !" Hay un flujo interminable de personas que acuden a él para afeitarse y, naturalmente, son todos los que no se afeitan.
Sin embargo, un día, el barbero vio en el espejo que le había crecido la barba e instintivamente agarró una navaja. ¿Crees que podría afeitarse solo? Si no se afeita, es una "persona que no se afeita" y tiene que afeitarse. Pero ¿y si se afeita? Como es una "persona que se afeita", no debería afeitarse.
La Paradoja del Barbero es equivalente a la Paradoja de Russell. Porque, si se considera a cada persona como un conjunto, los elementos de este conjunto se definen como los objetos del afeitado de esa persona. Entonces, el barbero afirma que sus elementos son todas las colecciones del pueblo que no le pertenecen, y todas las colecciones del pueblo que no le pertenecen le pertenecen. ¿Se pertenece entonces a sí mismo? De esta forma, la paradoja de Russell se obtiene de la paradoja del barbero. La transformación inversa también es cierta.
Influencia
En la segunda mitad del siglo XIX, Cantor fundó la famosa teoría de conjuntos. Cuando surgió la teoría de conjuntos, fue ferozmente atacada por muchas personas. Pero pronto este resultado pionero fue aceptado por la mayoría de los matemáticos y recibió grandes elogios y generalidades. Los matemáticos han descubierto que todo el edificio matemático se puede construir a partir de los números naturales y la teoría de conjuntos de Cantor. La teoría de conjuntos se convirtió así en la piedra angular de las matemáticas modernas. Los matemáticos están embriagados por el descubrimiento de que "todos los resultados matemáticos pueden basarse en la teoría de conjuntos". En 1900, en el Congreso Internacional de Matemáticos, el famoso matemático francés Poincaré declaró alegremente: "...Con la ayuda de los conceptos de la teoría de conjuntos, podemos construir todo el edificio matemático... Hoy podemos decir que el rigor absoluto ha sido logrado. Ahora..."
Sin embargo, los buenos tiempos no duraron mucho. En 1903, salió a la luz una noticia que conmocionó al mundo matemático: ¡Había lagunas en la teoría de conjuntos! Ésta es la famosa Paradoja de Russell propuesta por el matemático británico Russell. La paradoja de Russell provocó una crisis en la teoría de conjuntos. Es muy sencillo y cubre sólo los aspectos más básicos de la teoría de conjuntos. Por lo tanto, la paradoja de Russell causó una gran conmoción en los círculos matemáticos y lógicos de la época tan pronto como fue propuesta. Fritz, el famoso lógico alemán, recibió la carta de Russell sobre esta paradoja cuando su teoría básica de conjuntos estaba terminada e iba a imprimirse. Inmediatamente descubrió que la serie de resultados en los que había estado trabajando durante mucho tiempo estaban arruinados por esta paradoja. Sólo pudo escribir al final de su libro: "Lo más desafortunado que le puede pasar a un científico es descubrir que los cimientos de su trabajo se han derrumbado justo cuando su trabajo está a punto de completarse".
En 1874, el matemático alemán Cantor fundó la teoría de conjuntos, que pronto penetró en la mayoría de las ramas de las matemáticas y se convirtió en su base. A finales del siglo XIX, casi todas las matemáticas se basaban en la teoría de conjuntos. En ese momento, aparecieron uno tras otro algunos resultados contradictorios en la teoría de conjuntos, especialmente la paradoja reflejada en la historia del barbero propuesta por Russell en 1902. Es extremadamente simple, clara y popular. Como resultado, los cimientos de las matemáticas se tambalearon. Esta es la llamada tercera "crisis matemática".
Después de la publicación de la paradoja de Russell, se descubrieron una serie de paradojas (luego clasificadas como las llamadas paradojas semánticas): 1. La paradoja de Richard 2. La paradoja de Perry 3. Paradoja de Grayling y Nelson.
Solución
La paradoja de Russell propone que después de la crisis, los matemáticos han ideado sus propias soluciones. La gente espera poder eliminar las paradojas reformando la teoría de conjuntos de Cantor y restringiendo la definición de conjuntos, lo que requiere el establecimiento de nuevos principios. "Estos principios deben ser lo suficientemente estrechos para garantizar que se eliminen todas las contradicciones; por otro lado, deben ser lo suficientemente amplios para preservar todo el contenido valioso de la teoría de conjuntos de Cantor". En 1908, Zermelo basó en sus propios principios la primera teoría de conjuntos axiomática. Más tarde, este sistema de conjuntos axiomático compensó en gran medida las deficiencias de la ingenua teoría de conjuntos de Cantor. Además del sistema ZF, existen muchos sistemas axiomáticos de teoría de conjuntos, como el sistema NBG propuesto por Neumann et al. El establecimiento del sistema de conjuntos axiomático eliminó con éxito las paradojas que aparecían en la teoría de conjuntos, resolviendo así la tercera crisis matemática de forma relativamente satisfactoria. Pero, por otro lado, la paradoja de Russell tiene un impacto más profundo en las matemáticas. Trajo los problemas básicos de las matemáticas a los matemáticos por primera vez en una necesidad más urgente y condujo a la investigación de los matemáticos sobre los fundamentos de las matemáticas. Y nuevos avances en este campo han afectado profundamente a toda la matemática. Por ejemplo, la disputa sobre los fundamentos de las matemáticas ha formado tres escuelas matemáticas famosas en la historia de las matemáticas modernas, y el trabajo de cada escuela ha promovido el gran desarrollo de las matemáticas, etc.
Lo anterior presenta brevemente las tres crisis matemáticas causadas por las paradojas en la historia de las matemáticas y su superación. A partir de ellas, podemos ver fácilmente el enorme papel de las paradojas en la promoción del desarrollo de las matemáticas. Algunas personas dicen: "Hacer una pregunta es la mitad de la solución al problema", y la paradoja plantea exactamente la pregunta que los matemáticos no pueden evitar. Les dice a los matemáticos: "¡Resuélvanme o me tragaré su sistema!" Como señaló Hilbert en su artículo "Sobre el infinito": "Hay que admitir que frente a estas paradojas, lo que tenemos actualmente es la situación que tenemos. No se puede tolerar por mucho tiempo que en matemáticas un modelo que pretende ser confiable y veraz, las estructuras conceptuales y los métodos de razonamiento que todos aprenden, enseñan y aplican pueden conducir a consecuencias incluso irracionales. el pensamiento falla, entonces ¿dónde encontrar confiabilidad y verdad? "La aparición de la paradoja obliga a los matemáticos a dedicar su mayor entusiasmo a resolverla. En el proceso de resolución de la paradoja surgieron varias teorías: la primera crisis matemática condujo al nacimiento de la geometría y la lógica axiomáticas; la segunda crisis matemática condujo a la mejora de las teorías analíticas básicas y la creación de la teoría de los tres conjuntos; Las crisis contribuyeron al desarrollo de la lógica matemática y al surgimiento de varias matemáticas modernas. Como resultado, las matemáticas se han desarrollado vigorosamente. Ésta puede ser la importancia de las paradojas matemáticas, y la paradoja de Russell juega un papel importante en ello.
La razón no puede responder preguntas sobre sí misma. Este problema fue descubierto en tiempos de Kant. La lógica tiene lagunas irreparables, pero es la única forma que tiene la gente de entender el mundo. Al final, descubrirás que o niegas la razón o niegas la fe. Porque los debates sobre el llamado idealismo y materialismo son todos ciencia puramente racional basada en un sistema lógico tan incompleto. Dado que la razón no puede emitir juicios sobre sí misma, la elección de una postura no puede basarse en la razón, convirtiéndose así esencialmente en una superstición. Por supuesto, si insistes en que tu posición está en consonancia con la llamada ciencia o práctica, entonces en realidad no eres ni materialista ni idealista, sino esencialmente una especie de panempirismo o panlogicismo. Por supuesto, el logicismo aquí ciertamente no es el de Russell, es simplemente un nombre vívido.