13. Secuencia constante: una secuencia en la que todos los elementos son iguales (es decir: an+1=an).
14. Secuencia de balanceo: a partir del segundo elemento, algunos elementos son más grandes que el elemento anterior y algunos elementos son más pequeños que el elemento anterior.
15. La fórmula general del término de una secuencia: una fórmula que expresa la relación entre el primer término y el número de serie de una secuencia.
16. Fórmula recursiva de una secuencia: fórmula que expresa la relación entre cualquier elemento y su elemento anterior (o elementos anteriores).
17. Si la diferencia entre cada elemento de una secuencia a partir del segundo elemento y su elemento anterior es igual a la misma constante, entonces la secuencia se llama secuencia aritmética, y esta constante se llama aritmética. secuencia. El símbolo representa:.
Nota: Hay tres formas de comprobar si una secuencia es una secuencia aritmética:
①?②2()?③(es una constante
18. Consta de tres números, etc. La secuencia de diferencias puede considerarse como la secuencia aritmética más simple y se llama mediana aritmética de y. Si, se llama mediana aritmética de y.
19. la secuencia aritmética. Sí, la tolerancia es, entonces
20. . Si es así, si la secuencia diferencia es (,,,), entonces; si es una secuencia aritmética, y (,,), entonces
22. de la secuencia aritmética: ①; ②<. /p>
23 Propiedades de la suma de los términos anteriores de una secuencia aritmética: ① Si el número de términos es, entonces, y,. > ② Si el número de términos es, entonces, y, (donde,)
24 Si la proporción de cada elemento en una secuencia que comienza desde el elemento anterior es igual a la misma constante. , entonces la secuencia se llama secuencia geométrica, y esta constante se llama secuencia geométrica Representación simbólica de la razón común: (Nota: ① No habrá elementos con un valor de 0 en la secuencia geométrica; ② Los valores. en la misma posición del signo tienen el mismo signo)
Nota: compruebe si la secuencia es una secuencia geométrica. Existen los siguientes cuatro métodos:
①②(,)
. ③(es una constante distinta de cero).
④La secuencia positiva {} es igual a la secuencia suficiente y necesaria. La condición es que la secuencia {}() se convierta en una secuencia geométrica.
25. Insertar un número entre y, de modo que, se convierta en una secuencia geométrica, entonces se llama término medio geométrico de y. Si, entonces se llama término medio de la razón geométrica de y. (Nota: No se puede concluir que , es la razón de , por ,)
26 Si el primer término de la secuencia geométrica es, la razón común es, entonces /p>
. 27. Transformaciones de la fórmula general: ①; ②; ③; ④ Si es una secuencia geométrica, y (,,,), entonces si es una secuencia geométrica. ,,), entonces.
29. La fórmula de la suma del término anterior de una secuencia geométrica: ②
30. {} y La relación entre términos generales:
[Nota]: ?① (puede ser cero o no cero → es una condición necesaria y suficiente para una secuencia aritmética (es decir, la secuencia constante también es una secuencia aritmética) → si no es 0, entonces es una condición suficiente para la secuencia aritmética).
②La suma de los primeros n términos de la aritmética {} → puede ser cero o no cero → es necesaria y condición suficiente para la aritmética → si es cero, es una aritmética. Una condición suficiente para una secuencia si no es cero, es una condición suficiente para una secuencia aritmética.
③Un distinto de cero; La secuencia constante puede ser una secuencia geométrica o una secuencia aritmética (no es distinta de cero, es decir, es imposible tener una secuencia aritmética)
Adjunto: varias formas comunes de pensar sobre la secuencia. :
⑴La suma de los términos anteriores de una sucesión aritmética es, cuando, existe un valor máximo.?Cómo determinar el valor al tomar el valor máximo, existen dos métodos:
Una es encontrar el valor que hace que sea verdadero; la otra es encontrar el valor usando las propiedades de la función cuadrática.
La relación correspondiente entre la fórmula general, la fórmula de suma y la función de una secuencia es la siguiente:
Secuencia
Fórmula general
Función correspondiente
Secuencia aritmética
(tiempo es una función lineal)
Secuencia aritmética
(función exponencial)
Secuencia
Los primeros n términos y fórmulas
Funciones correspondientes
Secuencia aritmética
(cuando es una función cuadrática)
Secuencia de razones
(función exponencial) )
Utilizamos el punto de vista de la función para levantar el misterioso "velo" de la secuencia y consideramos la fórmula general de la secuencia y la suma de los primeros n términos como La función de n es muy útil inspiración para resolver problemas relacionados con la secuencia.
Pregunta de ejemplo: 1. En una secuencia aritmética, , entonces.
Análisis: Debido a que es una secuencia aritmética, es una función lineal alrededor de n,
Una función lineal La gráfica de la función es una línea recta, entonces (n,m), (m,n), (m+n,) línea *** de tres puntos,
Entonces la pendiente de la línea recta formada por cada dos puntos es igual, es decir, obtenemos =0 (la imagen es como arriba. Aquí usamos la relación correspondiente entre la fórmula del término general de la secuencia aritmética y la función lineal, y la combinamos con). la imagen, que es intuitiva y concisa.
Pregunta de ejemplo: 2. En la secuencia aritmética, la suma de los primeros n términos es, si, ¿qué valor de n es el mayor?
Análisis: La suma de los primeros n términos de la secuencia aritmética se puede considerar como una función cuadrática = alrededor de n,
Es un punto discreto en la parábola =, según el significado de la pregunta,
Debido a que se desea el valor máximo, la imagen de la función cuadrática correspondiente se abre hacia abajo, y el eje de simetría es, es decir, en ese momento, el máximo.
Pregunta de ejemplo: 3 secuencia creciente, para cualquier entero positivo n, siempre es verdadera, encuentre
Análisis: Construya una función lineal y obtengala aumentando la secuencia: Es siempre es cierto para todo, es decir, siempre es cierto. Por lo tanto, si todo es constante, suponiendo que solo necesita encontrar el valor máximo, obviamente hay un valor máximo, por lo que el rango de valores es:.
Construya una función cuadrática y considérela como una función. Su dominio es, porque es una secuencia creciente, es decir, la función es una función creciente y el intervalo monótonamente creciente es el eje parabólico de. simetría, debido a que la función f (x) es una función discreta, si la función quiere aumentar monótonamente, depende de la posición del eje en movimiento y del intervalo conocido. De la imagen correspondiente, también es posible que el eje de simetría esté a la izquierda (como se muestra en la imagen), porque el punto B está más alto que el punto A en este momento. Por lo tanto, obtenemos
(2) Si la secuencia puede considerarse como el producto de los términos correspondientes de una secuencia aritmética y una secuencia geométrica, la suma de los términos anteriores de esta secuencia se puede encontrar de acuerdo al método de inversión de la suma de los términos anteriores de la secuencia geométrica: Resta y suma desplazadas. Por ejemplo:
⑶Los mismos términos de dos secuencias aritméticas también forman una nueva secuencia aritmética. de esta secuencia aritmética es el primer término de las dos secuencias originales, la tolerancia es el mínimo común múltiplo de la tolerancia de las dos secuencias.
2. la secuencia es una secuencia aritmética (de igual proporción): (1) Método de definición: para n≥ Se verifica que cualquier número natural de 2 es la misma constante. (2) Método de fórmula general. (3) Método de fórmula de mediano plazo: se establece la verificación.
3.?En la secuencia aritmética {}, el problema del valor máximo sobre Sn?: (1) Cuando >0, d<0, el número de términos m que satisfacen es tal que el valor máximo es obtenido.?( 2) Cuando <0,d>0, el número de elementos satisfechos m hace el valor mínimo. Al resolver el problema de valor máximo de una secuencia que contiene valores absolutos, preste atención a la aplicación de ideas de transformación.
Adjunto: Métodos comunes para sumar una secuencia
1. Método de fórmula: adecuado para secuencias aritméticas y geométricas o secuencias que se pueden convertir en secuencias aritméticas y geométricas.
2. Método de cancelación de términos divididos: aplicable a secuencias aritméticas donde {?} es una secuencia aritmética en la que cada término no es 0 y c es una secuencia irracional, una secuencia que contiene factorial; etc.
Ejemplo: Se sabe que el término general de la secuencia {an} es an=, encuentre los primeros n términos de esta secuencia y Sn.
Solución: Después de la observación, se se encuentra: an=
∴
3. Método de resta de dislocación: aplicable donde {?} es una secuencia aritmética, una secuencia geométrica en la que cada término no es 0.
Pregunta de ejemplo: Se sabe que la fórmula general de la secuencia {an} es, encuentra la suma de los primeros n términos de esta secuencia.
Solución: Según la pregunta:
=
Es decir,
=?①
Ecuación ① Después de multiplicar ambos lados por 2, obtenemos
=?②
Use ①-②, es decir:
=?①
=?②
Obtener
∴
4. Suma de orden inverso: similar al método de derivación de la fórmula de suma de los primeros n términos de un secuencia aritmética.
5.Conclusiones comunes
1):?1+2+3+...+n?=?2)?1+3+5+.. .+(2n-1)? =3)?
4)?5)
6)?
31.;;．
32. Propiedades de las desigualdades:?①;②;③;
④,;⑤;
⑥;⑦;
⑧.
33. Desigualdad cuadrática de una variable: desigualdad que contiene sólo un número desconocido, y el grado más alto de ese número desconocido es.
34. Soluciones y extensiones que incluyen desigualdades de valor absoluto y desigualdades cuadráticas de una variable 1. Soluciones a desigualdades enteras (desigualdades de orden superior)
Método de raíz (segmentación de punto cero) método)
Resolver la desigualdad:
Solución: ①Convierta la desigualdad a la forma a0(x-x1)(x-x2)…(x-xm)>0(<0 ), y El coeficiente de cada factor >
③Pase la línea desde la parte superior derecha (es decir, de derecha a izquierda, de arriba a abajo: las raíces pares pasan sin pasar, las raíces impares pasan una vez), pasando por los puntos en el eje numérico que representan cada raíz (¿por qué?
④Si la desigualdad (después del coeficiente de x es "+") es ">0", entonces encuentre el intervalo donde está la "línea". " está por encima del eje x; si la desigualdad es "<0", entonces busque la "línea" "El intervalo debajo del eje x.
(positivo y negativo de derecha a izquierda)
Pregunta de ejemplo: Encuentra el conjunto solución de la desigualdad.
Solución: Factoriza la desigualdad original en:
De la ecuación: Resuelve: Marca estas tres raíces en el eje numérico en orden de menor a mayor, como se muestra en la figura
Se puede ver en la figura que el conjunto solución de la desigualdad es:
Pregunta de ejemplo: Resuelva el conjunto solución de la desigualdad.
Solución: Brevemente
Solución de desigualdad cuadrática de una variable:
Caso especial ①? Discusión de la solución de desigualdad lineal ax>b;
② Discusión sobre la solución de la desigualdad cuadrática ax2+bx+c>0(a>0) de una variable.
La imagen de la función cuadrática
()
Ecuación cuadrática de una variable
Tiene dos raíces reales diferentes
Tiene dos raíces reales iguales
Sin raíces reales
R
Para la desigualdad a<0, primero puedes cambiar a a positivo y luego usar la tabla anterior para resolverla.
2. Soluciones a desigualdades fraccionarias
(1) Estandarización: El término de transferencia se divide en la forma >0 (o <0); ,
(2) Convertir desigualdades a enteros (grupo)
Ejemplo: Resolver la desigualdad:
Solución: Omitido
Ejemplo: Resuelve el conjunto solución de desigualdad.
3. Soluciones a desigualdades de valor absoluto:
Forma básica:
① Desigualdad del tipo: |x|＜a(a＞0)? el conjunto solución de ? es:
② El conjunto solución de la desigualdad ? del tipo tal como: |x|＞a(a>0)? /p>
Solución. Entre ellos, -c. La desigualdad de tipo
se puede resolver mediante.
③Para desigualdades que contienen dos o más valores absolutos: utilice la discusión de clasificación del "método de intervalo de punto cero" para resolver.
④Métodos geométricos comúnmente utilizados para resolver desigualdades de valor absoluto: es decir resuelve problemas basados en el significado geométrico de valores absolutos utilizando el método de combinación de números y formas.
Problema de ejemplo: resolución de desigualdades
Solución: Omitida
Problema de ejemplo: Resolver desigualdades:
Solución: Método de discusión de clasificación de punto cero: Sea la solución: En el eje numérico, -3 y 2 dividen el eje numérico en tres partes, como se muestra en la figura superior derecha ① En ese momento, (eliminando el signo del valor absoluto) la desigualdad original se transforma es:
②En ese momento, (eliminando el signo del valor absoluto) la desigualdad original se convierte en:
③En ese momento, (eliminando el signo del valor absoluto) la desigualdad original se convierte en:
El conjunto solución de la desigualdad original obtenido de ①②③ es: (Nota: los conjuntos solución de ①②③ se combinan entre sí)
Método de imagen de función:
Vamos
Luego está:
La imagen de esta función suma por partes en el sistema de coordenadas rectangulares es como se muestra en la figura
De la imagen se puede ver que el conjunto solución de la desigualdad original es:
4. La distribución de las raíces reales de la ecuación cuadrática ax2+bx+c =0(a>0) a menudo se analiza con la ayuda de la imagen de la función cuadrática:
Supongamos que las dos raíces de ax2+bx+c=0 son , f(x)=ax2+bx+c , entonces:
①Si ambas raíces son mayores que 0, es decir, entonces hay
②Si ambas raíces son menores que 0, es decir, entonces hay
③Si una de las dos raíces es menor que 0 y la otra es mayor que 0, es decir, entonces hay
④Si las dos raíces están entre dos números reales myn, es decir,
p>
Entonces
⑤Si dos raíces están entre tres números reales, es decir,
Entonces
La distribución de raíces Para resolver los parámetros que aparecen en las posiciones a, byc
Por ejemplo: si la ecuación tiene dos raíces reales positivas, encuentre el rango de valores.
Solución: obtenida del tipo ①
Entonces cuando la ecuación tiene dos raíces reales positivas, .
Otro ejemplo: si una raíz de la ecuación es mayor que 1 y la otra es menor que 1, encuentra el rango.
Solución: Debido a que hay dos raíces diferentes,
35 Desigualdad lineal binaria: una desigualdad que contiene dos incógnitas y el grado de la incógnita es.
36. Grupo de desigualdades lineales de dos variables: grupo de desigualdades compuesto por varias desigualdades lineales de dos variables.
37. Conjunto de soluciones de desigualdades lineales binarias (grupos): Los valores de las sumas que satisfacen las desigualdades lineales binarias forman un par de números ordenados, y el conjunto de todos esos pares de números ordenados.
38. En el sistema de coordenadas plano rectangular se conocen la recta y el punto en el plano coordenado.
①Si , entonces el punto está por encima de la recta.
② Si , entonces el punto está debajo de la recta.
39. En el sistema de coordenadas cartesiano plano se conoce una línea recta.
(1) Determinado por B:
①Si, significa el área sobre la línea recta, significa el área debajo de la línea recta.
② Si , significa el área debajo de la línea recta; significa el área sobre la línea recta.
(2) Determinado por el signo de A:
Primero haga que el coeficiente A de x sea positivo y luego observe la dirección del signo de desigualdad:
①Si el signo "> ", el área representada es la parte derecha de la línea recta l:?.
②Si es un signo "<", el área representada es la parte izquierda de la recta l:?.
(3) Pasos para determinar el área representada por el grupo de desigualdad:
①Dibujar una línea: trazar la línea recta representada por la ecuación correspondiente a la desigualdad
②Determine la prueba: determine a partir de (1) (2) arriba
③Intersección: saque la parte común del área que satisface cada desigualdad.
Ejemplo: Dibuja la región plana representada por el conjunto de desigualdades.
Solución: Omitida
40. Restricciones lineales: El grupo de desigualdades formado por desigualdades (o ecuaciones) de , es la restricción lineal de .
Función objetivo: fórmula analítica de las variables que intervienen para alcanzar el valor máximo o mínimo.
Función objetivo lineal: La función objetivo es una expresión analítica lineal de .
Problema de programación lineal: el problema de encontrar el valor máximo o mínimo de una función objetivo lineal bajo restricciones lineales.
Solución factible: solución que satisface restricciones lineales.
Región factible: conjunto de todas las soluciones factibles.
Solución óptima: solución factible que permite a la función objetivo obtener el valor máximo o mínimo.
41. Supongamos que y son dos números positivos, entonces se llama media aritmética de los números positivos y, y se llama media geométrica de los números positivos.
42. Teorema de desigualdad media: Si, entonces, eso es.
43. Desigualdades básicas de uso común: ①; ②;
44. Teorema del valor extremo: Supongamos que y son ambos números positivos, entonces:
(1) Si (la suma es un valor constante), entonces el producto obtendrá el valor máximo. En ese tiempo. ⑵ Si (el producto es un valor constante), entonces, en ese momento, la suma obtendrá el valor mínimo.
Pregunta de ejemplo: Teniendo en cuenta eso, encuentra el valor máximo de la función.
Solución: ∵, ∴
La fórmula original se puede transformar en:
Cuando, se obtiene inmediatamente el signo "="
También es decir, hubo
um en ese momento. . . No hay imágenes en el texto pegado, así que olvídalo y simplemente toma una captura de pantalla -_-|||