Puedes consultar las entradas "Topología" o "Topología" de la enciclopedia. Los ejemplos que cité a continuación no requieren mucha explicación y se pueden encontrar directamente.
Por ejemplo, el problema de los siete puentes de Euler es un problema topológico, porque si los siete puentes están conectados en un camino, no importa cómo los puentes y las carreteras cambien continuamente, no afectará el resultado del problema. En otras palabras, el estudio de este problema es una propiedad invariante bajo transformación continua.
Para otro ejemplo, el teorema de los cuatro colores (el mapa se puede colorear en cuatro colores) es un problema topológico, porque el tamaño y la forma específica del área en el mapa no son importantes en el problema. pueden cambiar continuamente sin cambiar la naturaleza de los mapas que se pueden colorear con cuatro colores.
Entonces, desde un punto de vista topológico, no hay diferencia en las propiedades de los círculos y triángulos, y no hay diferencia en las propiedades de los neumáticos y los anillos, porque ambos se pueden obtener mediante transformación continua.
Por otro lado, estudiar la geometría de un área gráfica no es topología, porque el área puede cambiar bajo transformación continua. Del mismo modo, el tamaño, paralelismo, simetría, perpendicularidad, etc. de un gráfico no son áreas de investigación de la topología.
Se puede ver que la naturaleza de la investigación topológica tiene requisitos muy bajos para los gráficos (un cierto grado de deformación no importa), por lo que tiene una amplia gama de aplicaciones y se ha convertido en una de las bases de matemáticas modernas. Tanto es así que los conocimientos de topología se pueden aplicar en muchos lugares que parecen tener poco que ver con la geometría. Por ejemplo, la terminología y los métodos de la topología de conjuntos de puntos se utilizan ampliamente en el análisis.
Debido a los diferentes campos y métodos de investigación, la topología tiene algunas ramas. Por ejemplo, la topología general, también llamada topología de conjuntos de puntos, estudia las propiedades topológicas de un conjunto de "puntos" abstractos (que pueden ser geométricos o no). La topología algebraica utiliza métodos algebraicos para estudiar propiedades topológicas, como la teoría de la homotopía y la homología; ; Topología diferencial, que utiliza medios analíticos (principalmente diferenciales) para estudiar propiedades topológicas; Topología geométrica, que estudia cosas con significado geométrico obvio (que se convierten en variedades), como nudos.
Nota: La descripción anterior es solo una introducción y el lenguaje no es matemáticamente riguroso. En la investigación de topología real, es necesario definir estrictamente conceptos como continuidad, transformación y puntos.