Aplicación de los vectores espaciales en geometría sólida (1)

Los vectores ocupan una posición importante en la geometría sólida y juegan un papel muy importante. Su aplicación rompe el método de solución tradicional de geometría sólida, puede reducir una gran cantidad de procesos auxiliares de dibujo, análisis gráfico e imaginación, y puede utilizar directamente operaciones algebraicas para resolver problemas de cálculo y prueba en geometría sólida. En los últimos años, ha aparecido casi todos los años en el examen de ingreso a la universidad. Sus tipos de preguntas aparecen principalmente en forma de preguntas grandes y, a veces, también se utilizan en preguntas de opción múltiple o preguntas para completar.

Escenario de uso: demostrar la verticalidad en geometría sólida

Pasos para resolver el problema:

El primer paso es establecer coordenadas espaciales rectangulares apropiadas basadas en condiciones conocidas del sistema. , marque las coordenadas espaciales de los puntos correspondientes;

El segundo paso es convertir las condiciones conocidas en un problema de vector espacial y resolverlo. [Fuente: Learning Subject Network]

El tercer paso es sacar una conclusión.

Ejemplo 1, en un prisma triangular rectángulo, los puntos medios de la base, lado y son respectivamente.

Verificación:

Prueba: Con el origen como eje, y con los ejes , y , y la dirección positiva como ejes respectivamente, se establece un sistema de coordenadas espacial rectangular.

Según el significado de la pregunta,,,,

,

Ejemplo 2. Como se muestra en la figura, tanto el plano como el cuadrilátero son cuadrados y es el punto medio de .

(1) Establezca un sistema de coordenadas espaciales adecuado y escriba las coordenadas del punto;

(2) Encuentre un punto en el plano para hacer un plano.

Respuesta

(1) Las coordenadas del punto son

(2) El plano satisface cuando es el punto medio de .

Análisis

(1) Como se muestra en la figura

Establezca un sistema de coordenadas espacial rectangular con las líneas rectas de , y como ejes, ejes, y ejes respectivamente,

Luego,,, establecer, luego,

, ,,

,

Resolver,

Entonces este punto Las coordenadas son.

(2) Almohadilla plana, configurable

Luego, nuevamente,

plano, y

es decir,

Las coordenadas del punto son, es decir, cuando el punto es el punto medio de , el plano satisface.

Escenario de uso: demostrar paralelismo en geometría sólida

Pasos para resolver el problema:

El primer paso es establecer coordenadas espaciales rectangulares apropiadas basadas en condiciones conocidas del sistema. , marque las coordenadas espaciales de los puntos correspondientes;

El segundo paso es convertir las condiciones conocidas en un problema de vector espacial y resolverlo.

El tercer paso es sacar conclusiones.

Por ejemplo, en la figura, se sabe que el plano del rectángulo perpendicular al plano del trapecio rectángulo está en una recta, y, y. Establezca este punto como el punto medio del lado, verifique: plano (igual que el ejemplo de la pregunta de investigación)

Demuestre:

A partir de lo conocido, plano, plano y luego avión.

Entonces, cada dos es vertical.

Por lo tanto, con el origen, y como ejes, el eje y la dirección positiva respectivamente, se establece un sistema de coordenadas espacial rectangular como se muestra en la figura.

Entonces,,,,,

Por lo tanto

Es fácil saber que el vector normal del plano es igual a,

Por lo tanto

Youping Aircraft

So Aircraft

Resumen

La clave para usar el sistema de coordenadas rectangulares espaciales para resolver el ángulo espacial es para establecer el sistema de coordenadas rectangulares del espacio. Establecer el sistema de coordenadas rectangulares del espacio Las formas principales son:

(1) En términos generales, si la geometría espacial conocida contiene tres líneas rectas que son perpendiculares entre sí y se cruzan. en un punto, entonces se establece un sistema de coordenadas espacial rectangular utilizando estas tres líneas rectas como ejes de coordenadas.

(2) Si no existen estas tres líneas rectas, intente encontrar dos líneas rectas que se crucen perpendicularmente; y utilícelos como los dos ejes de coordenadas para establecer un sistema de coordenadas espacial rectangular. Es decir, al establecer el sistema de coordenadas, utilice las líneas rectas que se cruzan perpendicularmente como punto de partida básico;

(3) El. La idea básica de construir un sistema es encontrar la relación vertical entre líneas. Cuando no existe una relación vertical ya preparada, la relación vertical debe obtenerse mediante otras condiciones conocidas.