Para obtener información sobre el posicionamiento temporal, se puede utilizar una función de ventana con un ancho apropiado para interceptar una sección de la señal para el análisis de Fourier, de modo que el espectro local de la señal durante este período de tiempo se puede obtener. Si la función de ventana se mueve continuamente a lo largo del eje del tiempo, el espectro de la señal se puede analizar segmento por segmento. Ésta es la idea básica de la Transformada de Fourier en Ventana (WFT) propuesta por D. Gabor en 1946, o Transformada de Fourier de Tiempo Corto (STFT).
La transformada de Fourier de corto tiempo de la señal analógica f(t)∈L2(R) con w(t) como función de ventana se define como
Conceptos básicos del procesamiento de información geofísica
En la fórmula, para ser coherente con los símbolos utilizados en el análisis de wavelets, i se utiliza para representar la unidad imaginaria en este capítulo y el siguiente; ω y b representan el desplazamiento de frecuencia y tiempo respectivamente; w (t) es una función real y el subíndice w indica que la WFT de la misma señal para diferentes funciones de ventana es diferente. Para un determinado valor b, WFT proporciona la información espectral de la señal dentro del rango de tiempo local [b-0,5Dt, b+0,5Dt], donde Dt es el ancho efectivo de w(t).
Sea
wω, b(t)=w(t-b)eiωt (6-4)
Entonces, la fórmula (6-3) se puede escribir as
Conceptos básicos del procesamiento de información geofísica
Es decir, la transformada de Fourier de ventana de la señal f(t) con respecto a la función de ventana w(t) es igual al producto interno de la señal y wω, b(t).
Supongamos que las transformadas de Fourier de w(t), wω, b(t) están representadas por W (η), Wω, b(η) respectivamente, entonces las dos tienen la siguiente relación
Conceptos básicos del procesamiento de información geofísica
Como se muestra en la Figura 6-1, para la WFT de f (t) = sin (πt2), elegimos la función de ventana de Hamming (Hamming) como w (t ). Cuando las ventanas de tiempo son w(t-2), w(t-3.5) y w(t-5) respectivamente, f(t)w(t-2), f(t)w(t-3.5) y f (t) w (t-5) todos tienen rendimiento de localización en el dominio del tiempo. En este momento, la energía de (WFTwf) (ω, 2), (WFTwf) (ω, 3.5) y (WFTwf) (ω, 5) se concentran en [10,30], [20,40] y [35,55].