Hay muchas propiedades de triángulos semejantes, y aquí sólo podemos enumerar algunas de ellas. En primer lugar, los triángulos semejantes pertenecen a figuras semejantes. Tienen las propiedades básicas de las figuras semejantes, es decir, los ángulos correspondientes son iguales y los segmentos de recta correspondientes son proporcionales. Tomando como ejemplo los dos triángulos semejantes siguientes, resumamos las propiedades de los triángulos semejantes. El siguiente análisis se basa en el conocido △ABC∽△A'B'C' (la relación de similitud es k).
En primer lugar, según la definición de triángulos semejantes, hay tres triángulos iguales. Los lados son proporcionales, es decir
∠A=∠A', ?∠B=∠B', ∠C=∠C', ?y AB/A'B'=BC/B'C '= BE/B'E'=k.
Entonces, de acuerdo con las propiedades básicas de las figuras semejantes, los triángulos semejantes también tienen la propiedad de que las proporciones de las alturas correspondientes, las líneas medias correspondientes, las bisectrices de los ángulos correspondientes, etc. . son iguales a la relación de similitud. Aquí hay dos propiedades: una es que la proporción de los segmentos de línea correspondientes por sí solas es igual a la proporción de similitud, y la otra es que los tres segmentos de línea correspondientes también son proporcionales. Por ejemplo, un grupo correspondiente a una relación alta es igual a una relación de similitud, y también hay tres grupos correspondientes a propiedades proporcionales altas. Expresado en lenguaje matemático de la siguiente manera: (Tome como ejemplo la altura correspondiente)
∵△ABC∽△A'B'C', ∴AD/A'D'=k.
Lo anterior es para deducir esta propiedad demostrando △ABD∽△A'B'D' o demostrando △ACD∽△A'C'D'.
AD/A'D'=BE/B'E'=CF/C'F'=k.
Porque la relación de altura correspondiente a cada grupo es igual a la relación de similitud, por lo que son naturalmente iguales, y esto está bien demostrado.
Además de estos segmentos de línea correspondientes, también existen relaciones como la línea mediana correspondiente, la distancia de borde a centro correspondiente y el radio, etc., que se ajustan a las reglas anteriores. Sólo en el proceso de prueba habrá algunas diferencias.
De hecho, los ángulos correspondientes de triángulos semejantes no son solo tres conjuntos de ángulos interiores, sino que también incluyen los ángulos entre los dos conjuntos de segmentos correspondientes, que también son sus ángulos correspondientes y son consistentes con la Propiedad de que los ángulos correspondientes son iguales. Por ejemplo, la distancia entre la línea central correspondiente y el lado correspondiente también es igual. Hay muchos ejemplos similares. Puedes probarlo tú mismo.
Finalmente, los triángulos semejantes también tienen la propiedad de que la razón del perímetro es igual a la razón de similitud, y la razón del área es igual al cuadrado de la razón de similitud, es decir:
(AB BC CA)/(A'B ' B'C' C'A')=k, y
S△ABC/S△A'B'C'=k^2.
Estas dos propiedades tampoco son difíciles de probar. La primera es una propiedad de proporción, y la segunda es sólo cuestión de sustituir un conjunto de lados correspondientes y las proporciones de altura correspondientes en los lados y hacer algunos cálculos.
Todas estas propiedades que se pueden comprobar, debes comprobarlas tú mismo para que puedas recordarlas con firmeza. Utilizando estas propiedades, se pueden derivar muchos teoremas de propiedades nuevos. Al aprender, no debes conformarte con los conocimientos que tienes actualmente. Debes saber ampliar y explorar más conocimientos, para que puedas progresar. Por lo tanto, Lao Huang espera que todos puedan aportar más suplementos a Lao Huang a través de la expansión.