Louis de Broglie creía que no sólo los fotones obedecen a esta relación, sino que todas las partículas la obedecen. Su hipótesis adicional de De Broglie en 1924 demostró que cada partícula microscópica tiene propiedades de fluctuación y de partícula, lo que es la llamada dualidad onda-partícula. Los electrones también tienen esta propiedad. Los electrones son un tipo de onda de materia, llamada "ondas de electrones". La energía y el momento del electrón determinan, respectivamente, la frecuencia y el número de onda de las ondas materiales que lo acompañan. En un átomo, los electrones unidos forman ondas estacionarias; esto significa que la frecuencia de su rotación sólo puede adoptar unos pocos valores discretos. Estos orbitales cuantificados corresponden a niveles de energía discretos. A partir de estas ideas, de Broglie replicó los niveles de energía del modelo de Bohr.
En 1925, se celebraba un simposio de física cada dos semanas en Zurich, Suiza. Una vez, el organizador Peter Debye invitó a Schrödinger a hablar sobre su tesis doctoral sobre la dualidad onda-partícula de De Broglie. Durante ese tiempo, Schrödinger estudiaba la teoría de los gases. Entró en contacto con la tesis doctoral de De Broglie leyendo la discusión de Einstein sobre las estadísticas de Bose-Einstein, y tiene un profundo conocimiento a este respecto. En el seminario, explicó vívidamente la dualidad onda-partícula y todos escucharon con interés. Debye señaló que, dado que las partículas tienen forma de ondas, debería haber una ecuación de onda que pueda describir correctamente esta propiedad cuántica. Su sugerencia dio a Schrödinger una gran inspiración y aliento, y comenzó a buscar esta ecuación de onda. La forma más sencilla y básica de probar esta ecuación es utilizarla para describir el comportamiento físico de los electrones unidos en átomos de hidrógeno, lo que sin duda reproducirá los resultados teóricos del modelo de Bohr. Además, esta ecuación debe tener en cuenta la estructura fina dada por el modelo de Sommerfeld.
Pronto, Schrödinger derivó la ecuación de onda relativista a través de la teoría de la relatividad en el artículo de De Broglie. Aplicó esta ecuación a los átomos de hidrógeno y calculó las funciones de onda de los electrones ligados. Debido a que Schrödinger no consideró el espín del electrón, la fórmula de estructura fina derivada de esta ecuación no se ajusta al modelo de Sommerfeld. Tuvo que modificar esta ecuación, eliminar la parte relativista y utilizar las ecuaciones no relativistas restantes para calcular las líneas espectrales de los átomos de hidrógeno. Analizar esta ecuación diferencial es muy difícil. Con la ayuda de su amigo el matemático Herman Weyl, replicó exactamente la misma respuesta que el modelo de Bohr. Por lo tanto, decidió no publicar la parte relativista por el momento y solo escribió un artículo sobre la ecuación de onda no relativista y los resultados del análisis espectral de los átomos de hidrógeno. En 1926 publicó oficialmente este artículo.
Este artículo rápidamente causó conmoción en la comunidad académica cuántica. Planck dijo: "Leyó el artículo completo, como un niño que ha estado desconcertado por un acertijo durante mucho tiempo y está ansioso por saber la respuesta. Ahora finalmente escuchó la respuesta, Einstein elogió que el libro se haya inspirado en un". real El genio es como agua de manantial. Einstein consideró que Schrödinger había hecho una contribución decisiva. Debido a que la mecánica ondulatoria fundada por Schrödinger implica conceptos ondulatorios y matemáticas familiares, en lugar del álgebra matricial abstracta y desconocida de la mecánica matricial, los estudiosos cuánticos están dispuestos a comenzar a aprender y aplicar la mecánica ondulatoria. Georg Uhlenbeck, el descubridor del espín, exclamó: "¡La ecuación de Schrödinger nos ha aportado un gran alivio!". Wolfgang Pauli consideró que este artículo debería considerarse uno de los trabajos más importantes.
La ecuación de Schrödinger dada por Schrödinger puede describir correctamente el comportamiento cuántico de la función de onda. En aquella época, los físicos no sabían cómo interpretar la función de onda. Schrödinger intentó, sin éxito, explicar el cuadrado absoluto de la función de onda en términos de densidad de carga. En 1926, Born propuso el concepto de amplitud de probabilidad y explicó con éxito el significado físico de la función de onda.
Pero Schrödinger y Einstein eran de la misma opinión y no suscribían este enfoque estadístico o probabilístico y el consiguiente colapso de la función de onda discontinua. Einstein consideraba que la mecánica cuántica era una aproximación estadística de una teoría determinista. En el último año de vida de Schrödinger, en una carta a Born, dejó claro que no aceptaba la interpretación de Copenhague.