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Una serie de resultados de Euler sentaron las bases de la teoría de números como una rama independiente de las matemáticas. Gran parte del trabajo de Euler se ocupa de la teoría de la divisibilidad por números idénticos. El descubrimiento más importante de Euler en teoría de números fue la ley de la inversa cuadrática.
2. Álgebra
La "Introducción al Álgebra" de Euler es un resumen sistemático del álgebra que comenzó a desarrollarse a mediados del siglo XVI.
3. Serie Infinita
La "Introducción al Cálculo" de Euler fue (1755) el primer tratado sobre cálculo en diferencias finitas. Fue el primero en introducir el cálculo en diferencias Hijo del hombre. Si bien Euler hizo un uso extensivo de las series de potencias, también introdujo una clase nueva y extremadamente importante de series trigonométricas de Fourier. En 1777, Euler derivó la fórmula del coeficiente de Fourier para expandir una función dada en una serie de cosenos en el intervalo (0, "180". Euler también introdujo la expansión de la función en productos infinitos y descubrió la suma de fracciones elementales. Jugó un Papel importante en la posterior Teoría general de funciones analíticas. Propuso una definición nueva y más amplia del concepto de suma en serie. También propuso dos métodos de suma. Estas ricas ideas divergieron desde finales del siglo XIX hasta principios del XX. La teoría de series ha tenido un profundo impacto, a saber, la teoría de series asintóticas y el concepto de sumabilidad.
Concepto funcional
A mediados del siglo XVIII, surgió el campo del análisis. Los nuevos descubrimientos, muchos de los cuales fueron obra del propio Euler, se resumieron sistemáticamente en la trilogía analítica de Euler, que incluye "Introducción al análisis infinito", "Principios diferenciales" y "Principios integrales". Es una obra de cuatro estilos y un hito en el desarrollo. de la ciencia analítica.
5. Funciones elementales
"Introducción al análisis infinito" Volumen 1 ***18, estudia principalmente la teoría de funciones elementales. funciones circulares, explica por primera vez la teoría analítica de las funciones trigonométricas y da una derivación de la fórmula de Demoville. Euler estudió funciones exponenciales y funciones logarítmicas en "Introducción al análisis infinito". se usa en la expresión; después de 1777, Euler se usó para representar la unidad imaginaria), pero en 1751 solo se consideró la función logarítmica de la variable independiente positiva. , Euler publicó una teoría completa de números complejos. >6. Funciones complejas simples
D'Alembert y Euler desarrollaron sucesivamente la teoría entre 1747 y 1 a través de sus investigaciones sobre funciones elementales. Los dos también hicieron avances iniciales en la teoría general de las funciones analíticas. /p>
7. Stone<. /p>
Los dos libros de Euler "Principios de cálculo diferencial" y "Principios de cálculo integral" dieron la explicación más detallada y sistemática del método de cálculo en ese momento. la teoría del análisis infinitesimal con sus múltiples descubrimientos.
8. Ecuaciones diferenciales
El principio integral también muestra muchos de los descubrimientos de Euler en la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales. ecuaciones diferenciales. En el proceso de resolución de problemas de mecánica y física, creó la disciplina de las ecuaciones diferenciales.
En términos de ecuaciones diferenciales ordinarias, Euler utilizó el método de sustitución para dar coeficientes constantes de cualquier orden. artículo publicado en 1743. La solución clásica de ecuaciones lineales homogéneas, en la que se introdujeron por primera vez los términos "solución general" y "solución particular". En 1753, publicó una solución para ecuaciones lineales no homogéneas con coeficientes constantes, que es. reducir gradualmente el orden de la ecuación. p>
Euler comenzó a estudiar ecuaciones diferenciales parciales en la década de 1930. Su trabajo más importante en este campo fue el método variacional.
1734 Generalizó el problema de la línea descendente más pronunciada. Luego, se propuso encontrar un método más general para este problema. En 1744, se publicó el libro de Euler "Métodos para encontrar curvas con ciertas propiedades máximas o mínimas". .
Este es un hito en la historia de la ciencia variacional, que marca el nacimiento del método variacional como un nuevo método de análisis matemático.
10. Geometría
En la geometría de coordenadas, la principal aportación de Euler fue la primera aplicación de los ángulos de Euler a las transformaciones correspondientes, y el estudio en profundidad de las ecuaciones generales de superficies cuadráticas.
En geometría diferencial, Euler introdujo por primera vez el concepto de coordenadas intrínsecas de curvas planas en 1736, es decir, utilizando la cantidad geométrica de la longitud del arco de la curva como las coordenadas de los puntos de la curva, y Así comenzó el concepto de coordenadas intrínsecas de las curvas. El estudio de la geometría. En 1760, Euler estableció la teoría de las superficies curvas en el "Estudio de curvas en superficies". Este libro es la contribución más importante de Euler a la geometría diferencial y un hito en la historia de la geometría diferencial.
La investigación de Euler sobre topología también es de primer nivel. En 1735, Euler utilizó una representación simplificada (o idealizada) para resolver el famoso problema del juego de los siete puentes de Koenigsberg y obtuvo las reglas de decisión para el diagrama topológico río-puente, que es el teorema de Euler en la teoría de redes actual.
11. Mecánica
Euler aplicó métodos de análisis matemático a la mecánica e hizo destacadas contribuciones en diversos campos de la mecánica. Es el fundador de la dinámica de cuerpos rígidos y la mecánica de fluidos, y el pionero de la teoría fijada de los sistemas elásticos. En los dos volúmenes "Análisis e interpretación de la mecánica o la ciencia del movimiento", publicado en 1736, consideró las ecuaciones diferenciales del movimiento de partículas libres y restringidas y sus soluciones. En su libro, Euler explicó la mecánica como la "ciencia del movimiento" y excluyó la "ciencia del equilibrio", es decir, la estática. En lo que respecta a los principios mecánicos, Euler favoreció el principio de mínima acción de Maboti. En el estudio de la cinemática y dinámica de cuerpos rígidos obtuvo los resultados más básicos, entre ellos: la rotación finita de un punto fijo de un cuerpo rígido equivale a la rotación del punto fijo alrededor de un eje, y el movimiento de un punto fijo de un cuerpo rígido se puede determinar utilizando tres ángulos (llamados ángulos de Euler) para describir el cambio del cuerpo rígido la relación entre el cambio de velocidad angular y el momento externo cuando el cuerpo rígido gira en un punto fijo; del cuerpo rígido de punto fijo sin par externo (llamado caso de Euler del movimiento de punto fijo, L. Panso dio una explicación geométrica en 1834) y la ecuación diferencial de movimiento del cuerpo rígido libre. Estos resultados se incluyen en su monografía "Sobre el movimiento de cuerpos rígidos" (1765). Euler creía que las ecuaciones diferenciales de la dinámica de partículas podían aplicarse a los líquidos (1750). Utilizó dos métodos para describir el movimiento de un fluido: describir el campo de velocidad del fluido basándose en puntos fijos en el espacio (1755) y partículas de fluido determinadas (1759). Estos dos métodos suelen denominarse representación de Euler y representación lagrangiana. Euler sentó las bases teóricas para el movimiento de fluidos ideales (asumiendo que el fluido es incompresible y su viscosidad puede ignorarse), y dio la ecuación de continuidad que refleja la conservación del halo de masa (1752) y la ecuación de dinámica de fluidos que refleja la ley del cambio de impulso (1755). Euler estudió las vibraciones de sistemas elásticos como cuerdas y varillas. Junto con Daniel I. Bernoulli, analizó las vibraciones de una cadena pesada suspendida de su extremo superior y las correspondientes vibraciones de un modelo discreto (una cadena de líneas de masa suspendidas de ella). Con la ayuda de Daniel I. Bernoulli, obtuvo una solución precisa a la curva elástica de una varilla delgada sometida a compresión elástica. La presión mínima que puede causar esta deflexión de una varilla delgada se llama carga crítica de Euler de la varilla delgada. Euler también estudió mecánica aplicada como balística, teoría de barcos y teoría del movimiento lunar. La vida de Euler fue una vida de lucha por el desarrollo de las matemáticas. Su extraordinaria sabiduría, su tenaz perseverancia, su incansable espíritu de lucha y su noble ética científica son siempre dignos de nuestro aprendizaje. Euler también creó muchos símbolos matemáticos, como π (1736), i (1777) y e (1748). Tg(1753), Δx(1755), σ (1755), f(x)(1734), etc.
Junto con Daniel Bernoulli, Euler estableció la ley de los momentos de los cuerpos elásticos: el momento que actúa sobre una varilla delgada elástica es función de la elasticidad de la sustancia y del momento de inercia a través del eje central de masa y la sección transversal perpendicular a ellos Directamente proporcional.
También estableció la ecuación de Euler en mecánica de fluidos directamente a partir de las leyes del movimiento de Newton. Estas ecuaciones son formalmente equivalentes a las ecuaciones de Navier-Stokes con viscosidad cero. El principal interés de estas ecuaciones radica en su uso en el estudio de ondas de choque.
Hizo importantes aportaciones a la teoría de las ecuaciones diferenciales. También es el creador de la aproximación de Euler utilizada en mecánica computacional. El más famoso de ellos se llama método de Euler.
En teoría de números, introdujo la función de Euler.
La función de Euler de los números naturales se define como el número de números naturales que son menores que y primos relativos. Por ejemplo, φ(8)=4, porque hay cuatro números naturales, 1, 3, 5 y 7, 8, que son números primos entre sí.
El algoritmo criptográfico de clave pública RSA ampliamente utilizado en el campo informático también se basa en la función de Euler.
En el campo del análisis, Euler sintetizó los diferenciales de Leibniz y los números de flujo de Newton.
Se hizo famoso en 1735 por resolver el antiguo problema de Bessel.
Euler definió la potencia de los números imaginarios como la fórmula de Euler, que pasa a ser el centro de la función exponencial.
En análisis elemental, es esencialmente una variante de una función exponencial o un polinomio, y debe ser uno de los dos. Lo que Richard Feynman llamó "la fórmula matemática más brillante" es un simple corolario de la fórmula de Euler (a menudo llamada identidad de Euler).
En 1735 definió la constante de Euler-Macheroni, que es muy útil en ecuaciones diferenciales. Fue uno de los descubridores de la fórmula de Euler-Macheroni, que es muy eficaz para calcular integrales, sumas y series difíciles.
En 1739, Euler escribió "Tentamennovaetheoriaemusicae" en un intento de combinar matemáticas y música. Un biógrafo escribió: Este es un libro para músicos que dominan las matemáticas y matemáticos que dominan la música.
En economía, Euler demostró que si cada factor de un producto se utiliza para pagar su propio producto marginal, entonces, con rendimientos constantes a escala, el ingreso total y la producción total se agotará por completo.
En topología geométrica y algebraica, la fórmula de Euler da la relación entre aristas, vértices y - (zh-hans: cara; Zh-hant: cara) y cara.
En 1736, Euler resolvió el problema de los siete puentes de Königsberg y publicó el artículo "Solución del problema de geometría de posición", que profundizaba en el problema de un trazo y fue el primer modelo en aplicar la teoría de grafos y topología.
El sudoku es un concepto de cubo latino inventado por Euler. No fue popular en ese momento y no fue forjado por los oficinistas japoneses comunes hasta el siglo XX.