Si A B es invertible, entonces sea su inversa la matriz C y E la matriz identidad Resuelva:
(A B)C=E
C. (A B )=E
Eso es
(A B)B^(-1)[A^(-1) B^(-1)]^(-1)A ^( -1)
=[AB^(-1) E]{A[A^(-1) B^(-1)]}^(-1)
= [E AB^(-1)][E AB^(-1)]]^(-1)
=E
B^(-1)[A ^( -1) B^(-1)]^(-1)A^(-1)(A B)
={[A^(-1) B^(-1)]B }^ (-1)[E A^(-1)B]
=[A^(-1)B E]^(-1)[A^(-1)B E]
=E
Entonces (A B)^(-1)=B^(-1)[A^(-1) B^(-1)]^(-1)A^( -1 )
Supongamos que A es una matriz de orden n en el campo numérico. Si hay otra matriz B de orden n en el mismo campo numérico, tal que:?AB=BA=E, entonces tenemos. digamos que B es la matriz inversa de A, y A se llama matriz invertible. Nota: E es la matriz identidad.
Información ampliada:
Si la matriz cuadrada de orden n A es invertible, es decir, las filas de A son equivalentes a I, es decir, existen matrices elementales P1, P2 ,..., Pk tal que?, donde Multiplica ambos extremos de la fórmula del lado derecho por A-1 al mismo tiempo para obtener:?
Comparando las dos fórmulas, podemos ver que el Se realizan las mismas transformaciones de filas elementales en A e I, y estos cambios de filas elementales convierten A en la matriz unitaria. Al mismo tiempo, estas transformaciones de filas elementales también transforman la matriz identidad en A-1.
Si las matrices A y B son inversas entre sí, entonces AB=BA=I. A partir de la condición AB=BA y la definición de multiplicación de matrices, sabemos que las matrices A y B son ambas matrices cuadradas. De la condición AB=I y del teorema "el determinante del producto de dos matrices es igual al producto de los determinantes de estas dos matrices", se puede ver que los determinantes de estas dos matrices no son 0.
En otras palabras, los rangos de estas dos matrices son iguales a sus series (u órdenes, es decir, A y B son ambas matrices cuadradas, y rango(A) = rango(B) =n) . En otras palabras, estas dos matrices se pueden transformar en matrices identidad únicamente mediante transformaciones elementales de filas o únicamente transformaciones elementales de columnas.
Referencia: Enciclopedia Baidu---Matriz inversa