El número de números primos
Hay infinitos números primos. El método de prueba más antiguo conocido para esta afirmación fue propuesto por Euclides en sus Elementos de geometría. Su método de prueba se puede resumir simplemente de la siguiente manera:
Tome un número limitado de números primos. Como queremos crear variables independientes, asumimos que todos los números primos existen. El número obtenido es No es divisible por ninguno de estos números primos porque no importa en cuál se divida siempre quedará un resto de 1. Por lo tanto, este número es un número primo en sí mismo o hay un divisor que no está en este conjunto finito. Por tanto, el conjunto con el que empezamos no contiene todos los números primos.
Otros matemáticos también han dado sus propias pruebas. Euler demostró que la suma de los recíprocos de todos los números primos diverge hasta el infinito. La prueba de Ernst Kummer fue particularmente concisa y Furstenberg la demostró utilizando topología general.
Aunque todo el número primo es infinito, algunas personas todavía preguntan "¿Cuántos números primos hay por debajo de 100.000?", "¿Qué probabilidad hay de que un número aleatorio de 100 dígitos sea un número primo?". El teorema de los números primos responde a esta pregunta.
[editar] Encontrar números primos
El tamiz de Eratóstenes es una buena manera de encontrar la disposición de los números primos dentro de un límite dado. Sin embargo, en la práctica, a menudo queremos saber si un número dado es un número primo, en lugar de generar una permutación de números primos. Además, sabiendo que es muy probable que la respuesta sea satisfactoria, es posible comprobar rápidamente si un número determinado (por ejemplo, de varios miles de dígitos) es primo utilizando la prueba de primalidad. El enfoque típico es elegir un número al azar y luego verificar algunas ecuaciones en torno a ese número y los posibles primos N. Después de repetir este proceso varias veces, declara que el número es claramente compuesto o posiblemente primo. Este método es imperfecto: para algunas pruebas, como la prueba de Fermat, es posible juzgar algunos números compuestos como posibles números primos sin importar cuántos números aleatorios se seleccionen, lo que conduce a otro tipo de números, los números pseudoprimos. Por ejemplo, al igual que la prueba de Miller-Rabin, aunque se seleccionan suficientes números para probar la ecuación, se puede garantizar que la propiedad del número primo probada sea correcta. Sin embargo, el número de umbrales de garantía es demasiado grande, incluso mayor que el requerido para la prueba. División Muchos, si lo ejecutas en un tiempo limitado, solo puedes saber que la probabilidad de que la respuesta sea correcta es muy alta, pero no hay garantía de que sea correcta.
El número primo más grande conocido actualmente es 232582657 ?1 (la longitud de este número es 9.808.358 fue descubierto por GIMPS el 4 de septiembre de 2006). Esta organización también descubrió el segundo número primo más grande conocido hasta el momento, 230402457 ?1 (la longitud de este número es 9.152.052) el 15 de diciembre de 2005.
Los matemáticos han estado trabajando duro para encontrar fórmulas para generar números primos, pero hasta ahora, no existe ninguna función o polinomio básico que pueda generar correctamente todos los números primos. Hay muchos ejemplos de experimentos en la historia: en una de sus obras de principios del siglo XVII, el matemático francés Mersenne analizó un número primo que ahora llamamos primo de Mersenne, Mp=2p - 1. Originalmente se pensaba que mientras como p es un número primo, n = 2p - 1 será un número primo. Esto es correcto cuando p = 3, p = 5, p = 7, pero cuando p = 11}- no es un número primo.