Fermat no recibió ninguna educación matemática especializada en su vida, y la investigación matemática era sólo un hobby. Sin embargo, en la Francia del siglo XVII ningún matemático pudo igualarlo: fue uno de los inventores de la geometría analítica, su contribución al nacimiento del cálculo fue superada sólo por Newton, Leibniz, el principal fundador de la teoría de la probabilidad, el hombre que la heredó; El mundo de la teoría de números en el siglo XVII. Además, Fermat también hizo importantes contribuciones a la física. El maestro de las matemáticas Fermat fue el mayor matemático francés del siglo XVII. En particular, su último teorema de Fermat ha desconcertado a los sabios del mundo durante 358 años.
Ejemplo: Hay tres aldeas A, B y C. Es necesario construir una estación de suministro de agua en el medio para llevar agua a los tres lugares. Ahora, ¿necesita ubicar la estación de suministro de agua para minimizar la longitud total de tubería requerida? Este problema se abstrae mediante un modelo matemático de la siguiente manera:
Determine un punto P en △ ABC de modo que se minimice la suma de las distancias de P a tres vértices PA+PB+PC.
El método de solución es el siguiente: tomar AB y AC como lados respectivamente, hacer un triángulo equilátero ABD, ACE conecta CD y BE en un punto, entonces este punto es el punto requerido.
Prueba: Discute en las siguientes tres situaciones:
(1) Cuando ∠ BAC <120, como se muestra en la siguiente figura. Conecte PA, PB y PC, en △ABE y △ACD, ab = adae = AC∠BAE =∠BAC+60∠DAC =∠BAC+60 =∠BAE∴△Abe congruente △ACD.
∴ ∠ABE=∠ADC, entonces a, d, b, p son cuatro * * * círculos.
∴∠APB=120, ∠APD=∠ABD=60
De manera similar: ∠ APC = ∠ BPC = 120.
Construye un círculo con p como centro y PA como radio. PD está en el punto f, conectado a AF. Al girar ΔABP 60° en el sentido de las agujas del reloj con A como eje, se obtiene ∠ APD = 60.
∴△APF es un triángulo equilátero. ∴No es difícil encontrar que cuando ∠ BAC = 120 ABP coincide con △ADF.
∴BP=DF PA+PB+PC=PF+DF+PC=CD
Además, tome cualquier punto G en △ABC que sea diferente de P, con B como El eje conecta GA, GB, GC, GD.
Gire △ABG 60° en sentido antihorario y registre la rotación del punto g al punto m.
Entonces △ABG coincide con △BDM, y m está en el segmento de línea DG o fuera de la DG.
g b+ GA = GM+MD≥GDGA+g b+ GC≥GD+GC & gt;DC.
Entonces CD es el segmento de recta más corto.
(2) Cuando ∠ BAC = 120, se puede ver en la práctica anterior que el punto buscado es el punto a.
(3) Cuando ∠ BAC >; Si según el método en (1), el punto P estará fuera de △ABC, por lo que PA+PB+PC vuelve a ser más grande. Por tanto, en este caso, el punto A es el punto que se ajusta al sentido de la pregunta.
Lo anterior es un problema simple de puntos de Fermat. Extrapolando este problema a cuatro puntos, podemos comprobar que la intersección de las diagonales del cuadrilátero es el punto que buscamos.
Punto Fermat
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Definición del punto Fermat
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En un polígono, el punto con la suma más pequeña de distancias a cada vértice se llama punto de Fermat del polígono.
En triángulos planos:
(1). Tres triángulos con ángulos interiores menores a 120, con AB, BC, CA como lados, forman un triángulo equilátero ABC 1, ACB fuera del. triángulo 1. BCA 1, luego conecte AA 1, BB 65438.
(2) Si el ángulo interior del triángulo es mayor o igual a 120 grados, entonces el vértice de este ángulo obtuso es la demanda.
(3) Cuando △ABC es un triángulo equilátero, el centro exterior coincide con el punto de Fermat.
(1) En un triángulo equilátero, BP=PC=PA, BP, PC y PA son las alturas de los tres lados del triángulo y las bisectrices del triángulo respectivamente. es el centro del círculo inscrito y del círculo circunscrito. △BPC≔△CPA≔△PBA .
(2) Cuando BC=BA pero CA≠AB, BP es la altura y la línea media del triángulo CA y la bisectriz del ángulo del triángulo.
Certificado
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(1) El ángulo entre el punto Fermat y el lado opuesto es de 120 grados.
△CC1B y △AA1B, BC = ba1, Ba = bc1, ∠ CBC1 = ∠ b+60 grados = ∠ABA1,
△CC1B y △AA1B son triángulos congruentes, Obtener ∠PCB=∠PA1B.
De manera similar, podemos obtener ∠CBP=∠CA1P.
De ∠PA1B+∠CA1P=60 grados, ∠PCB+∠CBP=60 grados, entonces ∠CPB=120 grados.
De manera similar, ∠APB=120 grados, ∠APC=120 grados.
(2)PA+PB+PC=AA1
Gira △BPC 60 grados alrededor del punto B para que coincida con △BDA1, y conecta PD, entonces △PDB es un triángulo equilátero, entonces ∠BPD=60 grados.
Y ∠BPA=120 grados, entonces A, P y D están en la misma línea recta.
Y ∠CPB=∠A1DB=120 grados, ∠PDB=60 grados, ∠PDA1=180 grados, entonces A, P, D, A1 son cuatro.
(3)PA+PB+PC es el más corto.
Tome cualquier punto M en △ABC (no coincidente con el punto P), conecte AM, BM y CM, gire △BMC 60 grados alrededor del punto B para que coincida con △BGA1, conecte AM, GM, A1G (Igual que arriba), entonces AA1
Punto de Fermat del cuadrilátero plano
La demostración del punto de Fermat en el cuadrilátero plano es más simple y fácil de aprender que en el triángulo.
(1) En el cuadrilátero convexo ABCD, el punto de Fermat es la intersección p de las dos diagonales AC y BD.
(2) En el cuadrilátero cóncavo ABCD, el punto de Fermat es el vértice cóncavo D(P).