1 Complete los espacios en blanco (1 punto por cada pregunta, ***10 puntos)
________ 1
1. = arcosen √ El dominio de 1-x2+—————— es
_________
√1- x2
_______________.
2. La ecuación tangente en el punto (0, 1) de la función y = x+ex es _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.
f(Xo+2h)-f(Xo-3h)
3. Supongamos que f(X) es diferenciable en Xo, f' (XO) = A, entonces lim — ————————————————————.
h→o h
= _____________.
4. Supongamos que la curva pasa por (0, 1) y la pendiente tangente de cualquier punto (x, y) en ella es 2X, entonces la ecuación de la curva es
>____________.
x
5.∫————dx = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
1-x4
1
6.lim Xsin————=________ .
x→∞ = sin (xy), entonces fx(x,y) = _ _ _ _ _ _ _ _ _.
_______
R √R2-x2
8. La integral iterativa ∫ dx ∫ f (x2+y2) dy se transforma en la integral iterativa en polar. coordenadas, como se muestra a continuación
____________.
0 0
d3y 3 d2y
9. La ecuación diferencial -+-(-) 2 tiene orden _ _ _ _ _ _ _ _ _.
dx3 x dx2
∞ ∞
10. Supongamos que ∑ una serie diverge, entonces ∑ una serie_ _ _ _ _ _ _.
n=1 n=1000
2. Preguntas de opción múltiple (elija una respuesta correcta de las cuatro alternativas para cada pregunta y escríbala con () en la raíz de la pregunta. pregunta
1 ~ 10, 1, 11 ~ 20, 2, ***30)
(1) Cada pregunta vale 1 punto, ***10 puntos.
1
1. Supongamos que la función f (x) =-, g (x) = 1-x, entonces f [g (x)] = ().
x
1 1 1
①1- —— ②1+ —— ③ ———— ④x
x x 1- x
1
2. Cuando x→ 0, xsen-+1 es ().
x
①Cantidad infinita ②Cantidad infinita ③Variable acotada ④Variable ilimitada.
3. La siguiente afirmación es correcta ()
① Si f(X) es continua en x = XO, entonces f(X) es derivable en x = XO.
②Si f(X) no es diferenciable en x = XO, entonces f(X) es discontinua en x = XO.
③Si f(X) no es diferenciable en x = XO, entonces f(X) no existe en el límite de x = XO.
④Si f(X) es discontinua en x = XO, entonces f(X) no es diferenciable en x = XO.
4. Si siempre hay f' (x) < 0, f" (x) > 0 en el intervalo (a, b), entonces está en (a, b).
Arco de la curva interior y = f (x) es ()
① arco convexo ascendente ② arco convexo descendente ③ arco cóncavo ascendente ④ arco cóncavo descendente.
5. Supongamos que f' (x) = g' (x), entonces ()
① f (x)+g (x) es una constante.
② f(x)-g(x) es una constante.
③ F(X)-G(X) =0
d d
④——F(x)dx =——G(x)dx
dx dx
1
6.∫ │x│dx =()
-1
① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3
7. La ecuación 2x+3y = 1 está representada por el diagrama en el espacio ().
①Plano paralelo al plano xoy
②Plano paralelo al eje oz
③Plano que pasa por el eje oz.
④Línea recta
x
8. Supongamos f(x, y) = x3+y3+x2ytg-, entonces f(tx, ty) =( ).
y
①tf(x, y) ②t2f(x, y)
1
③t3f(x, y) ④ — —f(x, y)
t2
an+1∨
9. Supongamos que an≥0, lim ———— = p, entonces el nivel El número ∑an()
n→∞ a n=1
① converge cuando P > 1 y diverge cuando P < 1.
② Converge cuando P ≥ 1 y diverge cuando P < 1.
③Converge cuando P≤1 y diverge cuando P>1.
④P < 1 converge, P > 1 diverge.
10. La ecuación Y'+3xy = 6x2y es ()
①Ecuación diferencial lineal no homogénea de primer orden
②Ecuación diferencial homogénea
p>③Ecuaciones diferenciales de variables separables
④Ecuaciones diferenciales de segundo orden
(2) Cada pregunta vale 2 puntos, * * * 20 puntos
11. Entre las siguientes funciones, la función de número par es ().
①y=ex ②y=x3+1
③y=x3cosx ④y=ln│x│
12. b ) y a < x1 < x2 < b, entonces existe al menos un punto ζ∈(a, b) tal que ().
①f(b)-f(a)=f'(ζ)(b-a)
②f(b)-f(a)=f'(ζ)(x2- x1)
③f(x2)-f(x1)=f'(ζ)(b-a)
④f(x2)-f(x 1)= f'(ζ) (x2-x 1)
13. Supongamos que las derivadas izquierda y derecha de f(X) existen en x = xo y son iguales, de modo que f(X) es derivable () en x = xo .
①Condiciones necesarias y suficientes
②Condiciones necesarias e insuficientes
③Condiciones necesarias y suficientes
④Condición ni necesaria ni suficiente.
d
14. Supongamos 2f (x) cosx =-[f (x)] 2, entonces f (0) = 1,
Entonces f (x)= f(x)= f(x)
Avanzado (abreviatura de deluxe)
①cosx②2-cosx③1+sinx④1-sinx
15. La ecuación de la curva que pasa por el punto (1, 2) y tiene una pendiente tangente de 4x3 es y = ().
①x4 ②x4+c ③x4+1 ④x4-1
1 x
16 lim——∫3 GTG 2 dt =()
.x→0 x3 0
1
① 0 ② 1 ③ —— ④ ∞
Tres
Cromosomas masculinos normales Tipo de grupo
17. lim xysin————=()
x→0 x2+y2
y→0
① 0 ② 1 ③ ∞ ④ sin1
18. Para la ecuación diferencial y "= f (y, y '), el método de reducción de orden es ().
① Sea y ' = p, entonces y "= p '
Procesamiento de datos
②Supongamos que y'= p, entonces y"=—
disprosio
Procesamiento de datos
(3) Supongamos y'= p, entonces y” = p——
disprosio
1 dp
(4) Supongamos y' = p, entonces y "= ——————.
p dy
∞ ∞
19. Supongamos exponenciación La serie ∑ anxn converge a xo(xo≠0), entonces ∑ anxn converge absolutamente en │ x │ < │ XO │()
n=o n=o
①② Condicional. convergencia ③ divergencia ④ la convergencia está relacionada con un
Hinkes
20. Supongamos que el dominio d está rodeado por y = x, y = x2, entonces ∫∫—————— —dσ=().
D x
1 1 sinx
①∫dx∫————dy
0 x x
__
1 √y seno
②∫dy∫———dx
0 y x
__
1 √x sinx
③∫dx∫————dy
0 x x
__
1 √x senx
④∫dy∫————dx
0 x x
3. Preguntas de cálculo (5 puntos por cada pregunta, * ** 45 puntos)
___________
/ x-1
1. Sea y =/————encontrar y'
sin(9x2-16)
2 Encuentra lim ——————————
x. →4/3 3x-4
Avanzado (abreviatura de deluxe)
3. Calcular ∫————————
(1 +ex )2
t 1 dy
4. Supongamos que x = ∫ (cosu) arctgudu, y = ∫ (sinu) arctgudu, encuentre——.
0 t dx
5. Encuentra el sistema de ecuaciones lineales que pasa por el punto A (2, 1, -1) y el punto B (1, 1, 2).
___
6. Suponga u = ex+√ y+sinz, y encuentre du.
x asinθ
7. Calcula ∫ ∫ rsinθdrdθ.
0 0
y+1
8 Encuentra la solución general de la ecuación diferencial Dy = (——) 2dx.
x+1
Tres
9. Expande f (x) = ———————— en una serie de potencias.
(1-x)(2+x)
IV.Solicitud y certificación (***15 puntos)
1. Un objeto de masa m cae libremente desde el aire y la resistencia del aire es proporcional a la velocidad.
(Constante de proporcionalidad k > 0) Encuentra la relación entre velocidad y tiempo.
___ 1
2. (7 puntos) Usa la monotonicidad de la función para demostrar: cuando x > 1, 2 √ x > 3-.
x
Adjunto: Respuestas de referencia y estándares de puntuación para Matemáticas Avanzadas (1)
1. *10 puntos )
1.(-1,1)
2.2x-y+1=0
3.5A
4.y =x2+1
1
5.——arctgx2+c
2
6.1
7 .ycos(xy)
π/2 π
8.∫ dθ ∫ f(r2)rdr
0 0
9 .Nivel 3
10. Diferente
2. Preguntas de opción múltiple (elija una respuesta correcta de las cuatro respuestas alternativas para cada pregunta, codificadas en la pregunta seca.
(), 1~10 es 1, 11~20 es 2, ***30)
(1) Cada pregunta vale 1 punto, ***10 puntos.
1.③ 2.③ 3.④ 4.④ 5.②
6.② 7.② 8.⑤ 9.④ 10.③
(2) Cada pregunta vale 2 puntos, * * * 20 puntos
11.④ 12.④ 13.⑤ 14.③ 15.③
16.② 17. ① 18.③ 19.① 20.②
3 Preguntas de cálculo (cada pregunta vale 5 puntos, ***45 puntos)
1
1. . Solución: lny =-[ln(x-1)-lnx-ln(x+3)](2 puntos)
2
1 1 1 1 1
-y' =-( - ) (2 puntos)
y 2 x-1 x x+3
__________
1 / x-1 1 1 65438
y ' =————————————————)(1 punto)
2 √ x(x +3) x-1 x x+3
18xcos(9x2-16)
2 Solución: Fórmula original = lim————————————. ——( 3 puntos)
x→4/3 3
18(4/3)cos〔9(4/3)2-16〕
= — ——————————= 8 (2 puntos)
Tres
1+ex-ex
3. Fórmula original = ∫ ———————— DX (2 puntos)
(1+ex)2
dx d(1+ex)
=∫— ————————————(1 punto)
1+ex
1+ex-ex 1
= ∫———— ———— DX +———— (1 punto)
1+ex 1+ex
1
= x -ln(1+ex) +——+c(1)
1+ex
4. Solución: Porque dx = (costo) arctgtdt, dy =-(Sint) arctgtdt (3 puntos)
Arco de disprosio (sinterizado)
Entonces——————————————————————minutos)
dx (coste )arctgtdt
5. Solución: El número de direcciones de la recta es {1, 0, -3} (3 puntos).
x-1 y-1 z-2
La ecuación de la recta es————=————=——(2 puntos).
1 0 -3
__ __
6. Solución: du = ex+√ y+sinzd (x+√ y+sinx) (3 puntos)
__ dy
= ex+√y+sinz[(1+cosx)dx+——](2 puntos)
___
2√y
π asinθ 1 π
7. Solución: integral original = ∫ sin θ d θ ∫ RDR =-A2 ∫ sin 3θ d θ (3 puntos).
0 0 2 0
π/2 2
= A2 ∫ Sin3θ d θ =-A2 (2 puntos)
0 3
dy dx
8. Solución: Divide ambos lados entre (y+1) 2 para obtener ——= ——(2 puntos).
(1+y)2 (1+x)2
dy dx
Fracción ∫——————=∫————— — ————(1 punto)
(1+y)2 (1+x)2
1 1
Es decir, la solución general es———— = c (2 puntos).
1+x 1+y
1 1
9. Solución: descomponer para obtener f(x)=——+——(1)<. / p>
1-x 2+x
1 1 1
=-+ - (1 punto)
1-x 2 x
p>1+——
2
∞ 1 ∞ xn x
=∑xn+-∑(-1)n- (│x │< 1 y │-│ < 1) (2 puntos)
n=0 2n 2
∞ 1
=∑[1+ (-1 )n-]xn(│x │< 1)(2 puntos)
n=0 2n+1
4. )
Du (apellido)
1. Solución: Sea u la velocidad, entonces u satisface m = —— = mg-ku (3 puntos).
Delirium Tremens (abreviatura de Delirium Tremens)
1
U =—(mg-ce-kt/m) se utiliza para resolver la ecuación (3 puntos ).
k
Miligramo
Supongamos que c de u │ t = 0 = 0, obtiene u =-(1-e-kt/m) (2 puntos ).
k
__ 1
2. Prueba: Si f(x) = 2 √ x+-3, entonces f(x) está en el intervalo [ 1, +∞] (2 puntos) consecutivamente.
x
1 1
Y cuando x > 1, f' (x) = - > 0 (2 puntos).
__ x2
√x
Entonces f(x) aumenta monótonamente en [1, +∞] (punto 1).
Por lo tanto, cuando x > 1, f (x) > f (1) = 0 (1 punto).
___ 1
Es decir, cuando x > 1, 2 √ x > 3-(1).
Preguntas del examen final de Álgebra lineal B
Primero, determina si es verdadero o falso (escribe T si es correcto, F si es incorrecto. Cada pregunta vale 2 puntos, *** 10 puntos)
1.a es una matriz cuadrada de orden n, y luego las hay. ( )
2.a y B son matrices cuadradas del mismo orden, entonces. ( )
3. Si es equivalente a , entonces el grupo de vectores de fila de es equivalente al grupo de vectores de fila de . ( )
4. Si todas son matrices cuadradas, definitivamente serán diferentes. ( )
5. Si los grupos de vectores de N dimensiones están relacionados linealmente, entonces también lo están. ( )
2. Preguntas de opción múltiple (cada pregunta vale 3 puntos, ***15 puntos)
1. Entre las siguientes matrices, () no es una matriz elemental. .
(A) (B) (C) (D)
2 Supongamos que el grupo de vectores es linealmente independiente, entonces el siguiente grupo de vectores linealmente independiente es ().
(A) (B)
(C) (D)
3. Sea A una matriz cuadrada de orden n, y. Entonces ()
(A) (B) (C) (D)
4. Establezcalo como una matriz, entonces está ().
(a) Si es así, entonces hay infinitas soluciones.
(b) Si es así, entonces hay soluciones distintas de cero y el sistema de solución básico contiene una solución linealmente independiente; vectores;
(c) Si la subfórmula de orden no es cero, hay una solución única;
(d) Si la subfórmula de orden no es cero, hay una solución sólo una solución cero.
5. Si las matrices A y B de orden n tienen los mismos valores propios, y cada una tiene n vectores propios linealmente independientes, entonces ().
(A)A es similar a B (b), pero |A-B|=0.
(C)A=B (D)A y B no son necesariamente similares, pero |A|=|B|.
Tres. Complete los espacios en blanco (4 puntos por cada pregunta, * * * 20 puntos)
1.
2. Es una matriz de 3er orden, que satisface 3, entonces = _ _ _ _ _ _.
3. El grupo de vectores , es lineal (relleno relacionado o no correlacionado), y su grupo independiente lineal máximo lo es.
4. Se sabe que la ecuación de cuatro elementos tiene tres soluciones, entre las cuales rango = 3, 0, entonces la solución general de la ecuación es.
5. Supongamos que el rango (A)=2, entonces a=.
4. Calcula las siguientes preguntas (9 puntos por cada pregunta, máximo 45 puntos).
1. Dado que A+B=AB, encuentre la matriz B.
2. Establecer y buscar.
3. Dado que la ecuación tiene infinitas soluciones, encuentra la solución general de a y de la ecuación.
4. Encuentra una transformación ortogonal para convertir la forma cuadrática a la forma estándar.
5.A y B son matrices cuadradas de cuarto orden, AB+2B=0, el rango de la matriz B es 2 y |E+A|=|2E-A|=0. (1) Encuentre los valores propios de la matriz A; (2) ¿Se puede diagonalizar A de manera similar? ¿Por qué? ;(3) Encuentre |A+3E|.
Preguntas de prueba de verbo (abreviatura de verbo) (5 puntos cada una, ***10 puntos).
1. Si es una matriz simétrica, es una matriz antisimétrica. ¿Es una matriz simétrica? Justifica tu conclusión.
2. Supongamos que es una matriz con rango n, ¿determina si es una matriz definida positiva? Justifica tu conclusión.
Respuestas a Preguntas de Álgebra Lineal (04)
1,
1.(F)()
2.(T)
3.(F)10. Por ejemplo, contraejemplo:,.
4. (t) (Los valores determinantes de matrices similares son los mismos)
5.
Segundo,
1. Elija b. La matriz elemental debe ser invertible.
2. Elige b. La suma de los tres vectores en A es cero. Es obvio que A está relacionado linealmente. El grupo de vectores en b es equivalente a 0, 0, rango 3, y el grupo de vectores en b es linealmente independiente el tercer vector en C y D es una combinación lineal de los dos primeros vectores y el grupo de vectores en C y D; está relacionado linealmente.
3. Seleccione C. Por,
).
4. Elija D. A es incorrecto porque no hay garantía; b es incorrecto porque contiene el sistema de solución básico del vector de solución; c es incorrecto porque es posible, por lo que no hay solución; correcto porque.
5. Elija a. A es correcta porque pueden ser diagonalizadas y tener matrices invertibles, de modo que sean similares a la misma matriz diagonal.
Tres. 1. (Ampliar por la primera columna)
2.; ( = )
3. Correlación (porque el número de vectores es mayor que la dimensión del vector). . Porque...
4. Dado que el sistema de solución básico del grupo derivado del sistema de ecuaciones original contiene solo un vector de solución, que se toma como , la solución general del sistema de ecuaciones original se puede expresar como la suma de la solución general del grupo derivado y una de sus soluciones especiales.
5. (
Cuarto,
1. Solución 1:. Combine para formar una matriz y use la transformación de filas elemental para encontrar.
.
Solución 2:
.
2.
3. Solución 1: El sistema de ecuaciones tiene infinitas soluciones, así que encuentra el determinante de sus coeficientes. Eso es, o.
Cuando, la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones
Así, estas ecuaciones tienen infinitas soluciones. Se obtienen respectivamente un sistema de solución básica de su grupo derivado y una solución especial del sistema de ecuaciones original. Por lo tanto, el sistema de ecuaciones tiene infinitas soluciones y su solución general es,
Cuando la matriz es . aumentada, la ecuación no tiene solución.
Opción 2: Primero transformar la matriz aumentada en un trapecio mediante transformación de filas elemental.
Debido a que el sistema de ecuaciones tiene infinitas soluciones, obtenemos. Entonces, eso es. El método para encontrar la solución general es el mismo que el de la solución 1.
4. Solución: Primero escribe la matriz cuadrática y encuentra sus valores propios. Matriz cuadrática
,
Por tanto, sus valores propios son,.
Luego encuentra los vectores propios de los valores propios.
Resolver el sistema de ecuaciones y obtener dos vectores propios linealmente independientes correspondientes a los valores propios.
Resolver el sistema de ecuaciones y obtener los vectores propios correspondientes a los valores propios.
Luego ortogonaliza, en,.
Finalmente, la matriz formada por unitarización es la matriz de transformación ortogonal, y su forma estándar lo es.
5. Solución: (1) es el valor propio de -1,2. , entonces -2 es el valor propio de y su rango es 2, es decir, el valor propio de -2 tiene dos vectores propios linealmente independientes, por lo que sus valores propios son -1, 2, -2, -2.
(2) puede ser similar a la diagonalización. Debido a que hay un vector propio correspondiente a los valores propios -1 y 2, y hay dos vectores propios linealmente independientes correspondientes al valor propio -2, hay cuatro vectores propios linealmente independientes, que pueden ser similares a la diagonalización.
Los valores propios de (3) son 2, 5, 1, 1. Por lo tanto =10.
Cinco, 1. es una matriz simétrica.
Prueba:
= = = ,
Entonces es una matriz simétrica.
2. Es una matriz definida positiva.
Demostración: del conocimiento a las matrices simétricas. Para un vector de cualquier dimensión, se deriva de =, y es, por definición, una matriz definida positiva.