Los números reales se pueden dividir en números racionales y números irracionales.
La diferencia entre números irracionales y números racionales:
1. Cuando los números racionales y los números irracionales se escriben como decimales, los números racionales se pueden escribir como decimales finitos y decimales recurrentes infinitos.
Por ejemplo, 4 = 4,0, 4/5 = 0,8, 1/3 = 0,33333... Y los números irracionales sólo se pueden escribir como infinitos decimales no recurrentes.
Por ejemplo √2 = 1.414213562........................ ............. ................................................. .. ....................................
2. son Se puede escribir como la razón de dos números enteros, no; Con base en esto, algunas personas sugirieron que los números irracionales deberían etiquetarse como "irrazonables", los números racionales deberían cambiarse a "números comparativos" y los números irracionales deberían cambiarse a "números no comparativos". Después de todo, los números irracionales no son irrazonables, pero al principio la gente no sabía mucho sobre ellos.
Utilizando la principal diferencia entre números racionales y números irracionales, se puede demostrar que √2 es un número irracional.
Prueba: Supongamos que √2 no es un número irracional, sino un número racional.
Dado que √2 es un número racional, se debe escribir como la razón de dos números enteros:
√2=p/q
Dado que P y Q no son reducibles El factor común, p/q, puede considerarse como una fracción reducida, que es la forma más simple de fracción.
Cuadrado √2 = ambos lados de P/q.
Obtenemos 2 = (p 2)/(q 2)
Es decir, 2 (q 2) = p 2.
Debido a que 2q^2 es un número par, p debe ser un número par. Sea p=2m.
A partir de 2 (q 2) = 4 (m 2)
Q 2 = 2 m 2.
De manera similar, q debe ser un número par, suponiendo q=2n.
Dado que P y Q son números pares, deben tener un factor común de 2, lo que contradice la suposición anterior de que p/q es una fracción reducida. Esta contradicción se debe a la suposición de que √2 es un número racional. Entonces √2 es un número irracional.
Origen:
Pitágoras (alrededor del 885 a. C. al 400 a. C.) fue muy inteligente desde niño. Una vez caminaba por la calle cargando leña. Un anciano vio que su método para atar leña era diferente al de los demás, así que dijo: "Este niño es un genio de las matemáticas y se convertirá en un erudito después de escuchar esto". Dejó caer la leña, cruzó el Mediterráneo y se fue a Telesmen a estudiar. Pitágoras era muy inteligente. Bajo la dirección de Taylor, él resolvió muchos problemas matemáticos. Entre ellos, demostró que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180 grados, se puede calcular que si se quiere utilizar baldosas cerámicas para pavimentar el piso, sólo se utilizan tres tipos de baldosas poligonales regulares: triángulo equilátero, regular; Se puede utilizar un cuadrilátero y un hexágono regular para pavimentar el suelo. También se demostró que sólo existen cinco poliedros regulares en el mundo: los regulares 4, 6, 8, 12 y el icosaedro. También descubrió los números impares, pares, triangulares, cuadriláteros, perfectos, de la amistad e incluso los números pitagóricos. Pero su mayor logro fue el descubrimiento del teorema de Pitágoras, que luego recibió su nombre, es decir, la suma de las áreas de los cuadrados de los dos lados rectángulos de un triángulo rectángulo es igual al área del cuadrado de la hipotenusa. Se dice que Pitágoras inventó este método cuando vio que los artesanos usaban baldosas cuadradas para colocar el piso del templo y, a menudo, calculaban el área.
Después de que Pitágoras se volvió competente en el uso del conocimiento matemático, sintió que no podía simplemente resolver problemas, por lo que trató de expandirse del campo de las matemáticas al campo de la filosofía y explicar el mundo desde la perspectiva de los números. . Después de una dura práctica, se le ocurrió la idea de que "todo es número". El elemento número es el elemento de todas las cosas y el mundo está compuesto de números. Nada en el mundo puede expresarse mediante números. Los números mismos son el orden del mundo.
Pitágoras también fundó una fraternidad de jóvenes a su alrededor. Unos 200 años después de su muerte, sus discípulos desarrollaron esta teoría y formaron una poderosa escuela pitagórica.
Un día, los miembros de la escuela acababan de terminar un seminario académico y estaban tomando un crucero para disfrutar del paisaje y disipar el cansancio del día. Era un día soleado y la brisa del mar soplaba suavemente, provocando capas de olas. Todos están muy felices. Un erudito barbudo miró el vasto mar y dijo emocionado: "La teoría del señor Pitágoras no está nada mal". Ves que las olas están capa sobre capa, con picos y valles, como números impares y pares. El mundo es un orden de números. "Sí, sí." "En ese momento, entró un hombre corpulento que estaba remando y dijo: "Hablemos de este barco y del mar". Medir el agua del mar con un barco definitivamente te dará una cifra exacta. Todo se puede representar con números. ”
“No lo creo. "En ese momento, un erudito en la popa de repente hizo una pregunta. Dijo con calma:" ¿Qué pasa si al final no es un número entero? ”
“Eso es un decimal. "¿Qué debo hacer si el decimal no se puede dividir en un bucle?" ”
“Imposible, todo en el mundo se puede expresar de forma directa y precisa mediante números. "
En ese momento, Xiucai dijo con calma en un tono que no quería discutir más: "No todo en el mundo se puede expresar con los números que conocemos ahora. Tomemos como ejemplo el triángulo rectángulo, que el Sr. Pitágoras estudió más. En el caso de un triángulo rectángulo isósceles, no se puede medir con precisión la hipotenusa con un lado derecho. ”
El erudito que hizo esta pregunta se llama Hipasus, un matemático inteligente, diligente e independiente entre los pitagóricos. Si no fuera por la controversia de hoy, no querría expresar Mi nuevo punto de vista. Al oír esto, el gran hombre que remaba se detuvo y gritó: "No, la teoría del señor se aplica en todas partes". Hippasos parpadeó con sus ojos inteligentes, estiró las manos y comparó los dos escapes con un triángulo rectángulo isósceles.
"Si el lado recto es 3, ¿cuál es la hipotenusa?" "
"4. "
"¿Más preciso? ”
”4.2. "
"¿Más preciso? ”
”4.24. "
"¿Más preciso? "
La cara del gran hombre estaba roja y no pudo responder por un tiempo. Hippasos dijo: "No se pueden contar 10 o 20 dígitos en el futuro. Esto es lo más preciso. He calculado muchas veces que un lado y el otro lado de cualquier triángulo rectángulo isósceles no se pueden representar con un número exacto. "Esto fue como un rayo caído del cielo, y todo el barco inmediatamente rugió: "¡Cómo te atreves a violar la teoría del Sr. Pitágoras y destruir el credo de nuestra escuela! "¡Atrévete a creer que los números son el mundo!" Hippasos estaba muy tranquilo en ese momento. Dijo: "Este es un nuevo descubrimiento. Incluso el señor Pitágoras me recompensará cuando esté vivo. Puedes verificarlo en cualquier momento". Pero la gente no escuchó su explicación y gritó enojada: "¡Traición! Señor discípulo sin escrúpulos". "¡Mátalo! ¡Mátalo!" El hombre barbudo se apresuró y le dio un puñetazo en el pecho. Hippasos protestó: "¡Ignoras la ciencia, eres tan irrazonable!" "El credo de los defensores siempre es legítimo". En ese momento, el gran hombre también se apresuró a recogerlo: "¡Aquí, una recompensa suprema para ti! " dijo, arrojando a Hipaso al mar. El mar azul rápidamente sumergió su cuerpo y nunca volvió a salir. En ese momento, había algunas nubes blancas flotando en el cielo y algunas aves acuáticas pasaban por la orilla del mar. Después de una tormenta, la costa mediterránea parece haber vuelto a la tranquilidad.
Un matemático muy talentoso fue arruinado por un erudito autoritario esclavo. Pero sí hace que la gente vea el valor de los pensamientos de Hippasos. Después de este incidente, los pitagóricos descubrieron verdaderamente que no sólo los lados rectángulos de un triángulo rectángulo isósceles no pueden medir la hipotenusa, sino que tampoco el diámetro de un círculo puede medir la circunferencia. Ese número es 3,141592653589726... y nunca será exacto. Poco a poco, comenzaron a arrepentirse de sus acciones irracionales al matar a Hippasus. Poco a poco comprenden que la intuición no es absolutamente confiable y algunas cosas deben probarse científicamente. Entienden que en el pasado, además del número "0" y los números racionales como los naturales, existían infinitos decimales no recurrentes;
De hecho, se trata de un número recién descubierto; debería llamarse "número irracional". Este nombre refleja la verdadera cara de las matemáticas, pero también registra verdaderamente la arrogancia de los pitagóricos.
La crisis matemática provocada por los números irracionales se prolongó hasta el siglo XIX. En 1872, el matemático alemán Dedekind partió del requisito de la continuidad y definió los números irracionales mediante la "división" de los números racionales. Estableció la teoría de los números reales sobre una base científica estricta, poniendo así fin a la era en la que los números irracionales se consideraban "irracionales". números" y duró dos años. La primera gran crisis en la historia de las matemáticas en más de mil años.
Números racionales (números racionales):
Los decimales infinitamente recurrentes y los números con raíces infinitas se llaman números irracionales.
Los números enteros y las fracciones se denominan colectivamente números racionales.
En matemáticas, un número racional es la razón de dos números enteros, generalmente escritos como a/b, donde b no es cero. Una fracción es una expresión común para los números racionales, mientras que un número entero es una fracción cuyo denominador es 1, que también es un número racional.
Incluye números enteros y fracciones, y también se puede expresar como decimales finitos o decimales infinitamente recurrentes.
Esta definición se aplica a números decimales y otros números decimales (como binarios). Los decimales infinitamente recurrentes y los números con raíces infinitas se llaman números irracionales.
Los números enteros y las fracciones se denominan colectivamente números racionales.
En matemáticas, un número racional es la razón de dos números enteros, generalmente escritos como a/b, donde b no es cero. Una fracción es una expresión común para los números racionales, mientras que un número entero es una fracción cuyo denominador es 1, que también es un número racional.
En matemáticas, un número racional es la relación entre un número entero a y un número entero b distinto de cero, generalmente escrito como a/b, por lo que también se le llama fracción. ¿El nombre griego es λ ο γ ο? El significado original era "número racional", pero la traducción china fue inapropiada y gradualmente se convirtió en "número racional". Los números reales que no son números racionales se llaman números irracionales.
El conjunto de todos los números racionales está representado por q, y la parte decimal de un número racional es finita o cíclica.
Datos de referencia
Por ejemplo, 3, -98,11, 5,272 y 7/22 son todos números racionales.
Los números racionales también se pueden dividir en números racionales positivos, números racionales negativos y 0.
Todos los números racionales forman un conjunto, es decir, el conjunto de los números racionales, que se representa con la letra Q en negrita, mientras que algunos libros de matemáticas modernos utilizan la letra hueca Q.
El conjunto de los números racionales es un subconjunto del conjunto de los números reales. Para contenido relacionado, consulte Expansión del sistema numérico.
Un conjunto de números racionales es un campo, es decir, en él se pueden realizar cuatro operaciones (excepto el 0 que es un divisor). Para estas operaciones se cumplen las siguientes reglas de operación (A, B, C). , etc. todos representan cualquier número racional) :
①La ley conmutativa de la suma A B = b A;
②La ley asociativa de la suma A (B C) = (A B) C;
(3) Existe un número 0, de modo que 0 a = a 0 = a;
(4) Para cualquier número racional A, existe un elemento inverso aditivo, registrado como -a, de modo que A (-A) = (-A ) A = 0;
⑤Ley conmutativa de la multiplicación AB = BA
⑥Ley asociativa de la multiplicación A(BC)=( AB)C;
⑦Regla de Distribución A(B C) = A b AC;
⑧La multiplicación tiene un elemento unitario 1≠0, de modo que para cualquier número racional A, 1A = A 1 = A;
⑨Para no El número racional A que es 0 tiene un elemento inverso multiplicativo 1/a, entonces A(1/A)=(1/A)A = 1.
⑩0a=0
Además, los números racionales son un campo ordenado, es decir, existe una relación de orden ≤
Los números racionales también son un campo de Arquímedes , es decir, números racionales A y B, a≥0, B>0, podemos encontrar un número natural n tal que nb>A No es difícil inferir que no existe un número racional máximo.
Cabe mencionar el nombre de números racionales. El nombre "números racionales" resulta confuso. Los números racionales no son más "razonables" que otros números. En realidad esto parece ser un error de traducción. La palabra número racional proviene de Occidente. En inglés, es un número racional y racional generalmente significa "racional". En la China moderna, los trabajos científicos occidentales se tradujeron a "números racionales" según los métodos de traducción japoneses.
Sin embargo, esta palabra proviene de la antigua Grecia y su raíz inglesa es ratio, que significa ratio (la raíz aquí es inglesa y el significado griego es el mismo). Por tanto, el significado de esta palabra también es muy claro, que es la "proporción" de números enteros. Por el contrario, un "número irracional" es un número que no se puede expresar exactamente como una proporción de dos números enteros, pero tampoco es irrazonable.
Operaciones mixtas de suma y resta de números racionales
1. La suma y resta de números racionales se unifican en el significado de suma:
Para la resta. en las operaciones mixtas de suma y resta, podemos La regla de resta de números racionales convierte la resta en suma, unificando así las operaciones mixtas en operaciones de suma. La fórmula unificada es la suma de varios números positivos o negativos. A esta fórmula la llamamos suma algebraica.
2. Métodos y pasos para operaciones mixtas de suma y resta de números racionales:
(1) Utilizar la regla de resta para convertir resta en suma en operaciones mixtas de números racionales.
(2) Utilice la ley de la suma, la ley conmutativa de la suma y la ley combinatoria de la suma para realizar operaciones simples.
Los conceptos de valor absoluto y recíproco en el rango de los números racionales tienen el mismo significado en el rango de los números reales.