Cuando a≠2/3, encuentre el intervalo monótono y el valor extremo de la función f(x).
Solución: (1) Cuando a = 0, f (x) = x2ex, f '
(x)=(x2+2x)
Ej , por lo tanto f '
(1)=e.
Por tanto, la pendiente de la tangente a la curva y = f (x) en el punto (1, f(1)) es e.
(2)f '
(x)=[x2+(a+2)x-2a2+4a]
ex,
Ling f '
(x ) = 0 , x = -2a, o x = a-2. De a≠23, -2a ≠ a-2.
Lo siguiente se analiza en dos situaciones:
①Si a > 23, -2a < a-2. Cuando x cambia, f '
(x) y f(x) cambian de la siguiente manera:
x
(-∞, -2a)
p>-2a
(-2a, a-2)
a-2
(a-2, +∞)
f '
(十)
+
—
+
f( x )
↗
Valor máximo
↘
Valor mínimo
↗
La función f(x) toma el valor máximo f en x =-2a.
(-2a)= 3ae-2a;
El valor mínimo de f se obtiene en x = a-2.
(a-2)=(4-3a)e
a-2;
②Si a < 23, entonces -2a > a-2. Cuando x cambia, f '
(x) y f(x) cambian de la siguiente manera:
x
(-∞, a-2)< / p>
a-2
(a-2, -2a)
-2a
(-2a, +∞)
f '
(十)
+
—
+
f(x )
↗
Valor máximo
↘
Valor mínimo
↗
El la función f(x) toma el valor mínimo f(-2a)= 3ae-2a en x =-2a;
El valor máximo f(a-2) = (4 -3a) e.
a-2.