Las matemáticas son la ciencia que estudia las relaciones cuantitativas y las formas espaciales en el mundo real. En pocas palabras, es la ciencia de los números y las formas. Debido a las necesidades de la vida y el trabajo, incluso las personas más primitivas saben contar de forma sencilla y han evolucionado desde contar con los dedos u objetos hasta contar con números. En China, el método de utilizar decimales para expresar números grandes apareció a más tardar durante la dinastía Shang; durante las dinastías Qin y Han, ya existía un sistema decimal perfecto. En los Nueve Capítulos sobre Aritmética, a más tardar en el siglo I d.C., contiene reglas para el cálculo de raíces cuadradas y raíces cuadradas que solo son posibles en sistemas numéricos, así como varias operaciones con fracciones y métodos para resolver ecuaciones lineales simultáneas. y también introduce Comprender el concepto de números negativos.
Liu Hui también propuso usar decimales para representar las partes cero impares de las raíces cuadradas de números irracionales en "Nueve capítulos de aritmética", pero no se usó comúnmente hasta las dinastías Tang y Song (en Europa, después de Steven en el siglo XVI) decimal. En este libro, Liu Hui aproxima la circunferencia de un círculo utilizando la circunferencia de un polígono regular inscrito en un círculo, lo que se convirtió en un método común para calcular pi en generaciones posteriores.
Aunque China nunca ha tenido el concepto de números irracionales generales o números reales, de hecho, China ya había completado toda la aritmética y los métodos del sistema de números reales en ese momento, lo cual no solo es indispensable en la aplicación. , pero también en También es indispensable en la educación matemática temprana. En cuanto a Europa, que heredó las culturas de Babilonia, Egipto y Grecia, se centró en estudiar las propiedades de los números y las relaciones lógicas entre estas propiedades.
Ya en los "Elementos de geometría" de Euclides, existen conclusiones como el concepto de números primos, el número infinito de números primos y la descomposición única de números enteros. Los antiguos griegos descubrieron los números sin fracciones, ahora llamados números irracionales. A partir del siglo XVI, los números complejos reaparecieron gracias a la resolución de ecuaciones de orden superior. En los tiempos modernos, el concepto de números se ha abstraído aún más de acuerdo con las diferentes reglas de operación de los números, el sistema numérico general se ha discutido teóricamente de forma independiente, formando varias ramas diferentes de las matemáticas.
Las raíces cuadradas y las raíces cuadradas son operaciones necesarias para resolver las ecuaciones de orden superior más simples. En Nueve capítulos sobre aritmética, aparece la resolución de una forma especial de ecuaciones cuadráticas. Durante las dinastías Song y Yuan, se introdujo el concepto claro de "Tian Yuan" (es decir, números desconocidos), y se introdujeron métodos para encontrar soluciones numéricas a ecuaciones de orden superior y para encontrar soluciones a ecuaciones algebraicas simultáneas de orden superior con hasta cuatro Surgieron incógnitas, comúnmente conocidas como Tian Yuan Shu y Quaternary Shu. Las expresiones polinomiales, algoritmos y métodos de eliminación que los acompañan se aproximan al álgebra moderna.
Fuera de China, el trabajo del árabe del siglo IX Hua Ramiz desarrolló la solución de ecuaciones cuadráticas y generalmente se considera el creador del álgebra. Su solución es esencialmente la misma que la del antiguo álgebra geométrico chino. método que se basaba en el corte. Las matemáticas chinas antiguas se dedican a la solución específica de ecuaciones, mientras que las matemáticas europeas, que se originaron en la antigua Grecia y Egipto, generalmente se dedican a explorar las propiedades de las soluciones de ecuaciones.
En el siglo XVI, los Vedas sustituyeron los coeficientes de las ecuaciones por palabras e introdujeron el cálculo simbólico algebraico. La exploración de las propiedades de las ecuaciones algebraicas es el surgimiento de conceptos y teorías como determinantes, matrices, espacios lineales y transformaciones lineales derivadas de ecuaciones lineales. Desde ecuaciones algebraicas que llevaron a la introducción de conceptos como números complejos y funciones simétricas, hasta el establecimiento de la teoría de Galois y la teoría de grupos. La geometría algebraica, que ha sido extremadamente activa en los tiempos modernos, no es más que el estudio teórico de conjuntos de soluciones de ecuaciones algebraicas de orden superior.
El estudio de las formas pertenece a la categoría de geometría. Los pueblos antiguos tenían conceptos simples de formas, que a menudo se representaban mediante imágenes. La razón por la que las figuras se convirtieron en objetos matemáticos se debió a los requisitos de fabricación y medición de herramientas. Las reglas se utilizan como cuadrados. En la antigua China, Yu Xia tenía herramientas de medición como reglas, escuadras, reglas y cuerdas cuando amarraba en el agua.
Mo Qing tiene una serie de generalizaciones abstractas y definiciones científicas de conceptos geométricos. "Suan Jing" de Zhou Kuai y "Haidao Suan Jing" de Liu Hui dan el método general y fórmulas específicas para observar el cielo y la tierra utilizando momentos. En "Nueve capítulos de aritmética" y "Nueve capítulos de aritmética" escritos por Liu Hui, además del teorema de Pitágoras, también se proponen algunos principios generales para resolver diversos problemas. Por ejemplo, los principios para encontrar el área de cualquier polígono son complementarios; el principio de dos a uno (principio de Liu Hui) necesario para encontrar el volumen de un poliedro, en el siglo V, Zu (Riheng) quería encontrarlo; el volumen de una forma curva, especialmente el volumen de una esfera, propuso el principio de que "si los potenciales son iguales, los productos no pueden ser diferentes". También existe un método límite (secante), que utiliza polígonos regulares inscritos para aproximar la circunferencia de un círculo.
Pero desde las Cinco Dinastías (alrededor del siglo X), China ha logrado pocos logros en geometría.
La geometría china tiene como tarea central la medición del área y el volumen, mientras que la antigua tradición griega concede gran importancia a la naturaleza de las formas y a la relación entre diversas propiedades. Los "Elementos" de Euclides establecieron un sistema deductivo que consta de definiciones, axiomas, teoremas y demostraciones, convirtiéndose en un modelo de las matemáticas axiomáticas modernas e influyendo en el desarrollo de todas las matemáticas. En particular, el estudio del axioma de las paralelas condujo al surgimiento de la geometría no euclidiana en el siglo XIX.
Desde el Renacimiento europeo, la geometría proyectiva ha surgido a través del estudio de las relaciones de perspectiva en las pinturas. En el siglo XVIII d.C., Gaspar Monge aplicó métodos analíticos para estudiar formas y fue pionero en la geometría diferencial. La teoría de la superficie de Gauss y la teoría múltiple de Riemann crearon un método de investigación que trata la forma como un objeto independiente sin espacio circundante. En el siglo XIX, Klein unificó la geometría desde la perspectiva de los grupos; Además, como la teoría de conjuntos de puntos de Cantor, que amplió el alcance de las formas; Poincaré fundó la topología, haciendo de la continuidad de las formas el objeto de la investigación geométrica. Estos le dan a la geometría una nueva apariencia.
En el mundo real, los números y las formas son como sombras, inseparables. Las antiguas matemáticas chinas reflejan esta realidad objetiva. Los números y las formas siempre se han complementado y desarrollado en paralelo. Por ejemplo, la medición pitagórica propuso el requisito de la raíz cuadrada, y los métodos de raíz cuadrada y raíz cuadrada se basan en consideraciones geométricas. La generación de ecuaciones cuadráticas y cúbicas también proviene principalmente de problemas prácticos y de geometría. Durante las dinastías Song y Yuan, el álgebra geométrica apareció debido a la introducción del concepto de Tianyuan y el concepto de polinomios equivalentes.
En astronomía y geografía, los catálogos y la cartografía han utilizado números para representar lugares, pero esto aún no ha avanzado hasta el punto de la geometría de coordenadas. En Europa, en el siglo XIV, los escritos de Olsme sobre la representación gráfica y la función de la latitud y la longitud ya estaban en su infancia. En el siglo XVII, Descartes propuso un método sistemático de representación algebraica de objetos geométricos y sus aplicaciones. Inspirándose en ella, a través del trabajo de Leibniz y Newton, se desarrolló hasta convertirse en la forma moderna de geometría analítica de coordenadas, que hizo más perfecta la unificación de números y formas, no sólo cambió el antiguo método de prueba geométrica que siguió a la geometría euclidiana en el pasado, sino que también cambió el antiguo método de prueba geométrica que seguía la geometría euclidiana en el pasado. pero también provocó que la generación de derivadas se convirtiera en la raíz del cálculo. Este es un acontecimiento importante en la historia de las matemáticas.
En el siglo XVII, debido a las exigencias de la ciencia y la tecnología, los matemáticos estudiaron el movimiento y el cambio, incluidos los cambios en la cantidad y la transformación de formas (como la proyección), y también produjeron los conceptos de función e infinitesimal. El análisis, que ahora se conoce como Cálculo, ha llevado las matemáticas a una nueva era de estudio de variables.
Desde el siglo XVIII, aprovechando la oportunidad de la creación de la geometría analítica y el cálculo, las matemáticas se han desarrollado rápidamente a una escala sin precedentes y han surgido muchas subdisciplinas. Dado que la mayoría de las leyes objetivas de la naturaleza se expresan en forma de ecuaciones diferenciales, el estudio de las ecuaciones diferenciales ha recibido gran atención desde el principio.
La geometría diferencial nació al mismo tiempo que el cálculo, y el trabajo de Gauss y Riemann dio origen a la geometría diferencial moderna. A principios del siglo XIX y XX, Poincaré fundó la topología y abrió una manera de estudiar los fenómenos continuos de manera cualitativa y holística. El análisis de los fenómenos aleatorios en el mundo objetivo dio origen a la teoría de la probabilidad. Las necesidades militares de la Segunda Guerra Mundial, así como la complejidad de la industria y la gestión a gran escala, dieron lugar a disciplinas como la investigación de operaciones, la teoría de sistemas, la cibernética y la estadística matemática. Los problemas prácticos requieren soluciones numéricas específicas, dando lugar a la matemática computacional. La necesidad de elegir la mejor manera ha dado lugar a diversas teorías y métodos de optimización.
El desarrollo de la mecánica, la física y las matemáticas siempre se han influenciado y promovido mutuamente, especialmente la teoría de la relatividad y la mecánica cuántica, que impulsaron el crecimiento de la geometría diferencial y el análisis funcional. Además, en el siglo XIX, la química solo usaba una ecuación, la biología casi no usaba las matemáticas y ya se utilizaban algunos conocimientos matemáticos de vanguardia.
A finales del siglo XIX, surgió la teoría de conjuntos y entró en una era de crítica. Promovió la formación y el desarrollo de la lógica matemática, y también dio lugar a diversas tendencias ideológicas y escuelas básicas de matemáticas que consideraban las matemáticas como. un todo.
Precisamente en 1900, el matemático alemán Hilbert pronunció un discurso sobre importantes cuestiones de las matemáticas contemporáneas en el Segundo Congreso Internacional de Matemáticos. En la década de 1930 fue pionera en el surgimiento de la escuela francesa Bourbaki, que consideraba las matemáticas desde el concepto de estructura. tuvo un impacto enorme y de gran alcance en el desarrollo de las matemáticas en el siglo XX, y la gente comenzó a disfrutar del término matematización científica.
Las aristas de las matemáticas continúan penetrando y expandiéndose en las ciencias naturales, la tecnología de la ingeniería e incluso las ciencias sociales, y extraen nutrientes de ellas, y han surgido algunas matemáticas de arista. Las necesidades inherentes de las matemáticas mismas también han dado lugar a muchas teorías y ramas nuevas. Al mismo tiempo, sus partes centrales se consolidan, mejoran y, en ocasiones, adaptan constantemente para satisfacer las demandas externas. En resumen, el gran árbol de las matemáticas tiene ramas exuberantes y raíces profundas.
En el vigoroso desarrollo de las matemáticas, los conceptos de números y formas han seguido expandiéndose y volviéndose cada vez más abstractos, de modo que no quedan rastros del conteo original y los gráficos simples. Sin embargo, en las nuevas ramas de las matemáticas todavía hay algunos objetos y relaciones operativas que se representan mediante términos geométricos. Por ejemplo, piense en una función como un punto en algún espacio. En última instancia, este método funciona porque los matemáticos ya están familiarizados con operaciones matemáticas simples y relaciones gráficas y tienen una base práctica larga y profunda. Además, incluso los números más primitivos, como 1, 2, 3, 4, y las figuras geométricas, como los puntos y las líneas rectas, han sido muy abstractos. Por lo tanto, si los números y las formas se entienden como conceptos abstractos amplios, entonces la definición antes mencionada de las matemáticas como una ciencia que estudia los números y las formas también se aplica a las matemáticas modernas en la etapa actual.
Debido a que las relaciones cuantitativas y las formas espaciales de los objetos de investigación matemática provienen del mundo real, las matemáticas, aunque tienen una forma muy abstracta, siempre están arraigadas en el mundo real. La práctica de la vida y las necesidades técnicas son siempre la verdadera fuente de las matemáticas. A su vez, las matemáticas desempeñan un papel importante y crítico en la práctica de transformar el mundo. El enriquecimiento, la perfección y la amplia aplicación de las teorías siempre se han acompañado y promovido mutuamente en la historia de las matemáticas.
Sin embargo, debido a las diferentes condiciones objetivas de los distintos grupos étnicos y regiones, el proceso de desarrollo específico de las matemáticas también es diferente. En general, la antigua nación china utilizaba el bambú como herramienta de cálculo, lo que naturalmente producía un sistema numérico decimal. La superioridad de los métodos de cálculo ayuda a resolver problemas prácticos. Las matemáticas desarrolladas a partir de esto han formado un sistema único caracterizado por la construcción, el cálculo, la programación y la mecanización. El objetivo principal es partir del problema y luego resolverlo. La antigua Grecia se centró en pensar y buscar una comprensión del universo. Esto se convirtió en un sistema deductivo axiomático que toma conceptos y propiedades matemáticos abstractos y su interdependencia lógica como objeto de investigación.
Tras alcanzar su apogeo en las dinastías Song y Yuan, el sistema matemático de China comenzó a estancarse y casi desapareció. En Europa, una serie de cambios como el Renacimiento, la revolución religiosa y la revolución burguesa condujeron a la revolución industrial y la revolución tecnológica. El uso de máquinas tiene una larga historia en el país y en el extranjero. Sin embargo, en China, fue prohibido por los emperadores de principios de la dinastía Ming, quienes lo consideraban una habilidad extraña.
En Europa se desarrolló debido al desarrollo de la industria y el comercio y al estímulo de la navegación. Las máquinas liberaron a las personas del pesado trabajo manual y las dirigieron hacia la mecánica teórica y la investigación científica general sobre el movimiento y el cambio. Los matemáticos de aquella época participaron activamente en estos cambios y en la solución de los correspondientes problemas matemáticos, lo que produjo resultados positivos. El nacimiento de la geometría analítica y el cálculo supuso un punto de inflexión en el desarrollo de las matemáticas. Los avances en matemáticas desde el siglo XVII generalmente pueden verse como la continuación y el desarrollo de estos logros.
En el siglo XX surgieron varias tecnologías nuevas, lo que resultó en una nueva revolución tecnológica, especialmente la aparición de las computadoras electrónicas, que llevaron las matemáticas a una nueva era. Una característica de esta época es la paulatina mecanización de algunos trabajos mentales. A diferencia de las matemáticas, que han estado dominadas por conceptos como continuidad y límites desde el siglo XVII, las matemáticas discretas y las matemáticas combinatorias siempre han recibido atención debido a las necesidades del desarrollo y las aplicaciones informáticas.
El papel de las computadoras en matemáticas no se limita a los cálculos numéricos, sino que también implica operaciones simbólicas (incluidas la investigación matemática como las pruebas mecánicas). Para cooperar mejor con las computadoras, las matemáticas también tienen requisitos pendientes de construcción, computabilidad, programabilidad y mecanización.
Por ejemplo, la geometría algebraica es una matemática muy abstracta, y las recientes formulaciones de geometría algebraica computacional y geometría algebraica estructural son una de sus pistas. En definitiva, las matemáticas se desarrollan con la nueva revolución tecnológica.