La suma de series es una parte importante de las series y los tipos de preguntas son complejos y cambiantes. Hemos resumido algunos métodos basados en diferentes tipos de preguntas, que son beneficiosos para el aprendizaje de secuencias.
Primero, suma en orden inverso
El ejemplo 1 encuentra la suma de los primeros n términos de la secuencia {n}.
Interpreta Sn=1+2+…+(n-1)+n,
Escribe la fórmula anterior al revés: Sn=n+(n-1)+…+2 + 1.
Suma las dos fórmulas. Dado que la suma de los términos correspondientes en el lado derecho de la ecuación es n+1,
∴2 Sn=n(n+1), eso es, Sn=n (n+1).
Explique que este método también se llama suma gaussiana.
2. Resta por desplazamiento
Si {an} es una secuencia aritmética y {bn} es una secuencia geométrica, entonces se puede restar la suma de los primeros n términos de {anbn}. utilizando la dislocación.
Ejemplo 2 Suma S =
Multiplica la fórmula original por la razón común para obtener la solución:
Número de serie =
Original fórmula Restando de la fórmula anterior, dado que los denominadores de los elementos correspondientes después de la desalineación son los mismos, se pueden combinar.
∴Sn- Sn= +
Es decir, Sn=3.
Generalmente, cuando la razón común {bn} de la serie geométrica es q, la esencia de la resta de dislocaciones es la suma de "Sn- qSn".
3. Método de acumulación
Ejemplo 3 suma Sn=
Extraída del análisis
Supongamos k=1, 2, 3,. ..,n se obtiene.
2 -1 =3?1 +3?1+1
3 -2 =3?2 +3?2+1
4 -3 =3?3 +3?3+1
(n+1) -n =3n +3n+1
Dividir los dos anteriores lados Sumar para obtener:
(n+1)-1 = 3(1+2+…+n)+3(1+2+3+…+n)+n
=3Sn+ n(n+1)+n
Entonces sn = n (n+1) (2n+1).
Piensa si este método se puede utilizar para derivar la fórmula para la suma de cubos de números naturales:
La acumulación de marcación es (k+1) =k +4k +6k +4k+1.
Método de derivación inductiva de la fórmula de suma de potencias de números naturales.
Cuarto método de terminología dividida
Comience desde términos generales y busque patrones, a veces plegando términos generales para que
Después de obtener los términos plegados, pueda Cancelar o volver a tipos básicos.
(1) Dividir grupos de proyectos
Ejemplo 4 Encuentra la suma de los primeros n elementos de la secuencia:
.
El análisis comienza con el término general, a =,
Luego an = =.
Se puede observar que cada término se puede dividir en un término constante y la suma de una serie geométrica. Si los primeros n elementos de la secuencia original son Sn, entonces
Número de serie =
(2) Las grietas se cancelan entre sí
Ejemplo 5 suma: S =
Análisis de la consideración general:,
Entonces, después de dividir cada elemento, los elementos adyacentes pueden anularse entre sí.
Es decir, s =
El ejemplo 5 demuestra que tgx tg2x+TG 2 XT g3x+…+TG(n-1)XT gnx =-1.
Observe las características estructurales de la fórmula, la diferencia de ángulo entre los dos factores de la izquierda.
Para un valor fijo x, partiendo del término general, ¿puede aparecer la diferencia entre estos dos ángulos en el término dividido?
Considera una variación de la fórmula de la función tangente para la diferencia entre dos ángulos.
De hecho, tg(k-1)xtgkx= -1,
Supongamos k = 2, 3,..., n, y varias adiciones conducirán a la conclusión.