xn-PXn-1+QXn-2 = 0-(1)
Conviértalo al siguiente formato (método de coeficiente indeterminado):
Xn-A * Xn-1 = B(Xn-1-AXn-2)-(2)
Amplía la fórmula (2) y compárala con la fórmula (1) Comparar elementos:
A+B=P - (3)
A*B=Q - (4)
Entonces A y B son x 2-px +q=0. Suponemos A=α, B=β.
Xn-α* n-2, n-3,...,4,3, obtenemos:
Xn-1-α* Xn-2 =β(Xn -2-αXn-3)-(5.1)
Xn-2-α*Xn-3=β(Xn-3-αXn-4) - (5.2)
Xn -3-α*Xn-4=β( Xn-4-αXn-5) - (5.3)
......
X4-α*X3=β (X3-αX2) - (5.n- 4)
X3-α*X2=β(X2-αX1) - (5.n-3)
(5) * (5.1) * (5.2) * (5.3 ) * ...* (5.n-4) * (5.n-3) y eliminar los mismos elementos:
xn-α*xn -1=(x2-αx1)*β^ (n-2)
xn=(x2-αx1)*β^(n-2)+α* xn-1
=(x2-αx1)*β^( n-2)+(x2-αx1)*β^(n-3)*α+α^2*xn-2
=(x2- αx1)*β^(n-2)+ (x2-αx1)*β^(n-3)*α+(x2-αx1)*β^(n-4)*α^2+α^2*xn -2
.. ....
=(x2-αx1)*β^(n-2)+(x2-αx1)*β^(n-3) *α+(x2-αx1)*β^ (n-4)*α^2+...+(x2-αx1)*β^(n-m)*α^(m-2)+...+( x2-αx1)*α^(n-2 )+α^(n-1)*x1
La suma de la serie geométrica (relación común: α/β)+α (n-1) * x1
El proceso es más complicado, se recomienda consultar:
La derivación de la fórmula general de la secuencia de Fibonacci:
Secuencia de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21...
Supongamos que F(n) es el enésimo término de la serie (n∈N+), entonces esta oración se puede escribir en la siguiente forma:
F(1)= F(2)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3)
Obviamente, esta es una secuencia recursiva lineal
Método 1 de derivación de fórmulas generales: usando ecuaciones características
La ecuación característica de una secuencia recursiva lineal es:
X^2=X+1
Resolver
X1=(1+√5)/2, X2=(1-√5)/2.
Entonces f (n) = c1 * x1 n+C2 * x2 n
∫F(1)= F(2)= 1
∴C1*X1 +. C2*X2
C1*X1^2 + C2*X2 ^2
La solución es C1=1/√5, C2=-1/√5.
∴f(n)=(1/√5)* {[(1+√5)/2]n-[(1-√5)/2]n }√5 representa la raíz firmar 5.
Método de derivación 2 de la fórmula general: método ordinario
Supongamos constantes r, s
Supongamos f(n)-r * f(n-1) = s *[f(n-1)-r * f(n-2)]
Entonces r+s=1, -rs=1.
Cuando n≥3, hay
F(n)-r * F(n-1)= s *[F(n-1)-r * F(n -2)]
F(n-1)-r * F(n-2)= s *[F(n-2)-r * F(n-3)]
F(n-2)-r * F(n-3)= s *[F(n-3)-r * F(n-4)]
……
F(3)-r * F(2)= s *[F(2)-r * F(1)]
Multiplica las n-2 expresiones anteriores para obtener:
f(n)-r*f(n-1)=[s^(n-2)]*[f(2)-r*f(1)]
∫ s = 1-r, F(1)=F(2)=1
La fórmula anterior se puede simplificar a:
f(n)=s^(n- 1 )+r*f(n-1)
Entonces:
f(n)=s^(n-1)+r*f(n-1)
p>= s^(n-1)+r*s^(n-2)+r^2*f(n-2)
= s^(n-1) + r*s^(n-2)+r^2*s^(n-3)+r^3*f(n-3)
……
= s ^(n-1)+r*s^(n-2)+r^2*s^(n-3)+……+r^(n-2)*s+r^(n-1) * f(1)
= s^(n-1)+r*s^(n-2)+r^2*s^(n-3)+……+r^(n - 2)*s+r^(n-1)
(Esto se basa en S (n-1) como primer término, R (n-1) como último término y r/ s como la suma de capacidad de los términos de una serie geométrica de diferencias).
=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s)
=(s^n - r^n)/(s-r)
Las soluciones de R+S = 1 y -RS = 1 son S = (1+√ 5)/2, R = (1-√ 5)/2 .
Entonces f(n)=(1/√5)* {[(1+√5)/2]n-[(1-√5)/2]n }