1. Colección completa de fórmulas de inducción para matemáticas de secundaria:
Las fórmulas de inducción más utilizadas incluyen los siguientes grupos:
Fórmula 1:
Sea α Para cualquier ángulo, los valores de la misma función trigonométrica de ángulos con los mismos lados terminales son iguales:
sin (2kπ+α) = sinα (k∈Z)
cos (2kπ+α) = cosα (k ∈Z)
tan (2kπ+α)=tanα (k∈Z)
cot (2kπ+α) =cotα (k∈Z)
Fórmula 2:
Supongamos que α es un ángulo arbitrario, la relación entre el valor de la función trigonométrica de π+α y el valor de la función trigonométrica de α:
sin(π+α)=-sinα
cos（π＋α）＝－cosα
tan（π＋α）＝tanα
cot（π＋α）＝cotα
Fórmula 3:
La relación entre los valores de la función trigonométrica de cualquier ángulo α y -α:
sin (- α) = -sinα
cos (-α) = cosα
tan (-α) = -tanα
cot (-α) = -cotα
Fórmula 4:
Usando la fórmula 2 y la fórmula 3, podemos obtener La relación entre los valores de la función trigonométrica de π-α y α:
sin (π-α) = sinα
cos (π-α) = -cosα
tan (π-α) = -tanα
cot ( π-α) = -cotα
Fórmula 5:
Usa la fórmula 1 y la fórmula 3 Se puede obtener la relación entre los valores de la función trigonométrica de 2π-α y α :
sin (2π-α) = -sinα
cos (2π-α) = cosα
tan（2π－α）＝－tanα
cot（2π－α）＝－cotα
Fórmula 6:
π/2± La relación entre α y 3π/2±α y el valor de la función trigonométrica de α:
sin (π/2+α)=cosα
cos (π/2+α)=-sinα
tan（π/2＋α ）＝－cotα
cot（π/2＋α）＝－tanα
sin（π/2－α）＝cosα
cos（π/2－ α）＝sinα
tan（π/2－α）＝cotα
cot（π/2－α）＝tanα
sin（3π/2＋α ）＝－cosα
cos（3π/2＋α）＝sinα
tan（3π/2＋α）＝－cotα
cot（3π/2＋α）＝－ tanα
sin（3π/2－α）＝－cosα
cos（3π/2－α）＝－sinα
tan（3π/2－ α）＝cotα
cot（3π/2－α）＝tanα
(k∈Z arriba)
Nota: Al resolver el problema, es Es más fácil hacerlo tratando a como un ángulo agudo.
Consejos para la memoria de fórmulas inducidas
※Resumen de reglas※
Las fórmulas inducidas anteriores se pueden resumir como:
Para π/ 2*k El valor de la función trigonométrica de ±α(k∈Z),
①Cuando k es un número par, se obtiene el valor de la función α con el mismo nombre, es decir, el nombre de la función no cambiar;
②Cuando k es un número impar, se obtiene el valor de cofunción correspondiente de α, es decir, sin→cos; /p>
(cambios de impar a par sin cambios)
Luego agregue delante el signo del valor de la función original cuando α se considera un ángulo agudo.
(Ver el cuadrante para símbolos)
Por ejemplo:
sin(2π-α)=sin(4·π/2-α), k =4 es un número par, así que toma senα.
Cuando α es un ángulo agudo, 2π-α∈(270°, 360°), sin(2π-α)<0, el símbolo es "-".
Entonces sin(2π-α)=-sinα
La fórmula de memoria anterior es:
De impar a par no cambia, el símbolo depende del cuadrante .
El símbolo en el lado derecho de la fórmula es cuando α se considera un ángulo agudo, el ángulo k·360°+α (k∈Z), -α, 180°±α, 360° -α
El signo del valor de la función trigonométrica original en el cuadrante se puede memorizar
El nombre inducido horizontal permanece sin cambios; el signo depende del cuadrante.
#
¿Cómo juzgar los símbolos de varias funciones trigonométricas en los cuatro cuadrantes? También puedes recordar la fórmula "uno es todo positivo; dos es seno (cosecante); tres es tangente; cuatro es tangente Coseno (Secante)".
El significado de esta fórmula de doce caracteres es:
Los valores de las cuatro funciones trigonométricas de cualquier ángulo del primer cuadrante son "+";
En el segundo cuadrante, solo el seno es "+", y el resto son "-";
En el tercer cuadrante, la función inscrita es "+", y la función de cuerda es "-" ;
En el cuarto cuadrante, solo el coseno es "+", y el resto son todos "-".
La fórmula de memoria anterior es: un seno perfecto, dos senos, tres inscritos, cuatro cosenos
#
También hay una forma de definir lo positivo según al tipo de función Negativo:
Tipo de función primer cuadrante segundo cuadrante tercer cuadrante cuarto cuadrante
Seno..........+..... ... ..＋............——...——........
Coseno.. .......＋.. ..........——............——............＋.....
Tangente............＋............--- ..＋............—— ........
Cotangente.................＋..... ...... .—............＋............——........
Igual que las relaciones básicas de angulares funciones trigonométricas
Relaciones básicas de funciones trigonométricas del mismo ángulo
Relaciones recíprocas:
tanα ·cotα＝1
sinα ·cscα ＝1
cosα ·secα＝1
La relación entre cocientes:
sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα
cosα /sinα=cotα=cscα/secα
Relación cuadrada:
sin^2(α)+cos^2(α)=1
1+tan ^2 (α)＝sec^2(α)
1+cot^2(α)＝csc^2(α)
Método de memoria hexagonal para la relación entre congruentes trigonométricos funciones
Método de memoria hexagonal: (ver imágenes o enlaces de referencia)
La construcción se basa en el hexágono regular de "cuerda superior, corte medio, corte inferior; izquierda derecha, resto derecho , y el medio de 1" como modelo.
(1) Relación recíproca: las dos funciones en la diagonal son recíprocas entre sí.
(2) Relación de cociente: el valor de la función en cualquier vértice del hexágono es igual a; El producto de los valores de la función en sus dos vértices adyacentes.
(principalmente el producto de los valores de la función trigonométrica en ambos extremos de las dos líneas de puntos). A partir de esto, se puede obtener la relación del cociente.
(3) Relación cuadrática: En un triángulo sombreado, la suma de los cuadrados de los valores de la función trigonométrica en los dos vértices superiores es igual al cuadrado del valor de la función trigonométrica en los vértices inferiores.
La fórmula de la suma y diferencia de dos ángulos
La fórmula trigonométrica de la suma y diferencia de dos ángulos
sen (α+β)=sinαcosβ +cosαsinβ
sin ( α-β) = sinαcosβ-cosαsinβ
cos (α+β) = cosαcosβ-sinαsinβ
cos (α-β) = cosαcosβ+sinαsinβ
tan (α+β)＝ (tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)
tan (α-β)=(tanα-tanβ)/(1 +tanα·tanβ)
Fórmula de ángulos dobles
Fórmulas para seno, coseno y tangente de ángulos dobles (fórmulas para ángulos ascendentes y contraídos)
sin2α＝2sinαcosα
cos2α＝cos^2(α)-sin^2(α )=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)
tan2α=2tanα /[1-tan^2(α)]
Fórmula de medio ángulo
Fórmulas de seno, coseno y tangente de medio ángulo (fórmula de expansión de potencia reductora)
sin^2(α/2)=(1-cosα)／2
cos^2(α/2)＝(1＋cosα)／2
tan^2(α /2)＝(1－cosα)／(1＋cosα)
También existe tan (α/2)=(1-cosα)/sinα=sinα/(1+cosα)
Fórmula universal
Fórmula universal
sinα=2tan( α/2)/[1+tan^2(α/2)]
cosα= [1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2) ]
tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/ 2)]
Derivación de fórmula universal
Derivación adjunta:
sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α ))...*,
(porque cos^2(α) +sen^2(α)=1)
Luego divide la fracción * hacia arriba y hacia abajo por cos^ 2(α), podemos obtener sin2α=2tanα/(1+tan^2(α))
Luego reemplaza α con α/2.
De la misma forma se puede derivar la fórmula universal del coseno. La fórmula universal de la tangente se encuentra comparando el seno con el coseno.
Fórmula del triple del ángulo
Las fórmulas del seno, coseno y tangente del triple del ángulo
sin3α＝3sinα－4sin^3(α)
cos3α＝4cos^3(α)-3cosα
tan3α＝[3tanα-tan^3(α)]／[1-3tan^2(α)]
Derivación de la fórmula del ángulo tres veces
Derivación adjunta:
tan3α＝sin3α/cos3α
=(sin2αcosα＋cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)
=(2sinαcos ^2(α)+cos^2(α)sinα-sin^3(α))/(cos^3(α)-cosαsin^2(α)-2sin^2(α )cosα)
Dividimos por cos^3(α) como arriba y abajo, obtenemos:
tan3α=(3tanα-tan^3(α))/(1-3tan ^2(α))
sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα
=2sinαcos^2(α)+(1-2sin^2(α)) sinα
=2sinα-2sin^3(α )+sinα-2sin^3(α)
=3sinα-4sin^3(α)
cos3α ＝cos(2α+α)＝cos2αcosα-sin2αsinα
= (2cos^2(α)-1)cosα-2cosαsin^2(α)
=2cos^3(α )-cosα+(2cosα-2cos^3(α))
=4cos^3(α)-3cosα
Es decir,
sin3α＝3sinα -4sin^3(α)
cos3α＝4cos^3(α) -3cosα
Memoria asociativa de la fórmula del ángulo tres veces
★Método de memoria: homofonía , asociación
Seno tres veces el ángulo: 3 yuanes menos 4 yuanes y 3 jiao (tengo una deuda (reducida a un número negativo), por lo que tenemos que "ganar dinero" (suena como "seno" ))
Coseno tres veces el ángulo: 4 yuanes y 3 monedas de diez centavos menos 3 yuanes (hay un "resto" después de la resta)
☆☆Preste atención al nombre de la función, que es decir, tres veces el ángulo del seno se expresa mediante seno y tres veces el ángulo del coseno se expresa mediante coseno.
★Otra forma de recordar:
Tres veces el ángulo del seno: Shanwu Commander (homónimo de "三无四里") Tres dedos significa "3 veces" sinα, y cero significa menos, cuatro se refiere a "4 veces" y vertical se refiere al cubo sinα
Ángulo triple coseno: Commander Wushan es el mismo que el anterior
Fórmula del producto de suma y diferencia.
Fórmula del producto de sumas y diferencias de funciones trigonométricas
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ =2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
cosα+cosβ＝2cos[(α+β)/2] ·cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
Fórmula de integración y diferencia
Funciones trigonométricas La fórmula del producto y diferencia
sinα ·cosβ=0.5[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosα ·sinβ=0.5[sin(α+β)-sin( α-β)]
cosα ·cosβ＝0.5[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinα ·sinβ＝-0.5[cos(α+β)-cos( α-β)]
Derivación de la fórmula del producto suma-diferencia
Adjunto derivación:
En primer lugar, sabemos que sin(a+b)=sina*cosb+ cosa*sinb, sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb
Cuando sumamos las dos ecuaciones, obtenemos sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb
Por lo tanto, sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/ 2
De la misma manera, si restas las dos ecuaciones, obtienes cosa*sinb=(sin( a+b)-sin(a-b))/2
De manera similar, también sabemos que cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina *sinb
Entonces, sumando las dos ecuaciones, podemos obtener cos( a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb
Entonces obtenemos, cosa* cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2
De la misma forma, restando las dos ecuaciones, obtenemos sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b ))/2
De esta forma, obtenemos las cuatro fórmulas de producto y diferencia:
sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)) /2
cosa*sinb=(sin(a+b)-sin (a-b))/2
cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b ))/2
sina*sinb=-(cos(a+b )-cos(a-b))/2
Bien, tenemos cuatro fórmulas para producto y diferencia. De ahora en adelante, solo necesitamos una deformación para obtener las cuatro fórmulas del producto suma-diferencia.
Establecemos a+b en las cuatro fórmulas anteriores como x y a-b como y, entonces a= (x+y)/2,b=(x-y)/2
Expresando a y b como x e y respectivamente, podemos obtener las cuatro fórmulas del producto suma-diferencia:
sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y )/2)
cosx+cosy=2cos((x+y)/2 )*cos((x-y)/2)
cosx-cosy=-2sin((x +y)
/2)*sin((x-y)/2)