Cuando el conjunto de números se extiende al rango real, todavía hay algunas operaciones que no se pueden realizar (por ejemplo, elevar un número negativo a una potencia par). Para que la ecuación tenga solución, ampliamos nuevamente el conjunto de números.
Defina un par ordenado binario z=(a,b) en el campo de números reales y estipule que hay operaciones "+" y "x" entre los pares ordenados (nota z1=(a,b) ), z2=(c, d));
z1 + z2=(a+c, b+d)
z1 × z2=(ac-bd, bc+ad )
Es fácil verificar que todos los pares ordenados definidos de esta manera forman un campo bajo la suma y multiplicación de pares ordenados. Para cualquier número complejo Z, tenemos
z=. (a, b) =(a, 0) + (0, 1) × (b, 0)
Supongamos que f es una aplicación del dominio de los números reales al dominio de los números complejos, f(a) = (a, 0), entonces este mapeo La suma y la multiplicación se mantienen en el dominio de los números reales, por lo que el dominio de los números reales puede incrustarse en el dominio de los números complejos y puede considerarse como un subcampo del dominio de los números complejos.
Recuerda (0, 1) = i, entonces según la operación que definimos, (a, b) = (a, 0) + (0, 1) × (b, 0) = a+ bi , i× i = (0, 1) >(A y B son números reales arbitrarios)
Al número complejo lo llamaremos A en la parte real del número complejo Z, denotado REZ = A.
El número real b se llama parte imaginaria del número complejo z, denotado como imz = B.
Cuando a=0 y b≠0 y z=bi, llamamos es un número imaginario puro.
El conjunto de los números complejos está representado por C, y el conjunto de los números reales está representado por R. Evidentemente, R es un subconjunto propio de C.
Los conjuntos complejos están desordenados y no se puede establecer el orden de tamaño.
El módulo de un número complejo
El valor de la raíz cuadrada positiva de la suma de los cuadrados de las partes real e imaginaria de un número complejo se llama módulo de un número complejo número y se expresa como ∣z∣.
Es decir, para números complejos
, su módulo
Para números complejos
, se llama número complejo
=a- bi es el * * * número complejo complejo de z, es decir, dos números complejos con partes reales iguales y partes imaginarias opuestas son números complejos conjugados. El yugo complejo de un número complejo z se escribe como
. Según la definición, si
(a, b∈R), entonces
=a-bi(a, b∈R).* * *El punto correspondiente al yugo El número complejo tiene que ver con la simetría axial real. Dos números complejos: x+yi y x-yi se llaman * * * números complejos unidos. Sus partes reales son iguales y sus partes imaginarias son opuestas. En el plano complejo, los puntos que representan los números complejos de los dos yugos son simétricos con respecto al yugo". Si x+yi está representado por z, entonces agregar un "uno" a la palabra z es x-yi, y viceversa.
* * * Los números complejos de yugo tienen algunas propiedades interesantes:
En una función compleja, la variable independiente z se puede escribir como
, r es el módulo de z, es decir r = | z |θ es el ángulo radial de z, denotado como Arg(z). El ángulo de divergencia entre -π y π se denomina valor principal del ángulo de divergencia y se registra como: arg(z) (a minúscula).
El ángulo radial de cualquier número complejo distinto de cero
tiene infinitos valores que se diferencian en múltiplos enteros de 2π. Aplicable a -π≤θ
Forma exponencial:
Regla de la suma
Regla de la suma para números complejos: Sea z1=a+bi, z2=c+di ser dos números complejos cualesquiera. La parte real de la suma es la suma de las partes reales de los dos números complejos originales, y su parte imaginaria es la suma de las dos partes imaginarias originales. La suma de dos números complejos sigue siendo un número complejo.
Es decir,
La regla de la multiplicación
La regla de la multiplicación compleja: multiplicar dos números complejos es similar a multiplicar dos polinomios. En el resultado, i2 = -1 y combine las partes real e imaginaria por separado. El producto de dos números complejos sigue siendo un número complejo.
Es decir,
Regla de división
La definición de división compleja: satisface
Números complejos
Nosotros llame a números complejos a+ El cociente de bi dividido por el número complejo c+di.
Método de operación: multiplica el numerador y el denominador por el yugo complejo * * * del denominador al mismo tiempo y luego opera de acuerdo con la regla de multiplicación.
Es decir,
regla de prescripción
Si Zn = r(cosθ+isθ), entonces
(k=0, 1 , 2, 3...n-1)
Leyes de la aritmética
Ley conmutativa de la suma: z1+z2=z2+z1.
Ley conmutativa de la multiplicación: z1×z2=z2×z1.
Ley asociativa de la suma: (z 1+z2)+z3 = z 1+(z2+z3)
Ley asociativa de la multiplicación: (z 1×z2)×z3 = z 1×(z2×z3)
Regla de distribución: z 1×(z2+z3)= z 1×z2+z 1×z3.
Mi poder manda
I4n+1 = i, i4n+2 =-1, i4n+3 =-i, i4n = 1 (donde n∈Z).
Todo número complejo que no sea cero tiene su potencia cero igual a uno.
Espero que te pueda ayudar a aclarar tus dudas.