¿No debería tender a ser 1 el límite condicional de Lyapunov para el examen de ingreso al posgrado en matemáticas? ¿Por qué es 0? La teoría del matemático y mecánico chino Lyapunov para analizar la estabilidad del sistema fue creada en 1892. Para los sistemas de control, la estabilidad es una cuestión básica que debe estudiarse. En el estudio de sistemas lineales invariantes en el tiempo, se utilizan muchos criterios, como el criterio de estabilidad algebraica y el criterio de estabilidad de Nyquist, para determinar la estabilidad del sistema. La teoría de la estabilidad de Lyapunov se puede utilizar para analizar la estabilidad de sistemas lineales y no lineales, sistemas de estado estacionario y sistemas variables en el tiempo al mismo tiempo. Es un método de análisis de estabilidad más general. La teoría de la estabilidad de Lyapunov se refiere principalmente al segundo método de Lyapunov, también conocido como método directo de Lyapunov. El segundo método de Lyapunov se puede utilizar para cualquier sistema de orden y la estabilidad se puede determinar directamente sin resolver la ecuación de estado del sistema. Para sistemas no lineales y sistemas que varían en el tiempo, a menudo es difícil resolver la ecuación de estado, por lo que el segundo método de Lyapunov muestra una gran superioridad. Al segundo método corresponde el primer método de Lyapunov, también conocido como método indirecto de Lyapunov, que determina la estabilidad de sistemas no lineales mediante el estudio de la distribución de valores propios de ecuaciones de estado linealizadas. El impacto del primer método es mucho menor que el del segundo método. En la teoría de control moderna, el segundo método de Lyapunov es el método principal para estudiar la estabilidad. No es solo una herramienta básica para estudiar cuestiones teóricas de los sistemas de control, sino también un método común para analizar la estabilidad de sistemas de control específicos. La limitación del segundo método de Lyapunov es que requiere considerable experiencia y habilidades de aplicación, y las conclusiones dadas son sólo condiciones suficientes para que el sistema sea estable o inestable; sin embargo, este método también puede resolver algunos sistemas no lineales cuando otros métodos no son efectivos; asuntos. Descripción general del desarrollo La teoría de la estabilidad de Lyapunov ha guiado la investigación y las aplicaciones de la estabilidad desde finales del siglo XIX. Muchos estudiosos han logrado nuevos avances en el segundo método siguiendo la línea de investigación iniciada por Lyapunov. Por un lado, el segundo método de Lyapunov se generaliza para estudiar la estabilidad de sistemas generales. Por ejemplo, en 1957, ви. Zubov utilizó el método de Lyapunov para estudiar la estabilidad de conjuntos invariantes en espacios métricos. Posteriormente, J.P. Lassall y otros estudiaron la estabilidad de Lyapunov de diversas formas de sistemas abstractos. En estos estudios, la descripción del sistema no se limita a ecuaciones diferenciales o ecuaciones en diferencias, el estado de movimiento de equilibrio se ha representado mediante conjuntos invariantes y las funciones de Lyapunov también se definen en un sentido más general. En 1967, D. Bushow estableció el segundo método de Lyapunov para caracterizar sistemas a nivel de conjuntos y mapas. En este momento, la función de Lyapunov no toma valores en el dominio de los números reales, sino que toma valores en la semired definida ordenadamente. El segundo método de Lyapunov, por otro lado, se utiliza para estudiar la estabilidad de sistemas grandes o sistemas multinivel. En este momento, la función de Lyapunov se generaliza a la forma vectorial, que se denomina función vectorial de Lyapunov. De esta manera se pueden establecer condiciones suficientes para la estabilidad de grandes sistemas. La esencia del movimiento perturbador y la estabilidad del estado de equilibrio del sistema es examinar si el movimiento perturbador causado por la perturbación del estado inicial del sistema puede acercarse o regresar al estado de equilibrio original. Si se utiliza x0 para representar la perturbación del estado inicial, el movimiento de perturbación es la solución de la ecuación de estado del sistema è = f (x, t) cuando es perturbado por x (t0) = x0 en el tiempo inicial t0. donde x es un vector de estado de n dimensiones y f(x,t) es una función vectorial no lineal de n dimensiones con x y el tiempo t como variables independientes. Bajo ciertas condiciones, esta ecuación de estado tiene una solución única. El movimiento de perturbación del sistema cambia con el tiempo t, y su cambio está directamente relacionado con la perturbación inicial x0 y el tiempo de acción t0. Matemáticamente, se expresa como una función vectorial que depende de estas cantidades, denotada como φ (t; x0, t0). En el espacio de estados cuyos componentes son ejes de coordenadas, a medida que aumenta el tiempo t, el movimiento perturbado φ(t; X0, t0) es la trayectoria que comienza en x0. El estado de equilibrio es el estado de movimiento del sistema cuando está relativamente estacionario, representado por xe. Su característica es que la derivada respecto del tiempo es siempre igual a cero, lo cual se puede determinar resolviendo la ecuación de la función f(xe, T) = 0. Para facilitar la expresión y el análisis, el punto de equilibrio xe a menudo se define como el origen del espacio de estados, lo que se puede lograr mediante una transformación de coordenadas adecuada. Por tanto, el segundo método de Lyapunov puede reducirse a estudiar la estabilidad de la trayectoria del movimiento perturbado en relación con el origen del espacio de estados.