21 Estrategias para resolver problemas verbales de permutación y combinación
Las preguntas de permutación y combinación son una pregunta obligatoria para el examen de ingreso a la universidad. Es animada e interesante en relación con la realidad, pero la pregunta. los tipos son diversos, las ideas son flexibles y no es fácil de dominar. Está demostrado que dominar los tipos de preguntas y los métodos de resolución de problemas, identificar patrones y usarlos hábilmente es una forma efectiva de resolver problemas verbales de permutación y combinación. sobre las estrategias de resolución de problemas de permutación y combinación.
1. Método de agrupación de problemas vecinos: la pregunta estipula que varios elementos adyacentes se agrupan en un grupo y se tratan como un elemento grande para participar en la disposición. .
Ejemplo 1. Cinco personas se paran una al lado de la otra en una fila. Si deben estar adyacentes y en el lado derecho de Y está fijo en el lado derecho de Organice todos los elementos sin requisitos de posición, y luego inserte los elementos separados especificados en los espacios y extremos de los elementos anteriores.
Ejemplo 2. Siete personas están una al lado de la otra en una línea Si A y B Los dos no deben ser adyacentes, entonces el número. de diferentes arreglos es ( )
A, 1440 B, 3600 C, 4820 D, 4800
Análisis: excepto A y B, los 5 números de arreglo restantes son especies, y luego use A y B para insertar 6 vacantes con especies. Los números de diferentes arreglos son especies, elija.
3. Método de reducción para problemas de secuencia: en el problema de arreglo, ciertos elementos deben restringirse a un determinado. orden, y se puede utilizar el método de reducción del múltiplo.
Ejemplo 3. Cinco personas se paran una al lado de la otra en una fila. Si deben pararse en el lado derecho de (no pueden estar adyacentes), entonces. El número de tipos de disposición diferentes es ( )
A, 24 tipos de B, 60 tipos de C, 90 tipos de D, 120 tipos
Análisis: Disposición en el lado derecho de y en el lado izquierdo de Los números son los mismos, por lo que la disposición en la pregunta es solo la mitad de la disposición total de los cinco elementos, es decir, elija.
4. para problemas de clasificación de etiquetas: Organice los elementos en la posición especificada. Primero, puede organizar un determinado elemento de acuerdo con las regulaciones y luego organizar otro elemento en el segundo paso. Continúe de esta manera para completar el orden.
Ejemplo 4. Complete los números 1, 2, 3 y 4 en las etiquetas. En los cuatro cuadrados de 1, 2, 3 y 4, complete un número en cada cuadrado. Luego, el número de cada cuadrado es diferente. del número completado. Los métodos de llenado son ( )
A 6 tipos de B, 9 tipos de C, 11 tipos de D, 23 tipos
Análisis: Primero complete. el 1 en el cuadrado Hay 3 formas de cumplir las condiciones. El segundo paso es completar el cuadrado. Hay tres formas de completar los otros tres cuadrados con los números correspondientes, en el tercer paso. para completar los dos números restantes ***Hay 3 × 3 × 1 = 9 formas de completar. Seleccione.
5. elementos en varios grupos y se puede utilizar el método de agrupación paso a paso.
Ejemplo 5. (1) Hay A, B y C. Una tarea debe ser realizada por 2 personas, y B y C deben ser realizados cada uno por una persona. Se seleccionan cuatro personas entre 10 personas para realizar estas tres tareas. El número de métodos de selección diferentes es ( )
A, 1260 B. 2025 especies C. , 2520 especies D, 5040 especies
Análisis: primero seleccione 2 personas de 10 personas para realizar la tarea A, y luego seleccione 1 persona de las 8 personas restantes para realizar la tarea B. El tercer paso es seleccione 1 persona de las otras 7 personas para realizar la tarea C. Existen diferentes métodos de selección. Seleccionar.
(2) 12 estudiantes fueron a tres intersecciones diferentes para realizar el flujo de tráfico. hay 4 personas en cada intersección, los diferentes planes de distribución son ( )
A, especie B, especie C, especie D, especie
Respuesta: .
6. Método de agrupación para problemas de asignación de todos los estudiantes:
Ejemplo 6. (1) Los 4 estudiantes sobresalientes se recomiendan a 3 escuelas, y al menos uno de cada escuela se recomendará de manera diferente. hay?
Análisis: Hay una manera de dividir a cuatro estudiantes en 3 grupos y luego dividir los tres grupos en
Hay una manera de asignar estudiantes a tres escuelas, entonces hay una manera.
Explicación: Cuando hay más elementos que objetos para asignar y cada objeto tiene elementos para asignar, se suele usar para agrupar dígalos primero y luego asígnelos.
(2) 5 libros diferentes, todos entregados a 4 estudiantes, cada estudiante tiene al menos un libro, el número de métodos de división diferentes es ( )
A, 480 B, 240 Tipo C, 120 tipos D, 96 tipos
Respuesta: .
7. Método de partición para el problema de asignación de cuotas:
Ejemplo 7: 10 cupos para tres buenos estudiantes Divididos en 7 clases, cada clase tiene al menos una plaza ¿Cuántos planes de asignación diferentes hay?
Análisis: 10 lugares se dividen en 7 clases, es decir, los 10 lugares se consideran como 10 bolitas idénticas divididas en 7 montones, con al menos una en cada montón, que se pueden colocar en los 9 espacios vacíos de las 10 bolas pequeñas. Inserte 6 tablas de madera en el medio, y cada método de inserción corresponde a un plan de asignación, por lo que existen diferentes planes de asignación.
8. /p >
Ejemplo 8. Una universidad selecciona a 4 de cada 10 graduados destacados de un determinado departamento para ir a cuatro ciudades occidentales a participar en el desarrollo económico y la construcción del oeste de China. Entre ellos, el estudiante A no está en Yinchuan y. El estudiante B no está en Xining. ¿Cuántas *** opciones de envío diferentes?
Análisis: Debido a que A y B tienen restricciones, se clasifican según incluyan a A y B. Existen las siguientes cuatro situaciones:
① Si ni A ni B participan, hay un plan de envío; ② Si A participa pero B no participa, primero organice A con tres métodos y luego organice a los otros estudiantes con métodos, de modo que *** tenga; existe el mismo método; ④ Si A y B participan, entonces organizamos A y B primero. Hay 7 métodos, y luego organizamos a las 8 personas restantes en las otras dos ciudades. Entonces *** tiene métodos diferentes. métodos de envío. El número total es especie.
9. Método de clasificación de problemas multivariados: hay muchos elementos y hay muchas formas de eliminarlos. Se pueden dividir en varias categorías incompatibles y contarlas por separado. a los requisitos del resultado y se realiza el total final.
El ejemplo 9 (1) consiste en que los números 0, 1, 2, 3, 4 y 5 forman un número de seis dígitos sin números repetidos. Los que tienen un solo dígito menor a diez dígitos son ( )
A, 210 B, 300 C, 464 D, 600 tipos
Análisis: Según el significado de la pregunta, el un solo dígito solo puede ser 0, 1, 2, 3, 4*** 5 situaciones, hay una,
Combina un total de 300, elige.
(2. ) De los 100 números 1, 2, 3..., 100, elige dos números cualesquiera para que su producto pueda dividirse entre 7. Estos dos números ¿Cuántas formas hay de obtener números (sin importar el orden)?
Análisis: Cuando al menos uno de los dos números tomados es divisible por 7, su producto puede ser divisible por 7. El conjunto de estos 100 números se considera como el conjunto completo I, que se puede dividir por 7. El conjunto de números que son divisibles uniformemente se denota como *** y tiene 14 elementos. El conjunto de números que no son divisibles por 7 se denota como *** y tiene 86 elementos. formas de elegir 2 elementos cualesquiera. Elija uno y elija cualquiera de ellos. Hay dos formas de elegir las dos situaciones que cumplan con los requisitos.
(3) De los 100 números 1, 2. , 3,...,100 ¿Cuántas formas (independientemente del orden) hay de elegir dos números cualesquiera para que su suma sea divisible por 4?
Análisis: Se dividirá en cuatro subconjuntos disjuntos, el conjunto de números que se pueden dividir uniformemente entre 4; el conjunto de números que se pueden dividir entre 4 con resto 1, el conjunto de números que se puede dividir por 4 con resto 2, el conjunto de números que se puede dividir por 4 con resto 2 Dividiendo los conjuntos de números con resto 3, es fácil ver que cada uno de estos cuatro conjuntos tiene 25 elementos escogiendo cualquiera; dos números de ellos también son consistentes con los requisitos; elegir un número de cada uno de ellos también es consistente con los requisitos; además, otros métodos no cumplen con los requisitos; hay ciertos métodos que cumplen con los requisitos.
10. Método de conjunto de problemas cruzados: algunos problemas de permutación y combinación tienen intersecciones entre varias partes y el número de elementos se puede encontrar en la fórmula numérica.
Ejemplo 10. Seleccione 4 atletas de 6 atletas para participar en la carrera de relevos de 4×100 metros. Si A no corre el primer tramo y B no corre el cuarto tramo, ¿cuántos *** Diferente. opciones de entrada?
Análisis: Supongamos que el conjunto completo = {el arreglo de 4 de 6 personas que participan en la competencia}, A = {el arreglo de la primera etapa de la carrera A}, B = {el arreglo de la cuarta etapa de la carrera B}, según La fórmula para encontrar el número de elementos de un conjunto tiene parámetros
Existen:
tipos de métodos de competencia.
11. Método de priorización de cuestiones de posicionamiento: si se van a disponer uno o varios elementos en una posición determinada, se puede colocar éste o varios elementos. ordenados primero. y luego organizar otros elementos.
Ejemplo 11.1 maestro y 4 estudiantes premiados se alinearon en fila para tomar fotografías ¿Cuántos arreglos diferentes habría si los maestros no se pararan en ambos extremos?
Análisis: Hay una manera para que el maestro elija una de las tres posiciones intermedias, y hay una manera para que los cuatro estudiantes elijan una de las cuatro posiciones restantes entonces *** hay una; forma. .
12. Método de una sola fila para problemas de varias filas: el problema de organizar elementos en varias filas puede considerarse como una sola fila y luego procesarse en secciones.
Ejemplo 12. (1) 6 elementos diferentes están dispuestos en dos filas, con 3 elementos en cada fila. Entonces el número de arreglos diferentes es ( )
A, 36 Especies B. , 120 especies C, 720 especies D, 1440 especies
Análisis: las dos filas antes y después pueden considerarse como dos secciones de una fila, por lo que esta pregunta puede considerarse como 6 elementos diferentes dispuestos en una fila , ** * tipo, elige.
(2) 8 elementos diferentes están dispuestos en dos filas, delante y detrás, cada fila tiene 4 elementos, entre los cuales 2 elementos deben estar dispuestos en la fila delantera, y Se debe disponer 1 elemento en la parte trasera Organizar, ¿de cuántas maneras diferentes hay?
Análisis: Visto como una fila, un determinado elemento se clasifica en dos de las cuatro posiciones en la primera mitad, y hay un determinado elemento en una de las cuatro posiciones en la segunda. la mitad y el resto son amables. Hay especies en 5 posiciones cualesquiera de 5 elementos, por lo que hay una disposición de especies.
13. Utilice el método de eliminación indirecta o el método de clasificación para "al menos" y ". como máximo" preguntas:
Ejemplo 13. Seleccione 3 televisores cualesquiera entre 4 televisores tipo A y 5 televisores tipo B, entre los cuales debe haber al menos un televisor tipo A y tipo B. Los diferentes métodos de selección son : ( )
A, 140 tipos de B, 80 tipos de C, 70 tipos de D, 35 tipos
Análisis 1: Pensando a la inversa, al menos lo contrario de cada modelo es Solo hay que elegir un modelo y no el otro. Un tipo de televisor, por lo que hay diferentes formas de elegir.
Análisis 2: Al menos un televisor tipo A y otro tipo B se pueden dividir en dos situaciones: Tipo A 1 Hay 2 unidades de tipo B en Taiwán; 2 unidades de tipo A y 1 unidad de tipo B; por lo tanto, diferentes formas de seleccionar son Taiwán, Seleccionar.
14. primero y luego: seleccione los elementos que se ajusten al significado de la pregunta entre varios tipos de elementos. Para organizar varios elementos en determinadas posiciones, puede utilizar el método tomar primero y luego organizar.
Ejemplo 14. (1) Coloque cuatro bolas diferentes en cuatro cajas numeradas 1, 2, 3 y 4. ¿Cuántas formas hay de poner exactamente una caja vacía?
Análisis: Primero, tome dos de las cuatro bolas en un grupo, y existe un método para tomar una bola de cada uno de los otros dos grupos, y luego organice: Hay un método para organizar 3 bolas en las cuatro casillas cada vez, así que ** *Sí.
(2) 9 jugadores de tenis de mesa, incluidos 5 hombres y 4 mujeres, ahora van a realizar un entrenamiento de dobles mixtos. ¿Cuántos métodos de agrupación diferentes hay? ¿allá?
Análisis: Primero, se toman 2 atletas masculinos y femeninos cada uno, y están clasificados. Estos cuatro atletas practican dobles mixtos con el método de fila media, por lo que *** hay una clasificación determinada.
15. Se cumplen algunas de las condiciones. Método de eliminación de problemas: Entre los totales seleccionados, solo una parte cumple las condiciones. Puede restar el número que no cumple las condiciones del número total para obtener el resultado deseado.
Ejemplo 15. (1) Tome los vértices del cubo como vértices El tetraedro *** tiene ( )
A, 70 B, 64 C, 58 D, 52 tipos
Análisis: Tome cuatro de los 8 vértices del cubo cada vez. Los puntos pueden formar teóricamente un tetraedro, pero los cuatro vértices y caras de las seis superficies y las seis caras diagonales no pueden formar un tetraedro, por lo que hay en realidad solo un tetraedro.
(2) Los vértices del tetraedro y los puntos medios de cada arista son 10 puntos, y entre ellos se seleccionan 4 puntos que no son caras. Los diferentes métodos de selección son ( )<. /p>
A, 150 Tipo B, 147 tipos C, 144 tipos D, 141 tipos
Análisis: Elija 4 puntos de 10 puntos para tener una especie. Hay tres situaciones en las que cuatro. los puntos están uno frente al otro: ① En las cuatro caras del tetraedro, si hay cuatro puntos en cada cara, entonces habrá exactamente una de las cuatro caras ② Habrá 3 paralelogramos que pasarán por los puntos medios de cada lado del; cuadrilátero en el espacio; 3) Hay ***6 triángulos con tres puntos en el borde y el punto medio del borde opuesto. Por lo tanto, el número de casos en los que los cuatro puntos no están en la superficie es: 16. Método de disposición única para. Problema de disposición circular: las disposiciones en las que se colocan diferentes elementos en posiciones no numeradas alrededor de un círculo en diferentes órdenes (por ejemplo, en el sentido de las agujas del reloj) se consideran disposiciones diferentes, mientras que las disposiciones en el mismo orden (es decir, se pueden superponer rotándolas). ) se consideran iguales. La diferencia entre este y el arreglo ordinario es que solo se cuenta el orden y se dividen la primera y la última posición. Los siguientes arreglos ordinarios:
Es un solo tipo en la circular. disposición Debido a que puede superponerse después de la rotación, se considera que hay diferentes números de disposiciones circulares de elementos. Por lo tanto, un determinado elemento se puede expandir de forma fija en una sola fila y otros elementos se pueden organizar en una sola fila.
Todos los elementos están ordenados.
Ejemplo 16.5 Un par de hermanas se paran en un círculo. Se requiere que cada par de hermanas sea adyacente. ¿Cuántas formas diferentes de pararse hay?
Análisis: Primero, las cinco hermanas pueden pararse en círculo, dispuestas en círculo, y luego insertarlas en el medio. Cada persona puede insertar los lados izquierdo y derecho de su hermana. por lo que son diferentes. Hay tres métodos de disposición diferentes.
Explicación: Tome elementos de tres elementos diferentes y colóquelos en un círculo*** Hay tres métodos de disposición diferentes.
17. Método de exponenciación de permutación repetible: la característica de permitir permutaciones repetidas es que los elementos son el objeto de investigación. Los elementos no están restringidos por sus posiciones. Las posiciones de los elementos se pueden organizar una por una. organizar el número de diferentes elementos en diferentes posiciones.
Ejemplo 17. ¿Cuántas formas diferentes hay de asignar 6 pasantes a 7 talleres para pasantías?
Análisis: Hay 6 pasos para completar este asunto. El primer paso es asignar al primer pasante al taller de 7 maneras diferentes. El segundo paso es asignar al segundo pasante al taller. también 7 planos diferentes en el taller, y así sucesivamente. Según el principio de conteo de pasos, sabemos que hay 7 planos diferentes.
18. Método del modelo de construcción para problemas complejos de permutación y combinación:
p>
Ejemplo 18 Hay nueve farolas en la carretera, numeradas 1, 2, 3..., 9. Ahora necesitamos apagar tres de ellas, pero no podemos apagar las dos o tres luces adyacentes, ni podemos apagar las dos luces de ambos extremos ¿Cuál es la respuesta? ¿Cuántas formas de apagar las luces hay que cumplan las condiciones?
Análisis: trate este problema como un modelo de emparejamiento, inserte 3 luces que no encienden en los 5 espacios de 6 luces brillantes, de modo que haya 10 formas de apagar las luces que cumplan las condiciones.
Nota: Si algunos problemas de permutación y combinación difíciles de entender se pueden transformar en modelos familiares, como el modelo de llenar espacios en blanco, el modelo de cola y el modelo de boxeo, el problema se puede resolver fácilmente.
19. Elementos Para problemas de permutación y combinación con un número pequeño se puede considerar el método de enumeración:
Ejemplo 19. Hay cinco bolas numeradas 1, 2, 3, 4, 5 y cinco bolas numeradas 1, 2, 3. 4, 5 cajas Ahora coloque estas 5 bolas en 5 cajas. Cada caja requiere una bola, y resulta que hay dos bolas con el mismo número que el número de la caja. ?
Análisis: Saque 2 de las 5 bolas que coinciden con los números de caja, y las 3 bolas restantes no pueden corresponder a los 3 números de caja. Utilice el método de enumeración para analizar, si quedan 3 y 4. cuando la bola No. 5 se coloca en las casillas No. 3, 4 y 5, la bola No. 3 no se puede poner en la casilla No. 3. Cuando la bola No. 3 se coloca en la casilla No. 4, solo hay una manera de coloque las bolas 4 y 5 en la casilla No. 3. Al ingresar a la casilla No. 5, solo hay una forma de instalar las bolas 4 y 5, por lo que solo hay dos formas de instalar las tres bolas restantes, por lo que el número total de formas de instalarlos es.
20. Los métodos de síntesis y descomposición compleja también se pueden usar para problemas de permutación y combinación:
Ejemplo 20. (1) ¿Cuántos números pares diferentes pueden ser divisibles 30030? ¿por?
Análisis: Primero descomponga 30030 en forma de factores primos: 30030=2×3×5×7×11×13, según la pregunta se debe tomar el factor par 2, 3, 5, 7, 11, 13 Elija cualquier número de estos 5 factores para formar un producto, y todos los factores pares son
.
(2) ¿Cuántas líneas rectas se pueden formar conectando los 8 vértices del cubo?
Análisis: Dado que solo hay 3 pares de rectas con diferentes caras en el tetraedro, el problema se puede descomponer en cuántos tetraedros diferentes pueden formar los 8 vértices del cubo. Elige cuatro de ellos. los 8 vértices del cubo Hay tetraedros compuestos de vértices, por lo que hay 3×58=174 pares de rectas de diferentes caras que se pueden conectar por 8 vértices.
21. método de transformación: el pensamiento correspondiente es una parte permeable del libro de texto. Un método importante para la resolución de problemas, puede transformar problemas complejos en simples.
Ejemplo 21. (1) Hay 10 puntos en la circunferencia. de un círculo. Las cuerdas con estos puntos como extremos se cruzan en los puntos dentro del círculo. ¿Cuántos puntos de intersección hay?
Análisis: Debido a que las dos diagonales de un cuadrilátero inscrito de un círculo se cortan en un punto dentro del círculo, el cuadrilátero inscrito de un círculo corresponde a la intersección de dos cuerdas en un punto de intersección dentro del círculo, entonces la pregunta Simplemente conviértela en cuántos cuadriláteros diferentes se pueden determinar con 10 puntos en la circunferencia. Obviamente hay uno, por lo que hay 10 puntos en la circunferencia, y hay un punto de intersección en el círculo donde las cuerdas con estos puntos son. los puntos finales se cruzan.
(2) Una cuadra en una determinada ciudad consta de 12 rectángulos congruentes, en los que las líneas continuas representan carreteras. ¿Cuántos caminos más cortos hay de a?
Análisis: Un lado del rectángulo en la imagen se puede llamar sección corta
, tienes que caminar 7 secciones cortas desde la ruta más corta, incluyendo: 4 secciones hacia el este y 3 secciones hacia el norte y el final de la sección anterior está conectado con el comienzo de la siguiente sección, siempre y cuando; determina el método de caminar de 4 secciones hacia el este, puedes determinar el camino, por lo que hay diferentes movimientos.