Análisis: En esta pregunta, los cambios son los siguientes: ①El número de operaciones, es decir, el número de veces que se extrae la pelota ②La cantidad de bolas extraídas ③La cantidad de bolas que quedan en el; caja después de sacar cada bola; ④La cantidad de bolas que se devuelven cada vez Número de bolas ⑤La cantidad de bolas que se colocan en la caja cada vez ⑥La cantidad de bolas en la caja después de cada operación; Cada cantidad cambia con el número de operaciones. Por esta razón, las condiciones de cada operación se enumeran en una tabla, y las reglas de los datos se pueden encontrar en los datos de la tabla:
Tiempo de ejecución 123...10
El número de bolas extraídas es 1 2 3… 10.
El número de bolas que quedan en la caja es 0 ^ 27...a.
El número de bolas devueltas es 4 8 12...b
Will El número de bolas en la caja aumenta en 3 69...c
El número total de bolas es 4 10 19... D
En la tabla anterior, si Se pueden encontrar los datos de A, B, C y D. Entonces el problema está resuelto. De la tabla, es fácil obtener el resultado de que b es 4N yc es 3N. Entonces, el resultado de la D requerida es obvio: el número de bolas después de cada cambio es: 1, 1+3=4, 10=1+3+6, 1+3+6 = 65438+. Es decir, d es 166.
Nota: Al resolver este tipo de problemas, utilice una tabla para enumerar los resultados de cada proceso, luego observe los cambios en los datos, encuentre patrones a partir de los datos cambiantes y saque conclusiones.
Ejemplo 2: Un grupo tiene 65.438+00 amigos. Si cada persona le da la mano a todos los demás solo una vez, ¿cuántas veces se darán la mano 65,438+00 personas? ¿Qué pasa si hay n amigos?
Análisis: Los estudiantes deben comprender: 1) Cada dos personas se dan la mano 2) El resultado del apretón de manos de A y B y el resultado del apretón de manos de B y A solo pueden considerarse como un resultado. 3) Sean 10 personas A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8, A9, A10. Luego A1 le da la mano a otras 9 personas 9 veces; A2 le da la mano a las 8 personas restantes 8 veces; A3 le da la mano a las 7 personas restantes 7 veces; .........A9 y A10 le dan la mano una vez. Entonces, el número de apretones de manos es 9+8+7+6+5+4+3+2+1=45 (veces).
Nota: Al resolver este tipo de problemas, todos los resultados deben darse uno por uno de acuerdo con ciertas reglas para poder organizar todos los resultados.
Categoría 2: Problemas numéricos
Ejemplo 3: Mira los números de la siguiente columna uno por uno. ¿Cuál es su disposición? Por favor escriba los siguientes tres números. ¿Puedes nombrar el número 100, el número 2004 y el número 10000?
① 2,-2,2,-2,2,-2,……
② -1,3,-5,7,-9,11,……
③ - ,,- ,,- ……
Análisis:
Es fácil encontrar que este número está compuesto por números positivos y negativos cuyo absoluto El valor es igual a 2 y consta de 2 para números impares y -2 para números pares. Entonces los siguientes tres números son 2, -2, 2. El número 1000 es -2, el número 2004 es -2 y el número 10000 es -2.
② Además de cambiar el signo, es fácil encontrar que este número es un número impar; el signo es negativo y positivo alternativamente (los números impares son negativos y los números pares son positivos. Por lo tanto, el El signo se puede determinar mediante (-1)N como cada El coeficiente del número impar a menudo se representa mediante (2N-1). El enésimo número de esta secuencia se puede representar mediante (-1)N(2N-1). Los siguientes tres números en la secuencia original son: -13, 15. y -65435. El número 100 es 199, el número 2004 es 4007 y el número 10000 es 19999.
③ Es fácil. para encontrar que las características simbólicas de esta secuencia son las mismas que las del segundo término, que puede representarse por (-1) n. Y cada fracción puede considerarse como el recíproco de un número par, es decir, el enésimo número. de esta secuencia se puede expresar como (-1)N, por lo que los siguientes tres números son, -, No. 100. , No. 2004 es, No. 10000 es
Nota: No es difícil. para que los estudiantes encuentren el patrón numérico en este ejemplo.
Solo necesitan conocer los métodos de representación de una serie de secuencias especiales, como secuencias de números impares y secuencias de números pares. Por supuesto, también es necesario dominar la representación de símbolos.
Ejemplo 4: Estudia las siguientes fórmulas. ¿Qué patrones encontrarás?
1×3+1=4=22
2×4+1=9=32
3×5+1=16=42
p>
4×6+1=25=52
Utilice una fórmula para expresar la ley descubierta: .
¿Se aplica esta fórmula a? todos los números enteros?
Análisis: Busque "1" en la primera fórmula; Busque "2" en la segunda fórmula...; Busque también números relacionados con "1", "2",..., "n" en la fórmula correspondiente. Si las posiciones " 1 ", " 2 ", ... y " n " se encuentran fijas, entonces " n " en la enésima fórmula se ubica en " 1 ", " 2 ", ... y la correspondiente " N +1" Los primeros datos de cada tipo en esta pregunta se pueden considerar como la posición de N. Si los segundos datos son 2 mayores que los primeros datos, entonces los segundos datos se pueden considerar como N+2 y los terceros datos son La constante de 1, el cuarto dato es el resultado de (N+1)2, y la conclusión final es clara (N+1)2. Por lo tanto, la regla descubierta se expresa como:
N(N+2)+1 = N2+2N+1 =(N+1)2.
Ejemplo 5: Observe la siguientes tipos :
13+23=9=(1+2)2
13+23+33=36=(1+2+3)2
13+23+33+43=(1+2+3+4)2
……
13+23+33+43+……+993+1003 =?
Análisis: No es difícil encontrar varias características a partir de las tres condiciones dadas: la suma de los cubos de varios números naturales consecutivos a partir de 1 es igual al cuadrado de la suma de estos números. No es difícil para los estudiantes encontrar que la enésima fórmula es la siguiente:
13+23+33+……+N3 =(1+2+3+……+N)2.
Por lo tanto, 13+23+33+43+…+993+1003 =(1+2+3+4+…+99+100)2 = 50502.
(No es difícil probar la conclusión de tipo N mediante inducción incompleta. Debido a limitaciones de espacio, no la probaremos aquí.)
La tercera categoría: tipos de figuras geométricas
Ejemplo 6: Utilice cerillas para hacer un dibujo como se muestra en la imagen:
(1) Complete la siguiente tabla:
Número gráfico ① ② ③ ④ ⑤
El número de cerillas
(2) ¿Cuántas cerillas se necesitan para el enésimo número?
Análisis: Al resolver este tipo de problemas, el método es claro; es convertir el problema gráfico en un problema numérico, y luego encontrar las reglas a partir de las características de los números para resolverlo.
Obviamente, hay tres cerillas en la primera figura; 9 cerillas en la segunda figura; 18 cerillas en la tercera figura y 30 cerillas en la cuarta figura;...
y 3 = 1×3; 9=3×3=(1+2)×3; 18=6×3=(1+2+3)×3;30=10 ×3=(1+2+3); +4)×3...
Entonces el número de cerillas en la enésima imagen es: (1+2+3+...+n) × 3. Por lo que no es difícil completar todos los datos del formulario.
Hay algunas preguntas similares a esta para su referencia:
1 Cuando un segmento de línea está marcado con un punto, hay tres segmentos de línea en * * *. Si marca un punto nuevamente, hay seis segmentos de línea en * * * en este momento... Por analogía, ¿cuántos segmentos de línea hay en * * * en el enésimo gráfico?
2. Dibuja un segmento de recta desde el vértice del triángulo hasta su lado opuesto. En este momento, hay tres triángulos en la imagen (como se muestra en la Figura 2); si se dibuja un segmento de línea en el lado opuesto, hay seis triángulos en la imagen (como se muestra en la Figura 3); encendido, entonces n * ¿Cuántos triángulos hay en *?
Nota: (1) Al calcular el número de gráficos, si puedes captar: primero uno solo, luego dos compuestos, luego tres compuestos... y así sucesivamente, puedes contar todas las conclusiones correspondientes. No es fácil repetirlo y omitirlo.
(2) Sólo conociendo las reglas y expresiones generales de alguna secuencia especial puede ser más fácil resolver este tipo de problemas. La siguiente tabla:
Secuencia natural 123...n
Secuencia par 2 4 6...2n
Secuencia impar 135...2n-1
El cuadrado de los números naturales 1,49...N2
La suma de los primeros n números naturales es 1.
(1) 1+2
(3) 1+2+3
(6) …… 1+2+3+……+N
()
La suma de los primeros n números impares es 1
(1) 1+3
(4) 1 +3 +5
(9) …… 1+3+5+……+(2N-1)
(N2)
La primera n números pares La suma es 2
(2) 2+4
(6) 2+4+6
(12) … 2+4+6 +… …+2N
N(N+1)
Para consolidar aún más este conocimiento, los siguientes ejercicios son para su referencia:
1) Observa los siguientes tipos, ¿Qué patrones encontrarás?
3×5=15=42-1
5×7=35=62-1
……
11× 13=143=122-1
Usa una fórmula de una letra para expresar el patrón que adivinaste.
2) Observa los siguientes tipos:
A1=5×1-3=2
A2=5×2-3=7
A3=5×3-3=12
A4=5×4-3=17
……
(1) Según el reglas anteriores, cálculo de adivinanzas AN=
(2) Cuando N=100, A100=
¿Te gusta el ramen? El maestro del restaurante de ramen junta los dos extremos de un fideo grueso y lo estira, luego lo amasa, lo estira nuevamente, repite varias veces y luego estira el fideo grueso en muchos fideos finos, como se muestra en la imagen. ¿Cuántas veces puedes amasar y estirar así para obtener 128 fideos finos?
4) Como se muestra en la imagen, los lados de los cuadrados son todos 1 y están apilados de acuerdo con las reglas de la imagen. Si se llaman primer piso, segundo piso, tercer piso... y enésimo piso de arriba a abajo, complete el formulario:
Número de capas de disposición de cubos pequeños N12345. .n
p>El número de cubos pequeños en el nivel más bajo es 1,36...
Los problemas matemáticos se pueden dividir en dos categorías, una es el problema de aplicar leyes matemáticas, y el otro es el problema de descubrir leyes matemáticas. Los problemas de reglas matemáticas aplicadas se refieren a problemas en los que los estudiantes deben aplicar reglas matemáticas aprendidas previamente para resolverlos. El problema de descubrir reglas matemáticas se refiere a problemas que no tienen nada que ver con las reglas matemáticas que los estudiantes han aprendido antes. Requieren que los estudiantes encuentren reglas a partir de cosas conocidas antes de poder resolverlas. La mayoría de los estudiantes de problemas de matemáticas entran en la primera categoría.
El descubrimiento de problemas de regularidad matemática puede mejorar la conciencia de los estudiantes sobre la innovación y mejorar su capacidad de innovación. Por ello, en los últimos años la gente ha empezado a prestar más atención a este tipo de problemas matemáticos. Especialmente en los últimos dos años, la mayoría de las ciudades del país han tenido este tipo de preguntas en sus exámenes de ingreso a la escuela secundaria. La idea de descubrir leyes matemáticas y resolver problemas no sólo puede mejorar las puntuaciones de los exámenes de los estudiantes, sino que también contribuye al cultivo de talentos innovadores.
Primero, debemos ser buenos para captar la contradicción principal.
Algunas preguntas pueden parecer grandes y complicadas, pero en realidad no hay muchos contenidos clave. Realice un análisis detallado del tema, descarte lo aproximado y seleccione lo esencial, descarte lo falso y conserve lo verdadero, y extraiga el contenido principal y clave, la dificultad del tema se reducirá considerablemente y el problema se solucionará. fácilmente solucionado.
Además, las preguntas del examen de matemáticas del examen de graduación de la escuela secundaria Shaoyang de 2006 (área de reforma curricular) "La espiral en la imagen está compuesta por una serie de triángulos rectángulos isósceles y los números de serie son ①, ②, ③, ④, ⑤..., y la longitud de la hipotenusa del enésimo triángulo rectángulo isósceles es _ _ _ _ _ _ _ _ _" también se puede resolver según esta idea.
En segundo lugar, debemos captar las variables de la pregunta.
Las cuestiones de búsqueda de reglas matemáticas implicarán una o varias variables. Los llamados patrones de búsqueda se refieren a los patrones cambiantes de variables en la mayoría de los casos. Por lo tanto, captar las variables equivale a captar la clave para resolver el problema.
Por ejemplo, como se muestra en la imagen a continuación, si el suelo está pavimentado con baldosas cuadradas blancas y negras de las mismas especificaciones, la tercera imagen tendrá ladrillos negros y la primera imagen requerirá ladrillos negros (usando expresión algebraica). (Preguntas de materias del examen de ingreso a la escuela secundaria de la provincia de Hainan de 2006 (área de reforma curricular))
La clave de esta pregunta es ¿cuántas fichas negras se necesitan para la primera imagen?
En estas tres imágenes, los cuatro mosaicos negros del frente permanecen sin cambios, mientras que los mosaicos negros de la parte posterior han cambiado. Sus números son: 0×3 mosaicos negros en la primera imagen, 1×3 mosaicos negros en la segunda imagen, 2×3 mosaicos negros en la tercera imagen, y así sucesivamente, (n- 1)×3 mosaicos negros. Entonces la enésima imagen tiene 4+(n-1)×3 mosaicos negros.
El examen de ingreso unificado de la escuela secundaria (escuela secundaria técnica) de la zona experimental de reforma curricular de la provincia de Yunnan de 2006 también tenía una pregunta similar: "Observe el patrón de disposición de los círculos pequeños en las figuras (L) a (4), y continúa organizándolos de acuerdo con este patrón. Recuerda que el número de círculos pequeños en la enésima figura es m, entonces m= (expresado por una expresión algebraica que contiene n)".
En tercer lugar, sé bueno en. comparación.
"Sólo la comparación puede marcar la diferencia." A través de la comparación, podemos descubrir las similitudes y diferencias de las cosas, y es más fácil descubrir los patrones cambiantes de las cosas.
Para encontrar una pregunta regular, se suele dar una serie de cantidades en un orden determinado, lo que requiere que encontremos una regla general basada en estas cantidades conocidas. Los patrones revelados suelen contener los números de serie de las cosas. Por tanto, es más fácil descubrir el misterio comparando variables con números de serie.
Por ejemplo, observa los siguientes números: 0, 3, 8, 15, 24,... intenta escribir el número 100 según esta regla. "
Para resolver este problema, primero puedes encontrar la regla general y luego usar esta regla para calcular el número 100. Comparemos las cantidades relevantes juntas:
El número dado: 0 , 3, 8, 15, 24,...
Número de serie: 1, 2, 3, 4, 5,.
Es fácil encontrar que todo número conocido Los artículos son iguales al cuadrado de sus números de serie menos 1. Entonces, el enésimo artículo es n2-1 y el centésimo es 1002-1.
Al resolver el problema, no solo se debe considerar el número de serie. del número conocido, también se deben considerar otros factores
Por ejemplo, la pregunta del examen de matemáticas del examen de ingreso a la escuela secundaria de la ciudad de Rizhao de 2005 "Se conoce la siguiente ecuación:
① 13=. 12;
② 13+23=32;
③ 13+23+33=62;
④ 13+23+33+43=102;
...... ......
Según esta ley, la quinta ecuación es. "
Para esta pregunta, en una ecuación dada, el sumando de la izquierda cambia, la base del sumando cambia y la suma de la derecha también cambia. Así que hay muchos factores para comparar. Solo el izquierda Por ejemplo, comparando de arriba hacia abajo, encontramos que los sumandos aumentan en 1. Por lo tanto, la quinta ecuación debe tener cinco sumandos comparando las bases de los sumandos de izquierda a derecha, encontramos que todos están ordenados en números naturales; El lado izquierdo de la ecuación es 13+23+33+43+53. Mirando el lado derecho de la ecuación, el exponente no ha cambiado, pero la base sí. no ha cambiado, pero la base ha cambiado. La base de la suma es igual a la base del sumando. Entonces la base en el lado derecho de la quinta ecuación es (1+2+3+4+5), y la suma es. 152.
Cuarto, sé bueno en ello. Encuentra el ciclo de las cosas.
Algunas preguntas incluyen el ciclo de las cosas, otros problemas se solucionarán fácilmente. resuelto
Por ejemplo, la pregunta del examen de ingreso a la escuela secundaria de 2005 en la ciudad de Yulin: "Observe la siguiente disposición de las bolas (● es una bola sólida y ○ es una bola hueca):
●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●○○ ●●○○○○○●……
Del 1er balón al 2004 bola, * * * hay bolas sólidas. "
Estas bolas, de izquierda a derecha, están dispuestas en un orden fijo. Cada 10 bolas se ciclan y el espacio entre ciclos es ● ○ ● ● ○. Hay tres bolas sólidas en cada parte del ciclo. Solo debes saber que en 2004 cuántos ciclos se incluyen, es fácil calcular el número de bolas sólidas, porque 2004÷10 = 200 (resto 4), por lo que la bola de 2004 tiene 200 nudos y quedan 4 bolas.
Hay 200×3=600 bolas sólidas en los 200 segmentos del ciclo, y hay 2 bolas sólidas entre las 4 bolas restantes. Entonces, un * * * tiene 602 balones medicinales.
En quinto lugar, debemos captar las invariantes ocultas en la pregunta.
La forma de algunas preguntas ha cambiado, pero la esencia sigue siendo la misma. Siempre que prestemos siempre atención a buscar sus invariantes en el proceso de observación de cambios morfológicos, podremos revelar las leyes esenciales de las cosas.
Por ejemplo, en 2006, me gradué de la escuela secundaria en la ciudad de Wuhu (Zona Experimental de Reforma Curricular). Pregunta de prueba "Por favor, observe atentamente las reglas de transformación del triángulo equilátero en la figura y escriba los hechos matemáticos que descubrió sobre la distancia desde un punto a los tres lados del triángulo equilátero".
En estas tres figuras, el triángulo blanco es un triángulo equilátero con tres triángulos negros incrustados en él. Mirando de izquierda a derecha, los dos triángulos negros de arriba giran en el sentido de las agujas del reloj, pero su forma no cambia y, por supuesto, la altura del triángulo negro tampoco cambia. En la primera imagen de la izquierda, la suma de las alturas de los triángulos negros es la suma de las distancias desde un punto a los tres lados del triángulo equilátero. En la última imagen, la suma de las alturas de los tres triángulos negros. es la altura del triángulo equilátero. Por tanto, la suma de las distancias desde cualquier punto de un triángulo equilátero a sus tres lados es igual a su altura.
6. Intenta calcular
Buscando reglas, por supuesto, buscando reglas matemáticas. Las leyes matemáticas son en su mayoría expresiones analíticas de funciones. Las expresiones analíticas de funciones suelen contener operaciones matemáticas. Por lo tanto, encontrar un patrón consiste en gran medida en encontrar una expresión matemática que refleje una cantidad conocida. Entonces, comenzar con los cálculos e intentar hacer algunos cálculos también es una buena manera de resolver el problema de encontrar patrones.
Por ejemplo, en el examen de ingreso a la escuela secundaria de 2006 de la ciudad de Hanchuan se observaron los siguientes tipos en el examen de "Matemáticas": 0, x, x2, 2x3, 3x4, 5x5, 8x6,... Según este regla, intenta escribir el décimo una fórmula. "
Esta pregunta contiene dos variables, una es el índice de cada artículo y la otra es el coeficiente de cada artículo. No es difícil ver que el índice de cada artículo es igual a su número de serie. menos 1, pero el patrón de cambio del coeficiente es No es tan fácil de encontrar. Sin embargo, si sacamos los coeficientes e intentamos hacer algunos cálculos simples, no es difícil encontrar el patrón de cambio de los coeficientes: 0, 1. , 1, 2. , 3, 5, 8,...
Observa la disposición de los coeficientes de izquierda a derecha y encuentra la suma de los dos elementos adyacentes. Encontrarás que esta suma es. exactamente el último término. La suma de los coeficientes de dos elementos adyacentes en la secuencia original es igual al coeficiente del último elemento. Usando esta regla, no es difícil deducir que el coeficiente del octavo elemento de la secuencia original es. 5+8=13, y el coeficiente del noveno elemento es 8+13= 21. El coeficiente del décimo término es 13+21=34
Entonces el número original 10 es 34x9. /p>
Hay muchas formas de resolver el problema de encontrar el método. Aquí hay solo un breve resumen de las ideas de resolución de problemas "comunes". Los profesores interesados pueden estudiar más a fondo nuevas formas de resolver dichos problemas desde la perspectiva de la resolución. ecuaciones, teorema de interpolación de Lagrang y búsqueda de funciones de resolución
(1)1, (2) 1+5 = 6, (3) 1+5+9 = 16. ¿Cuál es el número n
El primer número es 1.
El segundo número es 1+5 = 6.
El tercer número es 1+5+9 = 15. es 1+5+9+13 = 28.
De la regla anterior, podemos encontrar que por cada capa adicional, el número agregado es 4 más que la capa anterior.
La solución del último número sumado es 4 × (n-1)+1 ∴La suma de los números consecutivos sumados del 1 al último número es (1+último número)÷2n
Luego combine los las dos primeras fórmulas para obtener el enésimo número [2+4? (n-1)]⊙2n significa n(2n-1)
Hay un número de columna: 1, 1, 2/. 1, 1/3, 2/2, 3/1, 1/4, 2/3, 3/2, 4/3
(1) El número después de 1/5. primer número?
(2) Si cuentas desde el primer número de la izquierda, ¿cuál es el número 1/9 en esta columna?
Solución: ¿Cuál es el orden? 1, 1/2, 2/1, 1/3, 2/2, 3/1, 1/4, 2/3, 3/2, 4. Entonces, el primer número después del número es =. a la derecha, 1 a 1 es 1, 1 es 2, 3, 4.
To son 8 números, entonces 1+2+3+4+5+6+7+8=36. Entonces hay 37 números en esta columna.
¿Cuál es el siguiente número 3, 10, 29, 66?
Solución: 3 = 13+2 10 = 23+2 29 = 33+2 66 = 43+2El siguiente número es: 53+2=127.
(1)-1, 2,-4, 8,-16, 32, ..., el número de 10 es_ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Cada número se puede escribir como
La frecuencia es 0, 1, 2, 3...
Cuando el número es par, hay un signo negativo delante.
Entonces el número 10 se expresa como.
(2)1, -3, 5, -7, ..., 15 es _ _ _ _ _ _ _ _ _.
El valor absoluto de cada número se expresa como,,, (n es un número).
Si el número es par, habrá un signo negativo delante,
Entonces el valor absoluto del número 15 es.