La Razón
Los pitagóricos creían que el “número” es el origen y base inicial de todas las cosas, y que todos los fenómenos del universo pueden atribuirse a números enteros o Razones. de números enteros. Antes del descubrimiento de la paradoja de Hippasos, la gente sólo conocía los números naturales y los números racionales, y la teoría de los números racionales se convirtió en la norma matemática dominante. Los números irracionales descubiertos por Hipasus expusieron las limitaciones de las normas matemáticas originales. Desde esta perspectiva, la paradoja de Hippasos es causada por errores en la comprensión subjetiva.
Después del siglo V a.C., Hipaso, miembro de la escuela pitagórica (hacia el 470 a.C. c), descubrió que la suma de las hipotenusas de un triángulo rectángulo isósceles Los lados de un ángulo recto son inconmensurables, y su relación no puede reducirse a un número entero o a una relación de números enteros. Este descubrimiento no sólo violó gravemente el credo de los pitagóricos, sino que también afectó las opiniones comunes de los griegos en ese momento, lo que condujo directamente a la "crisis" cognitiva de ese momento. El descubrimiento de Hippasos se conoce en la historia como la "Paradoja de Hippasos", lo que desencadenó la primera crisis en la historia de las matemáticas.
Impacto
00 El descubrimiento del hippaso impulsó a las personas a comprender y comprender mejor los números irracionales. Sin embargo, basándose en el nivel de desarrollo de la producción y la tecnología, los pitagóricos de la antigua Grecia y los matemáticos posteriores no establecieron ni pudieron establecer una teoría estricta de los números irracionales. Básicamente adoptaron una actitud evasiva hacia el problema de los números irracionales, abandonaron el tratamiento aritmético de los logaritmos y lo reemplazaron por el tratamiento geométrico, iniciando así un período de desarrollo prioritario de la geometría. Durante los siguientes dos mil años, la geometría griega se convirtió en la base de casi todas las matemáticas. Por supuesto, este enfoque estrecho de agrupar todas las matemáticas con la geometría también tuvo un impacto negativo en el desarrollo de las matemáticas.
00 El descubrimiento de Hipaso demostró que la intuición y la experiencia no son necesariamente confiables, pero sí el razonamiento y la prueba, lo que llevó al establecimiento del sistema lógico de Aristóteles y del sistema geométrico de Euclides.
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La segunda crisis matemática
Causa
A finales del siglo XVII, Newton y Leibniz fundaron el cálculo. La segunda crisis de las matemáticas se produjo cuando la teoría se aplicó a la práctica y la mayoría de los matemáticos estaban convencidos de la fiabilidad de la teoría. Sin embargo, la teoría del cálculo de aquella época se basaba principalmente en el análisis de infinitesimales, que luego se demostró que contenía contradicciones lógicas.
Después del
001734, el arzobispo británico Bekele publicó "El analista", o "A un matemático incrédulo". Entre ellos, si los objetos, principios y corolarios del análisis moderno son conceptualmente más claros o más lógicamente obvios que los misterios y dogmas de la religión, criticaron duramente la teoría del cálculo de la época. Dijo que Newton primero creyó que el infinitesimal no era cero, y luego lo igualó a cero, lo que violó la antinomia. El número de flujo obtenido fue en realidad 0/0. Esto se debió a que "obtuviste el resultado correcto por doble error". No es científico." Por el error Se compensan mutuamente. En la historia de las matemáticas se le llama "paradoja de Beckler". El descubrimiento de esta paradoja provocó cierta confusión en su momento, provocando la segunda crisis en la historia de las matemáticas y más de 200 años de debate sobre la teoría básica del cálculo.
El ataque de Beckler a lo infinitesimal pretende demostrar la teología religiosa, pero como la “paradoja de Beckler” en sí misma, es una cuestión de método de pensamiento. Debido a que las matemáticas deben pensarse de acuerdo con las leyes no contradictorias de la lógica formal, no podemos admitir que no sean iguales a cero e iguales a cero en el mismo proceso de pensamiento. Sin embargo, el movimiento de las cosas tiene como límite su punto final. El resultado del movimiento es igual a cero en cantidad pero no igual a cero en el punto de partida. Estos son dos aspectos del movimiento de las cosas que no deben incluirse en el mismo proceso de pensamiento. Si los conectamos mecánicamente, inevitablemente conduciremos a paradojas en el pensamiento. La causa de la paradoja de Bekele radica en la contradicción entre la naturaleza dialéctica de las cantidades infinitesimales y las características formales de los métodos matemáticos.
Influencia
00 El producto de la segunda crisis matemática: el rigor de la teoría analítica básica y el establecimiento de la teoría de conjuntos.
Después de que se propuso la "Paradoja de Beckler" en el año 2000, muchos matemáticos famosos llevaron a cabo investigaciones y exploraciones desde diferentes ángulos, tratando de restablecer el cálculo sobre una base confiable. El matemático francés Cauchy fue un maestro del análisis matemático. A través de obras como "Conferencias sobre análisis" (1821), "Conferencias sobre pequeños cálculos infinitos" (1823), "Aplicaciones de pequeños cálculos infinitos en geometría" (1826), Cauchy estableció una sociedad moderna basada en límites. Pero el sistema de Cauchy todavía necesitaba mejoras. Por ejemplo, su lenguaje sobre los límites es todavía vago y se basa en cosas intuitivas como el movimiento y la geometría; carece de teoría de números reales.
El matemático alemán Weierstrass fue uno de los principales fundadores de los fundamentos del análisis matemático. Mejoró los métodos de Bolzano, Abel y Cauchy, y utilizó por primera vez el método "ε-δ" para describir una serie de conceptos importantes en cálculo como límites, continuidad, derivadas e integrales, y estableció un sistema riguroso para la disciplina. La propuesta y aplicación del método "ε-δ" en cálculo marca la finalización de las operaciones de cálculo. Para establecer el teorema básico de la teoría del límite, muchos matemáticos comenzaron a dar definiciones estrictas a los números irracionales. En 1860, Weierstrass propuso definir los números irracionales mediante la adición de secuencias acotadas; en 1872, Dedekind propuso definir los números irracionales mediante división. En 1883, Cantor propuso utilizar la secuencia básica para definir los números irracionales. Estas definiciones revelaron profundamente la naturaleza de los números irracionales desde diferentes aspectos, estableciendo así una estricta teoría de los números reales, eliminando por completo la paradoja de Hippasus y estableciendo una teoría límite basada en la estricta teoría de los números reales, que a su vez condujo al nacimiento de la teoría de conjuntos. .
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La tercera crisis matemática
Causa
00 Weierstrass resolvió Bekele excluyendo la paradoja de los infinitesimales, pero en la década de 1960, Robinson invitó a volver a lo infinitesimal e introdujo el concepto de números hiperreales, estableciendo así un análisis no estándar. Este análisis también puede describir con precisión el cálculo, resolviendo así la paradoja de Becquerel. Sin embargo, hay que señalar que la paradoja de Bechler sólo se ha resuelto en un sentido relativo, porque la no contradicción de la teoría de los números reales se reduce a la no contradicción de la teoría de conjuntos, que aún no ha sido completamente resuelta.
Después
Después de la primera y segunda crisis matemática, la gente atribuyó la no contradicción de las teorías matemáticas básicas a la no contradicción de la teoría de la tercera crisis matemática. La teoría de conjuntos se ha convertido en el fundamento lógico de todas las matemáticas modernas y se ha construido el magnífico edificio de las matemáticas. Parece que la teoría de conjuntos no es inconsistente, el objetivo de las matemáticas rigurosas casi se ha logrado y los matemáticos se sienten casi complacientes con este logro. El famoso matemático francés Poincaré (1854-1912) se jactó en el Congreso Internacional de Matemáticos celebrado en París en 1900: "Ahora se puede decir que se ha alcanzado el rigor absoluto de (las matemáticas)". Sin embargo, menos de dos años después, el famoso lógico matemático y filósofo británico Russell (1872-1970) anunció una noticia sorprendente: ¡la teoría de conjuntos es autocontradictoria y no tiene un rigor absoluto! Conocida en la historia como la "Paradoja de Russell". En 1918, Russell generalizó esta paradoja en la paradoja de Barbour. El descubrimiento de la paradoja de Russell es como un día claro que atraviesa la niebla y despierta a la gente de sus sueños. La paradoja de Russell y otras paradojas de la teoría de conjuntos penetran profundamente en los fundamentos teóricos de la teoría de conjuntos, poniendo así en peligro fundamentalmente la certeza y el rigor de todo el sistema matemático. Esto provocó un gran revuelo en los campos de las matemáticas y la lógica, formando la tercera crisis en la historia de las matemáticas.
La razón de la paradoja de la teoría de conjuntos radica en la contradicción entre la naturaleza dialéctica de los conjuntos y las características formales de los métodos matemáticos o métodos de pensamiento metafísico. Por ejemplo, la causa de la paradoja de Russell reside en la contradicción entre la arbitrariedad del principio de generalización y la no arbitrariedad de las reglas objetivas del grupo electrógeno.
Influencia
El producto de la tercera crisis matemática: el desarrollo de la lógica matemática y el surgimiento de un grupo de matemáticas modernas.
Los matemáticos han realizado diferentes esfuerzos para solucionar la tercera crisis matemática. Debido a diferentes puntos de partida y diferentes formas de resolver problemas, a principios de este siglo se formaron diferentes escuelas de filosofía matemática, a saber, la escuela logicista encabezada por Russell, la escuela intuicionista encabezada por Brouwer (1881-1966) y la escuela del intuicionismo. dirigida por Hill. Escuela formalista dirigida por Bert. La formación y el desarrollo de estas tres escuelas han llevado la investigación sobre teorías matemáticas básicas a una nueva etapa. Los logros matemáticos de las tres escuelas principales se reflejan primero en la formación de la lógica matemática y su moderna teoría de la prueba de ramas.
00Para eliminar las paradojas de la teoría de conjuntos, Russell propuso la teoría de tipos y Zermelo propuso el primer sistema de axiomas de la teoría de conjuntos. Después de la modificación y adición de Frenkel, Zermelo obtuvo el sistema de axiomas comúnmente utilizado de Roe-Frenkel. La teoría de conjuntos fue mejorada y simplificada aún más por Bernays y Gödel, y se obtuvo el sistema de axiomas de la teoría de conjuntos de Bernays-Gödel. Hilbert también estableció las metamatemáticas. El teorema de incompletitud de Gödel es un resultado directo del estudio de las paradojas en la teoría de conjuntos.
El destacado matemático estadounidense Gödel propuso el teorema de incompletitud en la década de 1930. Señaló que un sistema formal que contiene lógica y teoría elemental de números es incompleto si está coordinado, es decir, no se puede establecer ninguna contradicción en este sistema, si el sistema aritmético elemental es armonioso, entonces es imposible demostrar que el sistema aritmético; es armonioso.
El teorema de incompletitud de Gödel revela de manera irrefutable las limitaciones del sistema formalista y demuestra matemáticamente la imposibilidad de intentar resolver el problema de la paradoja de una vez por todas con técnicas formalistas. De hecho, le dice a la gente que cualquier intento de encontrar una base absolutamente confiable para las matemáticas, evitando así por completo las paradojas, es inútil. El teorema de Gödel es la piedra angular de la lógica matemática, la inteligencia artificial y la teoría de conjuntos, y un hito en la historia de las matemáticas. El famoso matemático estadounidense von Neumann dijo: "Los logros de Gödel en la lógica moderna son extraordinarios e inmortales; es incluso más inmortal que un monumento. Es un hito y un monumento que siempre existirá en las personas que puedan verlo. Existe en el futuro previsible”.
00Hoy en día, no se puede decir que la tercera crisis de las matemáticas haya sido eliminada fundamentalmente, porque muchas cuestiones importantes en los fundamentos de las matemáticas y la lógica matemática no se han resuelto fundamentalmente. Sin embargo, la gente se está acercando gradualmente al objetivo de una solución fundamental. Se puede esperar que en este proceso se produzcan muchos resultados nuevos e importantes.
Descubrir, proponer y estudiar paradojas son de gran importancia para los fundamentos de las matemáticas, la lógica y la filosofía. Como señaló Taskey (1901-): "Debe enfatizarse que las paradojas ocupan una posición particularmente importante sobre la base del establecimiento de la ciencia deductiva moderna. Así como las paradojas de la teoría de conjuntos, especialmente la paradoja de Russell, se convirtieron en la base de la lógica y Las matemáticas. La paradoja del mentiroso y su paradoja semántica conducen al desarrollo de la semántica teórica."
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